人在雨中奔跑速度与淋雨量问题(1)

人在雨中奔跑速度与淋雨量问题

班级:数学(2)班 学号:1107022037 姓名:张柯

摘要 在雨速和方向都不变的情形下讨论雨中行走问题,分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系,建立相应的数学模型,使得被雨水淋湿的程度最低.得出不考虑雨的方向,淋雨总量(22)/Q wd ab ac bc =++v .即人走的越快淋雨量越少.因此在这种情况下应以最大速度行走.考虑风向时[cos (sin )]bpd Q uc a u v v

θθ=++.当夹角θ一定,淋雨量Q 随着v 的变大而变小,即人走的越快淋雨量越少. 关键词 淋雨量,数学模型,最优淋雨量

正文

1 问题的提出

1.1 不考虑雨的方向,设降雨淋遍全身,以最大速度跑步,估计跑完全程的淋雨量.

1.2 雨从迎面吹来,雨线与跑步方向在同一平面内,且与人体夹角为θ,跑步速度v 为多大时淋雨量最小.

2 合理假设

2.1 假设人在雨中沿直线的方向奔跑且匀速.

2.2 假设雨的速度为常数、雨的方向及降雨量即降雨强度不变.

2.3 假设风速和风向保持不变.

2.4 假设不考虑人表面不平整和衣服的原因对雨水的吸收量,将人 体简化为一长方体.

2.5 假设雨线方向与人跑步方向在同一平面内.

2.6 变量的限定

表一变量表

3 模型的构建

3.1 不考虑雨方向淋雨总量模型

图 1 雨水与人关系模型图

不考虑雨的方向,如图1人以最大的速度奔跑,雨淋遍全身.前后面及两侧面与上面受淋雨面积分别为2ab,2ac,bc.

淋雨的总面积22

=,在雨中历经的时间

w cm h

S ab ac bc

=++,降雨量2/

t=/d v,淋雨总量为

=

Q Swt

故

=++v(1)

(22)/

Q wd ab ac bc

3.2 考虑风向淋雨总量模型

雨迎面吹来,雨线方向与行走方向在同一平面内且与人体夹角为θ,如图2所示.根据实际情况估计人体淋雨可分为头顶和前左右几个方向上.雨迎面吹来时,由于雨相对于人的速度有变化,因此人单位时间内接收雨量变化,且与相对速度成正比.据此,推算出前后侧上单位时间接受雨量.同理,头顶部位接雨量与雨速垂直于头顶平面的分速度

成正比.分别计算出头顶侧与前侧单位时间接雨量,并分别乘以各自面积以及时间d v

,从而得到头顶及两侧淋雨的总量.即人体总的淋雨量.

据此可得Q 与v 之间关系.

图 2 雨水与人关系模型图

顶部淋雨量为顶部淋雨面积bc 与降雨强度pu 以及淋雨时间d v

的乘积,

故

1Q =c o s d b c p u v θ (2) 前方淋雨量为前侧淋雨面积ba 与降雨强度(sin )p u v θ+以及淋雨时间

d v

的乘积,故 2Q =(s i n )d b a p u v v

θ+ (3) 因此，淋雨总量

c o s (s i n )

d d Q bcpu bap u v v v θ

θ=++ [c o s (s i n )]bpd Q uc a u v v

θθ=++ (4)

4 模型的求解

4.1 不考虑降雨方向的情况下,将100d =米,最大速度为max 5/v m s =,雨

速为4/u m s =,降雨量为2/w cm h =带入,则跑完全程的淋雨量为

Q 0.002(22)/3ab ac bc =++ (5)

4.2 考虑降雨方向即风向,其模型应用了雨滴速度的分解及相对运动

速度的概念,得出总的淋雨量为

c o s (s i n )

d d Q bcpu bap u v v v θ

θ=++ (6) [cos (sin )]bpd Q uc a u v v

θθ=++ (7)

其中假设夹角θ一定,淋雨量Q 随着v 的变大而变小,即人走的越快淋

雨量越少.

5 结果分析

5.1 根据不考虑雨的方向,雨淋遍全身即人的前面、后面 、左面、

右面和上面淋雨建立了相应的模型.

(22)/Q Swt wd ab ac bc v ==++ (8)

从模型中可以看出淋雨总量Q 随着v 的变大而变小,即人走越快淋雨量越小.

5.2 雨迎面吹来,雨线方向与行走方向在同一平面内且与人体夹角为θ,应用雨滴速度的分解及相对运动速度的概念建立了相应的数学模型.

cos (sin )[cos (sin )]d d Q bcpu bap u v v v

bpd Q uc a u v v θθθθ=++=++ (9)

其中假设夹角 一定,淋雨量Q随着v的变大而变小,即人走的越快淋雨量越少.

6 模型的评价

通过对题目的分析求解,可知道人在雨中奔跑的淋雨量不仅与跑步速度有关,还与雨线与人跑步方向的夹角,雨速以及人跑步速度等因素有关.文章中并未对雨从背面吹来的情况进行研究,建出相应的模型.,文章还忽略了降雨密度不均匀,风向不稳定等次要因素,以便更好的对问题进行分析和研究.但在实际问题中的限制性因素远远超过这些,因此文章的分析方法仍存在一定的局限性,有待改进和提高.

参考文献

[1] 刘锋.葛照强.数学建模[M].南京:南京大学出本社,2005.

[2]全国大学生数学建模竞赛组委会.全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编[C].北京:中国物价出版社,2002.

[3] 党林立.孙晓群.主编数学建模简明教程[M]西安电子科技大学出版社.