湖南省衡阳一中2021届高三上学期第一次月考答案

设二面角 A-EP-C 为 ， |cos|= |n1 n2 | 1
5
.
|n1 || n2 | 5 5
微信公众号《试卷答案》
易知二面角 A-EP-C 为钝角，所以 cos =- 5 . 5
（射影面积法也可）
20.解：(1)依题意： x 1 2 3 4 5 3，y 8 10 13 20 24 15
微信公众号《
（2）设直线 PQ 的方程为 y kx 2 ， P,Q 的坐标分别为 P x1, y1 ,Q x2 , y2
则直线 BP 的方程为 y
y1 1 x 1，令 x1
y
0 ，得点 M
的横坐标 xM
x1 y1 1
直线 BQ
的方程为 y
y2 1 x 1，令 x2
y 0 ，得点 N
的横坐标 xN
∴
f
x
min
f
x0
x0 1 x0 1 ln x0 1 1
x0 3, 4 ,所以整数 m
的最大值为 3
x0
（2）法一：要证
f
x
g
x ,即证 ln
x
x2 1 ex
0
,
令
h
x
ln
x
x2 1 ex
,则
h
x
1 x
2x
x2 ex
1
ex
x3 2x2 xe x
x
,
案》
令 x ex x3 2x2 x ,则
x2 y2 1
xM
xN
x1 x2 ( y1 1)( y2
1)
x1x2 (kx1 3)(kx2 3)
k 2 x1x2
x1x2 3k(x1 x2 ) 9
把直线 y kx 2 代入椭圆 x2 y2 1 得 (1 4k 2 )x2 16kx 12 0 4
由韦达定理得
x1x2
12 1 4k 2
衡阳市第一中学 2021 届高三第一次月考数学参考答案
选择题 题号 1 答案 B 填空题
13. 0，1
2
3
4
CAB
14. - ，1
5
6
7
DCA
15. - 4，2
8
9 10 11 12
D ABD ABCD ACD AB
16. 1
解答题
17. 解：（1）由题意知1- sin 2 A sin 2 B 1 sin 2 C sin Asin B
∴ h x 在 1, 上为增函数,∴ h x h1 0 ,故 f x g x .
法二：放缩法.
第4页共4页
1 2
,0,
3 2
,
EC
1 2
,
3 2
,0
设平面 PCE 的一个法向量为 n1 (x, y, z) ，则
PE EC
n1 n1
0 0
,
1 2 1 2
x x
3 z0
2
,百度文库
3 y0
2
设 x 3 ，则 y=-1,z=1，∴ n1 ( 3, -1,1) ，
由题意得平面 PAE 的一个法向量 n2 (0,1, 0) ，
2
2
在POC中有PC 2 PO2 OC 2 ,可知PO OC，又PO AE,OC AE O
PO 面ABCE ，则以 O 为原点，OE 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标
系，由题意得，各点坐标为,
P 0,0,
3 2
,
E
1 2
,0,0
,
C1,
3 2
,0, PE
3
6
∴ DBC 2 ,即 BD⊥BC，∴BD⊥AE， 3 62
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翻折后可得：OP⊥AE,OB⊥AE，又OP 平面POB,OB 平面POB,OP OB O ， AE 平面POB ， PB 平面POB, AE PB ；
（2）由（1）知DO PO 3 ,连接OC在OEC中，由余弦定理可得OC 7
5
5
5
5
2
5
2
故 xi x yi y 42， xi x 10， yi y 184 ，则
i 1
i 1
i 1
r
n
xi x yi y
i 1
42 0.981
n xi x 2 n yi y 2 4 115
i 1
i 1
故管理时间 y 与土地使用面积 x 线性相关.
19.解：（1）在等腰梯形 ABCD 中，连接 BD，交 AE 于点 O，
∵AB||CE,AB=CE，∴四边形 ABCE 为平行四边形，∴AE=BC=AD=DE，
∴△ADE 为等边三角形，∴在等腰梯形 ABCD 中， C ADE ， 3
DAB ABC 2 ,∴在等腰 ADB 中， ADB ABD
第2页共4页
(2)依题意，女性村民中不愿意参与管理的人数是 50，计算得k2的观测值为k2 =
300×(150×50−50×50)2 = 300×5000×5000 = 18.75 > 10.828
200×100×200×100
200×100×200×100
故有 99.9% 的把握认为村民的性别与参与管理的意愿有关.
又 SABC
1 2
ab sin C
3 ab 4
3 ，则 ABC 面积的最大值为
3.
18. 解：（1） S4 10 a2 a3 5, 又a2 a3 6 a2 2，a3 3或a2 3，a3 2
则 an n或an 5 n ，又数列an为正项数列，则 an n
试卷答案》
当 n 2 时， bn Tn Tn1 2n1 ；当 n 1 时， b1 T1 1 也满足众上号《式，∴ bn 2n1 ．
（2）由题可知， an n, cn an bn n2n1 ，记数列 cn的微前信公n 项和为 Gn
GTn n 1 20 2 21 3 22 n 1 2n2 n 2n1 ，
22GTnn 1 21 2 22 3 23 n 1 2n1 n 2n ，
- GTnn 1 21 2n1 n 2n 1 n 2n 1，故 GnTn n 1 2n 1 ．
即 sin 2 A sin 2 B sin 2 C sin Asin B ，由正弦定理得 a2 b2 c2 ab ，
由余弦定理得 cosC a2 b2 c2 1 ，又 0 C C
2ab
2
3
（2） ab a2 b2 c2 2ab c2 ab c2 4 ，当且仅当 a b 时取等号，
3
3
1
P
8
8
8
8
则数学期望为 EX 0 1 1 3 2 3 3 1 3 .
8 8 8 82
21.（1）由已知， A, B 的坐标分别是 Aa, 0 , B 0, b 由于 ABC 的面积为 3 ，
1 2
(2
b)a
3
，又由
e
3 2
得
a
2b
，解得：
b=1 ，或
b=
3 （试舍卷去答）案，》
a 2, b=1椭圆方程为 x2 y2 1 ； 4
,
x1
x2
16k 1 4k 2
第3页共4页
12
∴
xM xN
1 4k2 12k 2 48k 2 1 4k2 1 4k2
9
12k 2
12 48k 2 9 36k 2
4 3
，是定值．
22.解：（1）当 x
1 时,
f
x
ln
x 1 ln 2 x
1 x
,令 F
x
ln
x 1
1 x
,则 F x
(3)依题意，X 的可能取值为 0,1,2,3,从该贫困县中随机抽取一名，则取到愿意参与管理的男
1
性村民的概率为 .
2
P( X
0)
1 3 2
1 , P(X 8
1)
C31
1 2
3
3 , P(X 8
2)
C32
1 2
3
3 , P(X 8
3)
C33
1 2
3
1 8
故 x 的分布列为
X
0
1
2
3
1
1 x
1 x2
0,
因此 F x 在 1, 上为增函数,又 F 3 ln 3 4 0, F 4 ln 4 5 0 ,
3
4
∴ x0 3, 4 使得 F x0
f x0 0 ,即 ln x0
1
1 x0
,
当1 x x0 时, f x 0 , f x 为减函数；当 x x0 时, f x 0 , f x 为增函数；
号《试卷答
x ex 3x2 4x 1, x ex 6x 4, x ex 信6公, 众
微
∵ x 0 ,∴ x 在 1, 上为增函数,又 1 e 2 ,∴ x 0 ,
∴ x 在 1, 上为增函数,又1 e 2 ,∴ x 0 ,
∴ x 在 1, 上为增函数,又 1 e 2 ,∴ x 0 ,即 h x 0 ,