证明题的方法

作业：
1．从上述案例中选择一个进行分析与评价。

《等腰三角形》的性质这一案例，本身这是最传统的一种几何知识的教学，如何做到传统的知识教学与新课程改革相联系，这是我们要考虑的一个问题。

这节课通过学生观察图形得出等腰三角形的概念，然后通过学生绘制等腰三角形，得到最实际的一手资料后，让学生通过讨论和动手操作，得出一系列的性质，并且通过证明加以规范。

从上述老师的过程来说，应该是满足新课程的要求的。

通过学生的观察，动手操作，小组讨论，加以证明等步骤，即将传统的知识分析讲解的十分透彻，又发展培养了学生的动手能力等。

．举例说明学生在几何学习过程中的主要困难。

学生在学习几何的过程当中主要有以下困难：
（1）、几何概念不清，概念混淆。

在三角形全等的证明中有一个方法是（两条边和夹角对应相等的两个三角形全等），在这个定理中，我们要强调的是夹角对应相等，而不是两角对应相等。

初学者经常要犯这样的错误。

（2）、几何概念多，不宜记忆。

与代数相比较而言，初中几何概念应该是比较多的，而且比较难记，这就是许多学生害怕数学的一个直接的原因。

（3）、几何学习的逻辑性强。

几何学习者都应该知道，几何学习肯定离不开几何证明。

在进行几何证明时，首先要看题，了解题目的意思，然后选择适当的方法，然后书写证明过程，在这整个环节当中，都体现出了学生的理解力，逻辑思维能力。

3，如何培养推理证明能力？
每一道数学证明题都是由已知的条件和求证的结论两部分组成的。

我们的任务就是根据题目中的已知条件，运用有关的数学概念、公理、定理，进行逻辑推理，逐步地推出求证的结论来。

由此可以看出，做数学证明题的基本功，一般为下列四个方面的问题：
1、看清题目意思分清什么是已知条件，什么是求证结论。

2、熟悉证明依据能熟练运用与题意有关的概念、公理和定理。

3、掌握推理格式能正确地运用合乎逻辑的推理、证明。

1、积累解题思路通过“学”、“练”结合，拓展解题思路。

[一]、如何看清题意
看清题意应达到三会：“会审题”、“会变化”、“会称呼”。

会审题会不会审题是能否看清题意的基础。

在教学中，首先，要培养学生认真审题的习惯；其次，要教给学生审题的一般步骤：
1、一题到手，首先弄清题目中出现了哪几个主要的概念，并回忆出它们的定义来。

2、根据题意分清什么是已知条件，什么要求证的结论。

3、有的题目还需要根据题意作图，或者运用数学符号和数字术语，写出已知与求证，即把普通语言“转译”成数学语言表达的题目，以使题目内容更加明确，证明过程更加清楚。

会变化命题有四种：原命题、逆命题、否命题、逆否命题。

四种命题的变化它是通过改变题目中已知条件与结论之间的地位和性质
而得到的。

原命题与逆命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，原命题与逆命题之间没有必然的真假关系。

在已知条件或者求证结论比较复杂的命题中，应保留其他各项，仅以一项已知条件与一项求证结论来“变化”。

关于四种命题的变化，在教学安排上，应注意两点：
1、要分两个阶段教给学生。

第一阶段：只要求会由原命题变化出逆命题。

第二阶段：会相互变化。

2、应在平时学习中给学生以多变的启发与机会。

会称呼会称呼就是指弄清“充分条件”与“必要条件”的含义，并会运用它们。

由有“前面的条件”证得“一定有后面的结果”，则称“前面的条件”是“后面的结果”的充分条件。

由“没有前面的条件”证得“一定不会有后面的结果”，则“前面的条件”是“后面的结果”的必要条件。

将四种命题与两种条件的称呼联系起来。

[二]、掌握推理格式
数学证明的依据是概念、公理、定理，它们都是数学中的基础知识。

我们不但要正确地理解它们，还要牢固地记忆它们与灵活地运用它们。

为了正确地进行推理、证明，我们仅仅会“看清题意”和熟悉依据还不够。

也就是说，我们虽然对于要证明的题目已知，会用已知条件和有关数学概念、公理、定理来逐步地推出求证结论来，还是不够的。

还需要掌握一些基本的证明方法与推理格式，善于用数学语言来表达自己的思维过程。

常见的推理格式有以下五种：
1. 综合顺证格式
2.分析法逆推格式
3.反证法三步格式
4.穷列法讨论格式
5.数学归纳法二步格式
在平面几何里，还有重合法、同一法。

综合法顺证格式
从已知条件出发，顺着推证：由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出求证的结论，这就是顺推法的格式。

综合法是最常见的推理证明方法。

它的书面表达常用“∵∴”或“=>”等。

分析法逆推格式
分析法证明的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知（已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等等）。

这种证明方法的关键在于要保证分析过程的每一步都是可以逆推的。

它的书写表达常用的是“要证……只需……”
用分析法证明最后一定要指出“以上各步均可以逆推。

”
在通常做数学证明题时，我们一般不用分析法逆推格式来书写表达证明的过程，而是常常采用综合法顺证格式。

用综合法顺着证明（即由已知到求证）有时思路不一定好想，因此，常在草稿纸上用分析法逆推来“想”，等找到证明的思路之后，再用综合法顺证格式来写。

通常称为“逆推顺证”的方法。

反证法格式
有时直接证明命题比较困难，则可以改证与原命题等价的逆否命题。

这就是反证法的基本思想。

运用反证法的一般步骤如下：
1．作出与求证结论相反的假定。

2．由这个假定出发，用正确的推理方法，推出某种结论。

3．指出所得结论与原题意（或相关定义、定理、公式等）不合，这一矛盾就可以断言与求证结论相反的假定是不正确的。

因此，原题中求证的结论是正确的。

最后由矛盾而作的断定就是运用了“排中律”来推理的结果。

穷举法讨论格式：对于已知条件或求证结论的情形比较复杂的证明题，往往可将原题分解成几个特殊问题来分别讨论。

如果分别证明了这几个特殊的问题，归纳起来也就是证明了原来的命题。

常用格式为“当……时，如何如何；当……时，如何如何；……综上所述……。

”
用这种“穷举法”来证明，关键是要“穷举”，即对所有可能情形都要研究穷尽，不可以遗漏。

数学归纳法二步格式
数学归纳法（只适用于自然数集）的理论依据是数学归纳原理（可用反证法来证）。

原理：对于自然数集的命题，只要证明下列两个命题成立，就能断定原来的命题对于所有的自然数都成立。

1、当n=1时（有时虽不为1，但为适合条件的第一个数。

），原来的命题是正确的（归纳基础）
2、假设n=k时，原命题是正确的，求证n=k+1时，（有时为n=k+2 ; n=k+3…）原来的命题也是正确的。

（归纳的传递）
[三] 、积累证题思路
所谓“解题思路”就是能够沟通要被证明的命题中的已知条件与求证结论之间的逻辑“通道”。

实现数学证明的关键在于能够准确、迅速地探求出已知条件到达求证结论的一条逻辑“路径”。

如何才能探求出一条逻辑“道路”呢？一般来说：
1、对于一些不太复杂的证明题掌握了前面的知识和能力，就能实现。

也就是说当你分清什么是已知条件、什么是求证结论之后，回忆与它有关的概念、公理、定理，就可以探求到它们之间的一些必然联系，从而找到一条证题思路，并用某种推理格式严格地书写表达出来。

2、对于难度大的证明题，往往需要采用专门的方法与技巧。

事实上，有些数学命题直到今天，人们也无法证明或举反例否定它。

（这不在我们考虑之列）
3、对于难度比较大的一些证明题，需要学习一些其他分析方法，下面仅介绍几种常用的方法。

两头挤法
1、分析综合法：从求证的结论出发，反推分析、又从已知条件出发，综合证明，从而在某个中间环节达到同一。

2、左右同一法：恒等式的证明一般都是由繁到简，如果原式的左边和右边都比较繁，则可分别从左与右化简，在中间环节达到同一。

3、不等式的证明中的两头挤分析法，特别要注意保持不等号方向的不变。

辅助元素法
有的证明题，用两头挤法分析之后，发现原有的已知条件与求证结论之间难以找到直接的逻辑通道，它们之间的联系是间接的。

这样一来，问题的关键就在于：引进某一个或某几个起连接作用的辅助元素，怎样寻找这种辅助元素，没有一成不变的办法，只有靠具体问题具体分析，与多多积累解题经验。

1、添辅助线法这是平面几何中常采用的方法，正确添加的辅助线，在题目中一般都起着某种“桥梁”作用，将已知条件与求证结论沟通起来，形成一条逻辑通道。

2、设辅助未知数法（换元法或变量替换法）在代数、三角分析中，使用辅助元素法，多称为换元法。

“换元”通常可以使原有运算关系大大简化，逻辑层次脉络分明，有利于问题的解决。

3、作辅助函数法在许多重要的数学定理的分析、证明过程中，往往要作一个辅助函数，这个辅助函数作好了定理就能顺利证出，我们要研究这种辅助函数是怎样想出来的。

计算证明法
（一）利用代数或三角的知识，运用计算的方法来证明几何问题。

通常是先以最少量的字母来表示未知的几何量，从而将几何图形数量化，然后进行计算型的证明推理。

在利用三角知识解决几何问题时，通常用以下作法：
1、求证有关线段的比、线段的积的几何问题，可以考虑用正弦定理来解决。

2、求证有关线段的平方的几何问题可以考虑用余弦定理来解决。

（二）坐标法在解析几何中，运用坐标方法将几何问题转化为代数问题。

用坐标法证明时，首先要根据题意选取恰当的坐标系，把与几何图形的性质有关的问题，化为有关点的坐标数量关系问题。

在选取坐标系时，应重视具体图形的特点。

如：中心对称、轴对称、垂直、平行、顶点、端点等等。

使得选取坐标系的图形中有关点的坐标尽量简单，以利于下一步用代数方法证明。

一些恒等变形技巧
同一事物往往可以表示为不同的几种形式，而每一种形式往往能够比较准确、比较明显地反映该事物的某种特殊性质。

而在数学中研究同一事物的“恒等变形”的主要性就在于此。

在学习中我们不仅要熟练地记忆一些重要的恒等变形公式，而且要善于运用它们。

在不同的问题中，根据具体问题的需要，恰到好处地选用合适的一种形式，从而比较顺利地解决问题。

在中学阶段学习的“恒等变形”，内容很多，下面列出六种是最重要的地做数学证明题时经常运用这些恒等变形的技巧，在进一步学习“微积分”内容时，也是不可缺少的。

1、乘法公式与因式分解这种“恒等变形”在初中学习整式时开始遇到，从此以后，在数学学习中就经常在起作用，直到学习“数学归纳法”之后，又将几个常用的公式推广到更一般的情况。

2、配方法配方法在数学中的应用很多，仅在中学阶段就先后三次集中利用它来解决一些理论问题和实际问题。

利用它来推求一元二次方程的求根公式和解决有关一元二次方程的
一些问题：
用它来推求二次函数图象的顶点公式和解决有关二次函数的极值问题；
用它来化圆的一般方程为标准方程求出圆心和半径。

3、分母有理化与分子有理化“分母有理化”是在初中学习根式运算时引入的概念。

它不仅在根式计算题中有用，在证明题中也时常用到，不过有时不是将分母有理化而是将分子有理化。

不但要掌握根式化简一定要把分母有理化的结论，更重要的是掌握有理数化的方法，并在解决问题中灵活地运用它。

4．和差化积与积化和差“和差化积”这样恒等变形之后，有利于应用对数进行计算。

（“积化和差”在积分运算中经常用到）其实对于“和”与“积”或“加法”与“乘法”之间的恒等变形的思想，不仅在三角函数上研究过，在其它数学内容里也学习过。

乘法公式与因式分解就是在整式范围内的和的形式与积的形式的恒
等变形。

（微积分中的有理分式化为部分分式的方法，就是在分式范围内研究“和的形式”与“积的形式”如何相互转化。

）
5．恒等式0 =+A-A= -A+A的应用“加一个同时以减一个相同的数或式”的恒等变形的技巧，不仅在初等数学中、在简单问题中经常运用，在学习比较复杂的证明中，也是经常被运用的。

6．恒等式1=A/A 乘一个同时又除一个相同的不为0的数或式，这种恒等变形的技巧也是十分有效的。