第三讲 计算机图形技术基础
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2 2
2
参数形式：
x xC R cos y YC R sin
(0 2 )
圆与圆弧
2、3 图形剪裁
图形剪裁技术与窗口技术密切相关，其目的是把窗口区 域内定义的图形以适当的比例输出到视口，而把窗口之外的 图形在输出时剪裁掉。常用的剪裁法有：编码算法、矢量线 段剪裁法、中点分割法等。 编码算法： 1）首先，用四位二进制编码描述点的位置，四位二进制编 码分别代表点的位置与窗口边界的上、下、左、右关系。
CAD/CAM原理与实践
西安科技大学
机械工程学院
于洋
第三讲
图形处理技术基础
第三讲
图形处理技术基础
第三讲
图形处理技术基础
第三讲
图形处理技术基础
第三讲
3、1 基本概念 3、1、1 坐标系
图形处理技术基础
直角坐标系的三个基本要素：
坐标原点
分类：
相互垂直的坐标轴
坐标轴上的度量单位
世界坐标系
设备坐标系
2、4 二维图形的几何变换
2、变换类型 4）旋转变换 当A=D=cosθ，B=sinθ 、C=-sinθ时， [x’ y’]= [x cosθ- ysinθ xsinθ+ y cosθ]，产生绕原点（ 0,0）旋转角度的变换。
3、规格化设备坐标系（NDC）
规格化设备坐标系为取值范围在[0，1]之间（ 即0≤x≤1， 0≤y≤1）的直角坐标系。
设备坐标系1 世界坐标系
计算机图形处理
设备坐标系2
•••••••
设备坐标系n 设备坐标系1
世界坐标系
数据转化
规格化设备坐标系
转化
设备坐标系2
•••••••
设备坐标系n
3、规格化设备坐标系（NDC）
2、4 二维图形的几何变换
2、变换类型 3）错切变换 当A=D=1，B、C不全为0时，产生错切变换。 （1）沿Y方向的错切变换：C=0，B‡0时， [x’ y’]= [x Bx+ y] 。 （2）沿X方向的错切变换：B=0，C‡0时， [x’ y’]= [x+Cy y] 。 （3）沿X、Y两个方向的错切变换：C ‡ 0，B‡0时， [x’ y’]= [x+Cy Bx+ y] 。
符合右手定则。
2、设备坐标系（物理坐标系）
图形输出设备（显示器、绘图机）自身都有一个 相对独立的坐标系，用来绘制或显示图形，称为 设备坐标系。 是一个二维平面坐标系。
度量单位是步长（绘图机） 或像素（显示器）。 设备坐标系的定义域是整数 域且是有界的。 对于显示器，分辨率就是设 备坐标系的界限范围。 通常使用左手直角坐标系。
a=c=1,b=d=0
二维图形基本元素
1、点与直线 (1)点 平面上的一个点P由它的一对 坐标 P（x，y）定义。 P≡（x，y）
二维图形基本元素
1、点与直线 (2) 直线 A、直线的两点式方程
x x1 y y1 x2 x1 y2 y1
B、直线的参数式方程
y y1 y2 y1
1001
1000 0000 窗口 0100
1010
0001
0101
0010
0110
2、3 图形剪裁
编码算法： 2）再用下列规则判断每条线段是否可见、是否需要剪裁： 两个端点编码均为0000，则该线段可见； 两个端点编码不全为0000 ，则将两端点编码逻辑相乘，若结果： A、结果不为0000，则该线段不可见； B、结果为0000，则为暂不确定线段，有两种情况： 1）该线段至少有一部分可见； 2）该线段完全不可见。
2、1 基本概念 2、1、3 窗口与视口
2、1 基本概念 2、1、3 窗口与视口
(3)、窗口与视口的坐标变换
窗口是由用户在用户域用世界坐标系来定义的，而视 口是由用户在屏幕域用设备坐标系来定义。因此，在 把窗口中的图形信息送到视口去输出之前，要进行坐 标转换，即把世界坐标系的坐标值转化为设备坐标系 的坐标值------视口坐标变换。
x’=Ax+Cy y’=Bx+Dy
一、二维图形的几何变换
1.工程图形的齐次坐标矩阵表示
齐次坐标：将一个n维向量用n+1维向量表示 。
例：平面三角形A齐次坐标矩阵表示
x
x1 A x2 x3
B=A· T
y1 1 y 2 1 y3 1
3 1 o A 2
y
若图形A经过某种变换后得到图形B，则有： T称为变换矩阵。二维：T为3x3矩阵，三维：T为4x4矩阵。
2、1 基本概念
(3)、窗口与视口的坐标变换
X V V xl X W W xl V xr V xl W xr W xl YV V yb V yt V yb
XV YV
a c
YW W yb W yt W yb
Vxr Vxl （X W Wxl） Vxl Wxr Wxl Vyt Vyb （YW Wyb） Vyb
具体转换方法：用户在世界坐标系中定义的图 形，由图形软件将欲输出的图形上各点坐标值乘 以一系数K使图形的各点坐标值变换到[0，1]的规 格化坐标值的数值范围内。这样，规格化设备坐 标系与设备坐标系的转换就为标准转换了，图形 处理及应用程序的移植就非常方便。
2、1 基本概念 2、1、2 齐次坐标
所谓“齐次坐标表示法”就是 用n+1 维矢量表示一个n维空 间的点。 n维空间中点的位置 向量用非齐次坐标表示时，具 有n个坐标分量（P1，P2，••• ，Pn），且是唯一的。若用齐 次坐标表示时，此向量有n+1 个坐标分量（hP1，hP2，••• ，hPn，h），且不唯一。其中 h是一个不为零的比例因子。 由于比例因子h取值的不同， 一个n维空间位置矢量在n+1维 齐次空间内对应有无穷多个位 置矢量。
2、4 二维图形的几何变换
2、变换类型 1）比例变换
2、4 二维图形的几何变换
2、变换类型 2）对称变换 当B=C=0，A、D不全为正时，产生对称变换。 （1）对Y轴的对称变换：A=-1，D=1时， [x’ y’]= [-x y] 。 （2）对X轴的对称变换：A=1，D=-1时， [x’ y’]= [x -y] 。 （3）对原点的对称变换：A=-1，D=-1时， [x’ y’]= [-x -y] 。 当A=D=0，B、C不全为正时 （4）对45°线的对称变换：B=1，C=1时， [x’ y’]= [y x] 。 （5）对45°线的对称变换：B=-1，C=-1时， [x’ y’]= [-y x]
例如， （12，8 ， 4）， （6，4 ， 2）， （3，2 ，
1）均表示（3，2）这一点的齐次坐标。
2、1 基本概念 2、1、2 齐次坐标
采用齐次坐标表示的优点：
1、为几何图形的二维、三维甚至高维空间中的一个点集从 一个坐标系变换到另一个坐标系的坐标变换提供了统一的 矩阵运算方法。
a11 a12 a13 T2D= a21 a31 a22 a23 a32 a33 T3D=
a11 a12 a13 a21 a31 a41
a14
a22 a23 a24 a32 a33 a34 a42 a43 a44
2、1 基本概念 2、1、2 齐次坐标
采用齐次坐标表示的优点：
2、对无穷远点的处理比较方便。
例如n+1维中h=0的齐次坐标实际上表示了一个n维的无穷远 点。
对二维的齐次坐标[a，b，h]，当h→0，表示了直线 ax+by=0上的连续点[x，y]逐渐趋近于无穷远的点，但其斜 率不变。 在三维情况下，利用齐次坐标表示视点在世界坐标系原点时 的投影变换。
ຫໍສະໝຸດ Baidu 2、4 二维图形的几何变换
2、变换类型 A 0 1）比例变换 当B=C=0，A、D>0时， [x’ y’]= [x y] 0 D =[Ax Dy]，产生比例变换。 （1）恒等变换：A=D=1时， [x’ y’]= [x y] 。 （2）位似变换：A=D时， [x’ y’]= [Ax Ay] ，以相同的比 例因子进行X、Y两个方向的缩放。 （3）放大变换：A、D >1时， [x’ y’]= [Ax Dy] > [x y] 。 （4）缩小变换：A、D <1时， [x’ y’]= [Ax Dy] < [x y] 。 （5）不等比例变换：A‡D时，图形再X，Y两个方向以不同的 比例变换。
2、1 基本概念 2、1、3 窗口与视口
1、用户域和窗口
（2）窗口（Windows）
2、1 基本概念 2、1、3 窗口与视口
1、用户域和窗口
（2）窗口（Windows）
2、1 基本概念 2、1、3 窗口与视口
2、屏幕域与视口
（1）屏幕域 （DC）
屏幕域是在显示器上输出图形的最大区域，是有限的整数域。 如某图形显示器的分辨率为1024X768像素，则屏幕域DC可定 义为：DC∈[0：1023]X[0：767] （2）视口（ViewPort) 任何小于或等于屏幕的区域都称为视口（V）。视口是由用户在 屏幕域用设备坐标系来定义。
C、直线的标准方程
D、直线的法线方程
Ax By C 0 A A2 B 2 A2 B 2 cos x sin y d 0 x B y C A2 B 2 0
圆与圆弧 1、圆的方程式 设圆心为（xC,yC），半径为R，则： 代数形式：
( x xC ) ( y yC ) R
2、1 基本概念 2、1、3 窗口与视口
1、用户处理的图形，在大小、规模及复杂程度上一般 事先是不确定的，但图形输出设备的有效绘图区域总是 固定有限的，存在矛盾。 2、有时需要输出一部分图形。
3、图形输出设备分成若干子区域，每个区域显示各种
不同的图形信息。
2、1 基本概念 2、1、3 窗口与视口
1、用户域和窗口
（1）用户域
用户域是指程序员用来定义草图的整个自然空间（WD）。 理论上说WD是连续无限的。
（2）窗口（Windows）
用户指定的任一区域（W）叫做“窗口”，窗口区W小于或 等于用户域WD，任何小于WD的窗口区W都叫WD的一个子域。 窗口是在世界坐标系中定义的确定显示内容的一个矩形区域 ，它用于选取用户所定义的图形中所需要观察的那部分，只有在 这个窗口内的图形才能在该设备坐标系下输出，而窗口外的部分 将被剪掉。
规格化设备坐标系
1、世界坐标系（用户坐标系） 是用户描述自己的图形时所采用的坐标系。
1、世界坐标系（用户坐标系） 内容取决于用户所描述的图形的类型， 所采用的单位也由用户确定。 可用来定义在二维或三维世界中的物体。 不受图形输入输出有效幅面的限制，即世 界坐标系是无限大且连续的。 各坐标轴上的单位可以不一致。
2、4 二维图形的几何变换
1、基本原理 x 。 1）点的表示 (x,y) ，矩阵形式：[x y]或 y 2）变换矩阵 若A、B和M都是矩阵，且AM=B，这种一个矩阵A对 另一个矩阵M施行乘法运算而得出一个新矩阵B的方法，可被用 来完成一个点或一组点的几何变换，M称为变换矩阵。 3）点的变换 A B 设M= C D ，点的坐标[x y]，变换后点的坐标[x’ y’],则 A B [x’ y’]= [x y] = [Ax+Cy Bx+Dy] C D
当取h=1时，空间的位置向量 （P1，P2，•••，Pn，1）称 为齐次坐标的规格化形式。
2、1 基本概念 2、1、2 齐次坐标
二维点（x，y）的齐次坐标表示为（hx，hy,h），则
（h1x，h1y,h1）， （h2x，h2y,h2），•••， （hmx，hmy,hm
）都表示二维空间中的同一个点（x，y）的齐次坐标。
Vxr Vxl Wxl Wxr Wxl Vyt Vyb Wyt Wyb Wyb
Wyt Wyb
Vxr Vxl Wxr Wxl Vyt Vyb Wyt Wyb
b Vxl
d Vyb
X V aXW b YV cYW d
2、1 基本概念
(3)、窗口与视口的坐标变换
[XV YV 1]=
a
[XW YW 1]• 0 b
0
c d
0
0 1
2、2 图形几何变换
(3)、窗口与视口的坐标变换 结论： 1）视区不变，窗口缩小或放大时，显示的图形会相应 放大或缩小； 2）窗口不变，视区缩小或放大时，显示的图形会相应 缩小或放大； 3）视区纵横比不等于窗口纵横比，显示的图形会有伸 缩变化； 4）窗口和视区缩大小相同，坐标原点也相同时，显示 的图形不变。
2
参数形式：
x xC R cos y YC R sin
(0 2 )
圆与圆弧
2、3 图形剪裁
图形剪裁技术与窗口技术密切相关，其目的是把窗口区 域内定义的图形以适当的比例输出到视口，而把窗口之外的 图形在输出时剪裁掉。常用的剪裁法有：编码算法、矢量线 段剪裁法、中点分割法等。 编码算法： 1）首先，用四位二进制编码描述点的位置，四位二进制编 码分别代表点的位置与窗口边界的上、下、左、右关系。
CAD/CAM原理与实践
西安科技大学
机械工程学院
于洋
第三讲
图形处理技术基础
第三讲
图形处理技术基础
第三讲
图形处理技术基础
第三讲
图形处理技术基础
第三讲
3、1 基本概念 3、1、1 坐标系
图形处理技术基础
直角坐标系的三个基本要素：
坐标原点
分类：
相互垂直的坐标轴
坐标轴上的度量单位
世界坐标系
设备坐标系
2、4 二维图形的几何变换
2、变换类型 4）旋转变换 当A=D=cosθ，B=sinθ 、C=-sinθ时， [x’ y’]= [x cosθ- ysinθ xsinθ+ y cosθ]，产生绕原点（ 0,0）旋转角度的变换。
3、规格化设备坐标系（NDC）
规格化设备坐标系为取值范围在[0，1]之间（ 即0≤x≤1， 0≤y≤1）的直角坐标系。
设备坐标系1 世界坐标系
计算机图形处理
设备坐标系2
•••••••
设备坐标系n 设备坐标系1
世界坐标系
数据转化
规格化设备坐标系
转化
设备坐标系2
•••••••
设备坐标系n
3、规格化设备坐标系（NDC）
2、4 二维图形的几何变换
2、变换类型 3）错切变换 当A=D=1，B、C不全为0时，产生错切变换。 （1）沿Y方向的错切变换：C=0，B‡0时， [x’ y’]= [x Bx+ y] 。 （2）沿X方向的错切变换：B=0，C‡0时， [x’ y’]= [x+Cy y] 。 （3）沿X、Y两个方向的错切变换：C ‡ 0，B‡0时， [x’ y’]= [x+Cy Bx+ y] 。
符合右手定则。
2、设备坐标系（物理坐标系）
图形输出设备（显示器、绘图机）自身都有一个 相对独立的坐标系，用来绘制或显示图形，称为 设备坐标系。 是一个二维平面坐标系。
度量单位是步长（绘图机） 或像素（显示器）。 设备坐标系的定义域是整数 域且是有界的。 对于显示器，分辨率就是设 备坐标系的界限范围。 通常使用左手直角坐标系。
a=c=1,b=d=0
二维图形基本元素
1、点与直线 (1)点 平面上的一个点P由它的一对 坐标 P（x，y）定义。 P≡（x，y）
二维图形基本元素
1、点与直线 (2) 直线 A、直线的两点式方程
x x1 y y1 x2 x1 y2 y1
B、直线的参数式方程
y y1 y2 y1
1001
1000 0000 窗口 0100
1010
0001
0101
0010
0110
2、3 图形剪裁
编码算法： 2）再用下列规则判断每条线段是否可见、是否需要剪裁： 两个端点编码均为0000，则该线段可见； 两个端点编码不全为0000 ，则将两端点编码逻辑相乘，若结果： A、结果不为0000，则该线段不可见； B、结果为0000，则为暂不确定线段，有两种情况： 1）该线段至少有一部分可见； 2）该线段完全不可见。
2、1 基本概念 2、1、3 窗口与视口
2、1 基本概念 2、1、3 窗口与视口
(3)、窗口与视口的坐标变换
窗口是由用户在用户域用世界坐标系来定义的，而视 口是由用户在屏幕域用设备坐标系来定义。因此，在 把窗口中的图形信息送到视口去输出之前，要进行坐 标转换，即把世界坐标系的坐标值转化为设备坐标系 的坐标值------视口坐标变换。
x’=Ax+Cy y’=Bx+Dy
一、二维图形的几何变换
1.工程图形的齐次坐标矩阵表示
齐次坐标：将一个n维向量用n+1维向量表示 。
例：平面三角形A齐次坐标矩阵表示
x
x1 A x2 x3
B=A· T
y1 1 y 2 1 y3 1
3 1 o A 2
y
若图形A经过某种变换后得到图形B，则有： T称为变换矩阵。二维：T为3x3矩阵，三维：T为4x4矩阵。
2、1 基本概念
(3)、窗口与视口的坐标变换
X V V xl X W W xl V xr V xl W xr W xl YV V yb V yt V yb
XV YV
a c
YW W yb W yt W yb
Vxr Vxl （X W Wxl） Vxl Wxr Wxl Vyt Vyb （YW Wyb） Vyb
具体转换方法：用户在世界坐标系中定义的图 形，由图形软件将欲输出的图形上各点坐标值乘 以一系数K使图形的各点坐标值变换到[0，1]的规 格化坐标值的数值范围内。这样，规格化设备坐 标系与设备坐标系的转换就为标准转换了，图形 处理及应用程序的移植就非常方便。
2、1 基本概念 2、1、2 齐次坐标
所谓“齐次坐标表示法”就是 用n+1 维矢量表示一个n维空 间的点。 n维空间中点的位置 向量用非齐次坐标表示时，具 有n个坐标分量（P1，P2，••• ，Pn），且是唯一的。若用齐 次坐标表示时，此向量有n+1 个坐标分量（hP1，hP2，••• ，hPn，h），且不唯一。其中 h是一个不为零的比例因子。 由于比例因子h取值的不同， 一个n维空间位置矢量在n+1维 齐次空间内对应有无穷多个位 置矢量。
2、4 二维图形的几何变换
2、变换类型 1）比例变换
2、4 二维图形的几何变换
2、变换类型 2）对称变换 当B=C=0，A、D不全为正时，产生对称变换。 （1）对Y轴的对称变换：A=-1，D=1时， [x’ y’]= [-x y] 。 （2）对X轴的对称变换：A=1，D=-1时， [x’ y’]= [x -y] 。 （3）对原点的对称变换：A=-1，D=-1时， [x’ y’]= [-x -y] 。 当A=D=0，B、C不全为正时 （4）对45°线的对称变换：B=1，C=1时， [x’ y’]= [y x] 。 （5）对45°线的对称变换：B=-1，C=-1时， [x’ y’]= [-y x]
例如， （12，8 ， 4）， （6，4 ， 2）， （3，2 ，
1）均表示（3，2）这一点的齐次坐标。
2、1 基本概念 2、1、2 齐次坐标
采用齐次坐标表示的优点：
1、为几何图形的二维、三维甚至高维空间中的一个点集从 一个坐标系变换到另一个坐标系的坐标变换提供了统一的 矩阵运算方法。
a11 a12 a13 T2D= a21 a31 a22 a23 a32 a33 T3D=
a11 a12 a13 a21 a31 a41
a14
a22 a23 a24 a32 a33 a34 a42 a43 a44
2、1 基本概念 2、1、2 齐次坐标
采用齐次坐标表示的优点：
2、对无穷远点的处理比较方便。
例如n+1维中h=0的齐次坐标实际上表示了一个n维的无穷远 点。
对二维的齐次坐标[a，b，h]，当h→0，表示了直线 ax+by=0上的连续点[x，y]逐渐趋近于无穷远的点，但其斜 率不变。 在三维情况下，利用齐次坐标表示视点在世界坐标系原点时 的投影变换。
ຫໍສະໝຸດ Baidu 2、4 二维图形的几何变换
2、变换类型 A 0 1）比例变换 当B=C=0，A、D>0时， [x’ y’]= [x y] 0 D =[Ax Dy]，产生比例变换。 （1）恒等变换：A=D=1时， [x’ y’]= [x y] 。 （2）位似变换：A=D时， [x’ y’]= [Ax Ay] ，以相同的比 例因子进行X、Y两个方向的缩放。 （3）放大变换：A、D >1时， [x’ y’]= [Ax Dy] > [x y] 。 （4）缩小变换：A、D <1时， [x’ y’]= [Ax Dy] < [x y] 。 （5）不等比例变换：A‡D时，图形再X，Y两个方向以不同的 比例变换。
2、1 基本概念 2、1、3 窗口与视口
1、用户域和窗口
（2）窗口（Windows）
2、1 基本概念 2、1、3 窗口与视口
1、用户域和窗口
（2）窗口（Windows）
2、1 基本概念 2、1、3 窗口与视口
2、屏幕域与视口
（1）屏幕域 （DC）
屏幕域是在显示器上输出图形的最大区域，是有限的整数域。 如某图形显示器的分辨率为1024X768像素，则屏幕域DC可定 义为：DC∈[0：1023]X[0：767] （2）视口（ViewPort) 任何小于或等于屏幕的区域都称为视口（V）。视口是由用户在 屏幕域用设备坐标系来定义。
C、直线的标准方程
D、直线的法线方程
Ax By C 0 A A2 B 2 A2 B 2 cos x sin y d 0 x B y C A2 B 2 0
圆与圆弧 1、圆的方程式 设圆心为（xC,yC），半径为R，则： 代数形式：
( x xC ) ( y yC ) R
2、1 基本概念 2、1、3 窗口与视口
1、用户处理的图形，在大小、规模及复杂程度上一般 事先是不确定的，但图形输出设备的有效绘图区域总是 固定有限的，存在矛盾。 2、有时需要输出一部分图形。
3、图形输出设备分成若干子区域，每个区域显示各种
不同的图形信息。
2、1 基本概念 2、1、3 窗口与视口
1、用户域和窗口
（1）用户域
用户域是指程序员用来定义草图的整个自然空间（WD）。 理论上说WD是连续无限的。
（2）窗口（Windows）
用户指定的任一区域（W）叫做“窗口”，窗口区W小于或 等于用户域WD，任何小于WD的窗口区W都叫WD的一个子域。 窗口是在世界坐标系中定义的确定显示内容的一个矩形区域 ，它用于选取用户所定义的图形中所需要观察的那部分，只有在 这个窗口内的图形才能在该设备坐标系下输出，而窗口外的部分 将被剪掉。
规格化设备坐标系
1、世界坐标系（用户坐标系） 是用户描述自己的图形时所采用的坐标系。
1、世界坐标系（用户坐标系） 内容取决于用户所描述的图形的类型， 所采用的单位也由用户确定。 可用来定义在二维或三维世界中的物体。 不受图形输入输出有效幅面的限制，即世 界坐标系是无限大且连续的。 各坐标轴上的单位可以不一致。
2、4 二维图形的几何变换
1、基本原理 x 。 1）点的表示 (x,y) ，矩阵形式：[x y]或 y 2）变换矩阵 若A、B和M都是矩阵，且AM=B，这种一个矩阵A对 另一个矩阵M施行乘法运算而得出一个新矩阵B的方法，可被用 来完成一个点或一组点的几何变换，M称为变换矩阵。 3）点的变换 A B 设M= C D ，点的坐标[x y]，变换后点的坐标[x’ y’],则 A B [x’ y’]= [x y] = [Ax+Cy Bx+Dy] C D
当取h=1时，空间的位置向量 （P1，P2，•••，Pn，1）称 为齐次坐标的规格化形式。
2、1 基本概念 2、1、2 齐次坐标
二维点（x，y）的齐次坐标表示为（hx，hy,h），则
（h1x，h1y,h1）， （h2x，h2y,h2），•••， （hmx，hmy,hm
）都表示二维空间中的同一个点（x，y）的齐次坐标。
Vxr Vxl Wxl Wxr Wxl Vyt Vyb Wyt Wyb Wyb
Wyt Wyb
Vxr Vxl Wxr Wxl Vyt Vyb Wyt Wyb
b Vxl
d Vyb
X V aXW b YV cYW d
2、1 基本概念
(3)、窗口与视口的坐标变换
[XV YV 1]=
a
[XW YW 1]• 0 b
0
c d
0
0 1
2、2 图形几何变换
(3)、窗口与视口的坐标变换 结论： 1）视区不变，窗口缩小或放大时，显示的图形会相应 放大或缩小； 2）窗口不变，视区缩小或放大时，显示的图形会相应 缩小或放大； 3）视区纵横比不等于窗口纵横比，显示的图形会有伸 缩变化； 4）窗口和视区缩大小相同，坐标原点也相同时，显示 的图形不变。