2021学年数学人教A版必修2课件：第2章 课时作业(付,229)
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课时作业8 平面
——基础巩固类——
1.如图所示，用符号语言可表示为( A )
A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
解析：两个平面 α 与 β 相交于直线 m，直线 n 在平面 α 内， 直线 m 和直线 n 相交于点 A，故用符号语言可表示为 α∩β＝m，
(1)如果 EH∩FG＝P，那么点 P 在直线 BD 上； (2)如果 EF∩GH＝Q，那么点 Q 在直线 AC 上．
解析：(1)若 EH∩FG＝P，那么点 P∈平面 ABD，P∈平面
BCD，而平面 ABD∩平面 BCD＝BD，则 P∈BD．(2)若 EF∩GH
＝Q，则 Q∈平面 ABC，Q∈平面 ACD，而平面 ABC∩平面 ACD
n⊂α，m∩n＝A．
2．如果直线 a⊂平面 α，直线 b⊂平面 α，M∈a，N∈b，且
M∈l，N∈l，那么( A )
A．l⊂α
B．l⊄α
C．l∩α＝M D．l∩α＝N
解析：∵M∈a，N∈b，a⊂α，b⊂α，∴M∈α，N∈α.而 M， N 确定直线 l，根据公理 1 可知 l⊂α.故选 A．
3．下面给出了四个条件：①空间三个点；②一条直线和一个
解析：四边形可能是空间四边形，故 A，B 错误；当三点在 同一直线上时，可以确定无数个平面，故 D 错误．故选 C．
6.如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，O 为 DB 的中点，
直线 A1C 交平面 C1BD 于点 M，则下列结论中错误的是( D )
A．C1，M，O 三点共线 B．C1，M，O，C 四点共面 C．C1，O，A，M 四点共面 D．D1，D，O，M 四点共面
13．设 P 表示一个点，a，b 表示两条直线，α，β 表示两个平
面，给出下列四个命题：
①若 P∈a，P∈α，则 a⊂α；
②若 a∩b＝P，b⊂β，则 a⊂β；
③若 a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α，则 b⊂α；
④若 α∩β＝b，P∈α，P∈β，则 P∈b.
其中真命题是( D )
＝AC，则 Q∈AC．
9．已知平面 α∩平面 β＝l，点 M∈α，N∈α，P∈β，P∉l 且 MN∩l＝R，过 M，N，P 三点所确定的平面记为 γ，则 β∩γ 等于
直线 PR .
解析：如图所示，MN⊂γ，R∈MN，∴R∈γ.又 R∈l，∴R∈β. 又 P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR.
10.如图，直角梯形 ABDC 中，AB∥CD，AB>CD，S 是直角 梯形 ABDC 所在平面外一点，画出平面 SBD 和平面 SAC 的交线， 并说明理由．
解析：在题图中，连接 A1C1，AC，则 AC∩BD＝O，∵A1C∩ 平面 C1BD＝M，∴C1，M，O 三点在平面 C1BD 与平面 ACC1A1 的交线上，即 C1，M，O 三点共线，∴选项 A，B，C 均正确，选 项 D 不正确．
7．如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，试根据图形填空：
——能力提升类——
12．下列说法中正确的是( D )
A．相交直线上的三个点可以确定一个平面 B．空间两两相交的三条直线确定一个平面 C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形 D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内
解析：A 错误，当三点共线时，过三点的平面有无数个．B 错误，空间两两相交的三条直线(不在同一平面内)交于同一点时， 无法确定一个平面．C 错误，空间中四个点不一定共面，有三个 角为直角的四边形可能是空间图形．
点；③和直线 a 都相交的两条直线；④两两相交的三条直线．
其中，能确定一个平面的条件有( A )
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
解析：①中空间三点共线时不能确定一个平面．②中点在直 线上时不能确定一个平面．③中两直线若不平行也不相交时不能 确定一个平面．④中三条直线交于一点且不共面时不能确定一个 平面．
(2)有三线共点的情况，如图②. 设 b，c，d 三线相交于点 K，与 a 分别交于 N，P，M，且 K ∉a.因为 K∉a，所以 K 和 a 确定一个平面，设为 β.因为 N∈a，a⊂β， 所以 N∈β，所以 NK⊂β，即 b⊂β. 同理 c⊂β，d⊂β，所以 a，b，c，d 共面． 由(1)(2)知 a，b，c，d 共面．
11．已知 a，b，c，d 是两两相交且不共点的四条直线，求证： a，b，c，d 共面．
证明：(1)无三线共点情况，如图①. 设 a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c ＝S.因为 a∩d＝M，所以 a，d 可确定一个平面 α. 因为 N∈d，Q∈a，所以 N∈α，Q∈α. 所以 NQ⊂α，即 b⊂α.同理 c⊂α， 所以 a，b，c，d 共面．
解：很明显，点 S 是平面 SBD 和平面 SAC 的一个公共点，即 点 S 在交线上，由于 AB>CD，则分别延长 AC 和 BD 交于点 E，
如图所示．∵E∈AC，AC⊂平面 SAC，∴E∈平面 SAC． 同理，可证 E∈平面 SBD．∴点 E 在平面 SBD 和平面 SAC
的交线上，连接 SE，直线 SE 是平面 SBD 和平面 SAC 的交线．
4．一条直线和这条直线外不共线的三点，最多可确定( B )
A．三个平面 B．四个平面 C．五个平面 D．六个平面
解析：直线和直线外的每一个点都可以确定一个平面，有三 个平面，另外，不共线的三点可以确定一个平面，共可确定四个 平面．
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5．在空间，下列说法正确的是( C )
A．两组对边相等的四边形是平行四边形 B．四边相等的四边形是菱形 C．正方形确定一个平面 D．三点确定一个平面
(1)平面 AB1∩平面 A1C1＝ A1B1 ； (2)平面 A1C1CA∩平面 AC＝ AC ； (3)平面 A1C1CA∩平面 D1B1BD＝ OO1 ； (4)平面 A1C1，平面 B1C，平面 AB1 的公共点为 B1 .
8.如图所示，A，B，C，D 为不共面的四点，E，F，G，H 分 别在线段 AB，BC，CD，DA 上．
——基础巩固类——
1.如图所示，用符号语言可表示为( A )
A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
解析：两个平面 α 与 β 相交于直线 m，直线 n 在平面 α 内， 直线 m 和直线 n 相交于点 A，故用符号语言可表示为 α∩β＝m，
(1)如果 EH∩FG＝P，那么点 P 在直线 BD 上； (2)如果 EF∩GH＝Q，那么点 Q 在直线 AC 上．
解析：(1)若 EH∩FG＝P，那么点 P∈平面 ABD，P∈平面
BCD，而平面 ABD∩平面 BCD＝BD，则 P∈BD．(2)若 EF∩GH
＝Q，则 Q∈平面 ABC，Q∈平面 ACD，而平面 ABC∩平面 ACD
n⊂α，m∩n＝A．
2．如果直线 a⊂平面 α，直线 b⊂平面 α，M∈a，N∈b，且
M∈l，N∈l，那么( A )
A．l⊂α
B．l⊄α
C．l∩α＝M D．l∩α＝N
解析：∵M∈a，N∈b，a⊂α，b⊂α，∴M∈α，N∈α.而 M， N 确定直线 l，根据公理 1 可知 l⊂α.故选 A．
3．下面给出了四个条件：①空间三个点；②一条直线和一个
解析：四边形可能是空间四边形，故 A，B 错误；当三点在 同一直线上时，可以确定无数个平面，故 D 错误．故选 C．
6.如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，O 为 DB 的中点，
直线 A1C 交平面 C1BD 于点 M，则下列结论中错误的是( D )
A．C1，M，O 三点共线 B．C1，M，O，C 四点共面 C．C1，O，A，M 四点共面 D．D1，D，O，M 四点共面
13．设 P 表示一个点，a，b 表示两条直线，α，β 表示两个平
面，给出下列四个命题：
①若 P∈a，P∈α，则 a⊂α；
②若 a∩b＝P，b⊂β，则 a⊂β；
③若 a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α，则 b⊂α；
④若 α∩β＝b，P∈α，P∈β，则 P∈b.
其中真命题是( D )
＝AC，则 Q∈AC．
9．已知平面 α∩平面 β＝l，点 M∈α，N∈α，P∈β，P∉l 且 MN∩l＝R，过 M，N，P 三点所确定的平面记为 γ，则 β∩γ 等于
直线 PR .
解析：如图所示，MN⊂γ，R∈MN，∴R∈γ.又 R∈l，∴R∈β. 又 P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR.
10.如图，直角梯形 ABDC 中，AB∥CD，AB>CD，S 是直角 梯形 ABDC 所在平面外一点，画出平面 SBD 和平面 SAC 的交线， 并说明理由．
解析：在题图中，连接 A1C1，AC，则 AC∩BD＝O，∵A1C∩ 平面 C1BD＝M，∴C1，M，O 三点在平面 C1BD 与平面 ACC1A1 的交线上，即 C1，M，O 三点共线，∴选项 A，B，C 均正确，选 项 D 不正确．
7．如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，试根据图形填空：
——能力提升类——
12．下列说法中正确的是( D )
A．相交直线上的三个点可以确定一个平面 B．空间两两相交的三条直线确定一个平面 C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形 D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内
解析：A 错误，当三点共线时，过三点的平面有无数个．B 错误，空间两两相交的三条直线(不在同一平面内)交于同一点时， 无法确定一个平面．C 错误，空间中四个点不一定共面，有三个 角为直角的四边形可能是空间图形．
点；③和直线 a 都相交的两条直线；④两两相交的三条直线．
其中，能确定一个平面的条件有( A )
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
解析：①中空间三点共线时不能确定一个平面．②中点在直 线上时不能确定一个平面．③中两直线若不平行也不相交时不能 确定一个平面．④中三条直线交于一点且不共面时不能确定一个 平面．
(2)有三线共点的情况，如图②. 设 b，c，d 三线相交于点 K，与 a 分别交于 N，P，M，且 K ∉a.因为 K∉a，所以 K 和 a 确定一个平面，设为 β.因为 N∈a，a⊂β， 所以 N∈β，所以 NK⊂β，即 b⊂β. 同理 c⊂β，d⊂β，所以 a，b，c，d 共面． 由(1)(2)知 a，b，c，d 共面．
11．已知 a，b，c，d 是两两相交且不共点的四条直线，求证： a，b，c，d 共面．
证明：(1)无三线共点情况，如图①. 设 a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c ＝S.因为 a∩d＝M，所以 a，d 可确定一个平面 α. 因为 N∈d，Q∈a，所以 N∈α，Q∈α. 所以 NQ⊂α，即 b⊂α.同理 c⊂α， 所以 a，b，c，d 共面．
解：很明显，点 S 是平面 SBD 和平面 SAC 的一个公共点，即 点 S 在交线上，由于 AB>CD，则分别延长 AC 和 BD 交于点 E，
如图所示．∵E∈AC，AC⊂平面 SAC，∴E∈平面 SAC． 同理，可证 E∈平面 SBD．∴点 E 在平面 SBD 和平面 SAC
的交线上，连接 SE，直线 SE 是平面 SBD 和平面 SAC 的交线．
4．一条直线和这条直线外不共线的三点，最多可确定( B )
A．三个平面 B．四个平面 C．五个平面 D．六个平面
解析：直线和直线外的每一个点都可以确定一个平面，有三 个平面，另外，不共线的三点可以确定一个平面，共可确定四个 平面．
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5．在空间，下列说法正确的是( C )
A．两组对边相等的四边形是平行四边形 B．四边相等的四边形是菱形 C．正方形确定一个平面 D．三点确定一个平面
(1)平面 AB1∩平面 A1C1＝ A1B1 ； (2)平面 A1C1CA∩平面 AC＝ AC ； (3)平面 A1C1CA∩平面 D1B1BD＝ OO1 ； (4)平面 A1C1，平面 B1C，平面 AB1 的公共点为 B1 .
8.如图所示，A，B，C，D 为不共面的四点，E，F，G，H 分 别在线段 AB，BC，CD，DA 上．