复变函数与积分变换结业论文

基于matlab对复变函数与积分变量的研究

姓名：徐庆

学号：101044113

单位：北京林业大学工学院自动化10-1

内容摘要：

《复变函数与积分变量》这门课程作为自动化专业的专业基础课程，对于后继课程有着极其重要的意义，但在学习过程中，很多量的求解需要繁琐的计算步骤与复杂的计算过程。同时，作为一种抽象的函数，复变函数一般来说很难用具体图像来描绘其信息。Matlab作为一款功能强大的科学计算软件，利用一些编程语句可以很轻松的解决上述问题。例如，利用matlab可以对一个复常数进行基本的求模，求幅角，求实部、虚部的运算。更进一步地，还可以求复数的指数、对数，对复数进行三角运算。在对于复变函数的研究中，可以求解复变函数的留数，并用来求复变函数的积分，对复变函数进行泰勒级数展开。在积分变换方面，可以对函数进行傅里叶变换、逆变换，进行拉普拉斯变换、逆变换。在编程化的语句中，可以对同一类的问题进行统一的解决。

关键字：复变函数积分变量 matlab语句运算结果

目录

1 matlab在复常数中的应用 (4)

1.1 Matlab中对单个复常数的简单运算 (4)

1.2 Matlab中对于单个复常数进行复杂的运算 (4)

1.3Matlab中对于两个复常数之间进行乘法、除法运算 (6)

2.利用matlab对函数进行泰勒级数展开 (7)

3 matlab在留数和积分中的应用 (7)

3.1利用matlab计算复变函数的留数 (7)

3.2在matlab中，利用留数定理求解复变函数的积分 (8)

4 利用matlab对信号做傅氏、拉氏变换 (9)

4.1 利用matlab对信号做傅里叶变换 (9)

4.2 利用matlab对信号做拉普拉斯变换 (10)

5 利用matlab绘制复变函数 (11)

1 matlab在复常数中的应用

1.1 Matlab中对单个复常数的简单运算

在matlab中，生成复数的形式分为两种：代数形式（如z=x+y*i）与指数形式（如z=r*exp(theta i)，其中r为模长，theta为幅角的弧度值）。【1】例如生成复常数3+4i,

和2e π

4

i,具体语句如下:A=[3+4*i,2*exp(i*π

4

)]。此外，还可以对单个复常数进行取模、

去幅角、求共轭复数运算，调用形式如下，取模：abs（x），取幅角：angle（x），

求共轭：conj(x)。举例，计算复数z=1

1+i的模、幅角和共轭复数。

解：a=[1/(1+i)], abs(a), angle(a), conj(a)。

1.2 Matlab中对于单个复常数进行复杂的运算

在matlab中可以利用一些语句完成对于单个复常数进行幂运算，指数、对数运算，三角运算。对复数进行幂运算的语句为x n，结果便返回x的n次幂；对复数进行指数运算、对数运算的语句为exp(x),log(x)，结果便返回x以e为底的指数和对数。并且，利用语句sin(x),cos(x)可以直接得出x的正弦、余弦值（求解其他三角函数值的

公式见表一）。举例如下：已知复数a=1+i

1−i ，求a

1

、e a、log a、cos a。

解：a=(1+i)/(1-i) a^(1/3) exp(a) log(a) cos(a)。

表一

1.3Matlab中对于两个复常数之间进行乘法、除法运算

在matlab中，两个复数之间的乘法、除法可以通过“*”、“/”来实现。举例如下：

已知a=1+3i ，b=22e π

4i，计算a*b ,

a

b

。

解：a=1+sqrt(3)*i b=2*sqrt(2)*exp(pi/4*i) a*b a/b。

但需要注意的是，（…）/5i相当于（…）/(5*i)，但不等于（…）/5*i。

2.利用matlab 对函数进行泰勒级数展开

设函数f(z)在区域D 内解析，z 0为D 内一点，R 为z 0到D 的边界上各点的最短距离，则当|z-z 0|

时，f(z)可展开为幂级数f(z)= Cn(z −z 0)n ∞n=0,其中Cn=1

n!f

n (z 0),n=0,1,2,…. 研究函数的泰勒级数对于模拟信号与数字信号之间的转化有着非常重要的作用。在平时求解时，利用常见函数的泰勒展开来推导，或者利用逐项积分与逐项求导来展开一般函数为最常见的方法，但这种方法能展开的函数有限，而且需要一定记忆的基础，因此还是存在一些缺点。但是在matlab 中，对任意函数做泰勒展开就变得非常容易，需要用到taylor 函数，其中taylor(f,z,n)表示返回n-1次幂多项式，taylor(f,z,a)表示返回a 点附近的幂多项式近似，taylor(r,x)表示使用独立变量代替函数findsym(f)。[3] 举例，求f(z)=1

1−z −z 在z=0的邻域内的泰勒展开。 解：syms z f=1/(1-z-z^2) taylor(f,z,0)

3 matlab 在留数和积分中的应用 3.1利用matlab 计算复变函数的留数

根据留数的定义，设Z 0是解析函数f(z)的孤立奇点，我们把f(z)在Z 0处的洛朗展开式中负一次幂项的系数C-1称为f(z)在Z 0出的留数，记作Res[f(z),z]，即Res[f(z),z]=C -1。【2】

在

matlab 中利用residue （）函数可以求出任意复变函数的孤立奇点以及在该点处的留数值。格式如下：[r,p,k]=residue[b,a]。其中r 代表返回函数的留数，p 代表返回函数的孤立奇点，k 代表返回复变函数中两个多项式比值的部分分式展开的直接项，

)()()

()2()2()1()1()()(s K n P s n R P s R P s R s A s B +-++-+-= 如果没有重根，则向量B 和A 为分子、

分母以s 降幂排列的多项式系数，留数返回为向量R 、极点在向量P 的位置，直接项返回到