概率统计课件第四章

数学期望的性质
E (C ) = C
常数
E (aX ) = a E (X )
E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
E i n1aiXiC i n1aiE (Xi)C
当X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) .
若存在数 a 使 P(X a) = 1, 则 E (X ) a ； 若存在数 b 使 P(X b) = 1, 则 E (X ) b.
设连续型随机变量X 的概率密度为f (x)
若广义积分
g(x)f(x)dx绝对收敛,
则
E(Y)g(x)f(x)dx
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设二维离散型随机变量(X ,Y ) 的 联合分布律为
P (X x i,Y y j) p i,ji,j 1 ,2 ,
Z = g(X ,Y ),
若级数 g(xi, yj )pij 绝对收敛 , 则 i, j1 E(Z)g(xi,yj)pij i,j1
由上面例子看到，与随机变量有关的某 些数值，虽不能完整地描述随机变量但 能清晰地描述随机变量在某些方面的重 要特征 , 这些数字特征在理论和实践上 都具有重要意义.
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随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写
本 章
随机变量的平均取值 —— 数学期望
随机变量取值平均偏离均值的情况
内
—— 方差
容 描述两随机变量间的某种关系的数
f(x)(1 1x2), x
但
|x|
f(x)d x (1| x|x2)dx 发散
它的数学期望不存在!
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随机变量函数 Y = g(X ) 的数学期望
设离散型随机变量X 的概率分布为
P ( X x i) p i ,i 1 , 2 ,
若无穷级数 g(xi ) pi 绝对收敛，则 i1 E(Y)g(xi)pi i1
5
(1ex)5, x0,
FM(x) Fk(x)
k1
0,
其它，
5ex(1ex)4, x0,
fM(x)
0,
其它， 16
E(M)xM f(x)dx
5x ex(1ex)4dx 0
137
60
E(M)
137
60
11
E(N)
1
5
可见, 并联组成整机的平均寿命比串联 组成整机的平均寿命长11倍之多.
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k 1 (k 1 )(n ! k )!
n1
npCnk1pk(1p)(n1)k np
k0
特例 若Y ~ B ( 1 , p ), 则 E(Y) p
7
例2 X ~ N ( , 2 ), 求 E ( X ) .
解
E(X) x
1 e dx (x2 2)2
2
令xu
（ u） 1
u2
e 2du
2
例3 设 X ~ 参数为 p 的几何分布，求E ( X ).
解
E(X) kp (1p)k1
p
kxk1
k1
k1
x1p
p
xk
'
k1
x1 p
p(11x)2
x1p
1 p
8
常见随机变量的数学期望
分布
概率分布
期望
参数为p 的 0-1分布
P(X1)p P(X0)1p
p
B(n,p)
P()
P(Xk)Cnkpk(1p)nk k0,1,2, ,n
np
P(X k) ke
k!
k 0,1,2,
9
分布
概率密度
期望
区间(a,b)上的 均匀分布
f(x)b1a, 0,
axb, a b 其它 2
E()
ex, x0,
f (x)
0,
其它
1
N(, 2)
f(x) 1 e(x22)2
2
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注意 不是所有的随机变量都有数学期望 例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为
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设二维连续型随机变量(X ,Y )的 联合概率密度为
f (x ,y) ，Z = g(X ,Y ), 若广义积分
g(x,y)f(x,y)dxdy
绝对收敛, 则
E (Z) g(x,y)f(x,y)dxdy
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例4 五个独立元件,寿命分别为X 1 ,X 2 , ,X 5 ,
都服从参数为 的指数分布，若将它们
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注 性质 4 的逆命题不成立，即
若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定独立
反例 1
pij X -1
0
Y
1 p• j
-1
18
18
18 38
0
18
0
18 28
1
18
18
18 38
pi•
38
28
38
19
X Y -1
0
1
P
28 48
28
E (X ) E (Y ) 0 ; E(X)Y 0; E (X ) Y E (X )E ( Y )
第四章 随机变量的数字特征1
分布函数能完整地描述随机变量的 特性, 但实际应用中并不都需要知 道分布函数，而只需知道随机变量 的某些特征.
例如： 判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度
又要看纤维长度与平均长度的偏离程度 平均长度越长,偏离程度越小, 质量就越好;
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考察一射手的水平, 既要看他的 平均环数是否高, 还要看他弹着点的 范围是否小, 即数据的波动是否小.
f (x) 若广义积分
xf(x)dx
绝对收敛, 则称此积分为 X 的数学期望 记作 E( X ), 即
E(X)x(fx)dx
数学期望的本质 —— 加权平均
它是一个数不再是随机变量
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例1 X ~ B ( n , p ), 求 E( X ) .
解
n
E(X) kC n kpk(1p)nk
k0
nn p(n 1 )!p k 1 (1 p )(n 1 ) (k 1 )
(1) 串联； (2) 并联 成整机，求整机寿命的均值。
解 (1) 设整机寿命为 N , Nk m 1,2, ,5i{X nk}
5
FN(x)1(1Fk(x),)
k1
1e5x, x 0,
0,
其ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，
15
5e5x, x0,
fN(x)
0,
其它，
即 N ~ E( 5), E(N) 1
5
(2) 设整机寿命为 M k m 1,2, ,5 a {X x k}
但 P(X1,Y1)1
8 P(X1)P(Y1)8 32
20
反例2 ( X ,Y ) ~ U ( D )D , { x ,y ) ( x 2 y 2 1 }
—— 协方差与相关系数
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§4.1 随机变量的数学期望
数学期望的定义
定义 设 X 为离散型随机变量其分布律为 P ( X x k ) p k ,k 1 , 2 ,
若无穷级数 x k p k 绝对收敛, 则称 k 1
其和为 X 的数学期望 记作 E( X ), 即
E(X) xk pk
k1
5
定义 设连续型随机变量X 的概率密度为