证明题中的几种基本方法

几何证明题中的几种基本方法：

1、等量代换法：

如图，已知ABC中，90

BAC

∠=，AB AC

=，点P为BC边上的

一动点（BP

（1）求证：EF=CF-BE

（2）若点P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？

画图并直接写出你的结论。

E

2、倍长中线法：

（1）如图，AD是ABC的角平分线，M为BC中点，M E∥AD交AB，CA的延长线于E，F，求证：BE=CF

D

M

B C

（2）如图，AD是ABC的中线，A E⊥AC，AF⊥AB，且AE=AC，AF=AB，求证：AD=1

2

EF

B

E

3、截长补短法：

（1）如图，正方形ABGE（四边相等，四个角都

等于90°），点D在BG上，且DAC

∠=45°，

求证：CD=CE+CB

A

B

E G

D C

（2） 如图，在上题中，若点D 在EG 的延长线上，

点C 在GB 的延长线上，其余条件不变，

求证：DE=BC+CD

G

D

C

综合运用：

1、点C 为线段AB 上一点，分别以AC ，BC 为边在线段AB 同侧作△ACD 和△BCE ，且CA=CD ，CB=CE ，ACD BCE ∠=∠，ACD BCE ∠=∠，直线AE 与BD 交于点F 。

F

E

D

C

B

A

E

C

B

A

A

F E

C

B

图1 图2 图3

（1） 如图1，若0

60ACD ∠=，则AFB ∠=

（2） 如图２，若ACD α∠=，则AFB ∠=

（用含α的式子表示）

（3） 将图２中的△ACD 绕点Ｃ顺时针旋转任意角度

（交点Ｆ至少在ＢＤ、ＡＥ中的一条线段上），如图３，试探究AFB ∠与α的数量关系，并证明。

2．如图，等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝900，AB ＝AC ，点A 、C 分别在y 轴、x 轴上．且点A 、点C 的坐标分别为A （0，2）、（5，0）． （1）如图24，求点B 的坐标；

P

（2）如图25，点P是第一、三象限的平分线PQ上的一动点，是否存在点P，使得△PAC的面积是12，若存在，求出P点的坐标，若不存在，说明理由；

（3）如图26，BF在△ABC内部且过B点的任意一条射线，分别过A作AM⊥BF于M点，过C作NC ⊥BF于N点，写出BM、AM与NC之间的数量关系，并证明你的结论．

3、在平面直角坐标系中，点B

1，0），

点C的坐标为（1，0），点D

且∠ABD＝∠ACD．AE⊥CD于E点．

（1）求证：DA平分∠BDE；

（2）判断BD-CD与DE之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）若BD＝5，AE＝CD＝3，求△ACE的面积。

4．如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．

（1）求C点的坐标；

图2

（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，P A为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP－DE的值；

（3）如图3，已知点F坐标为（－4，－4），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH＝900，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，求m＋n的值．