数学建模的一般步骤和案例
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V (ab arcsin hb b a ( h b) 2hb h 2 b
ab ) L 0.084h 3 0.151h 2 0.058h 0.002 2
纵向变位4.1°的储油量与油位高度的一个数学模型为文章正文中的公式（6）。通过 这个我们知道由于油罐发生变位，使得通过油位高得到的储油量要比实际储油量 要高。并根据储油量与油位高的数学模型建立不变位和变位4.1°的间隔位1cm的 罐容表标定值（见附件）。 然后针对一般纵向倾斜，我们分五种情况进行分析，分别得出五种情况下，储油量与 油位高的数学模型，罐体变位后使得罐容表的结果要比实际储油量要高。 问题二：本文建立了罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转 角度 ）之间的数学模型，并由模型确定了附件2中数据所对应的倾斜角： 4.03 2.02 并给了此种变位的油位高间隔位10cm的罐容表标定值，并且通过数据验证了我们所 建的模型的正确性与稳定性。
不好的假设：
由于理论储油量与实际储油量存在差异，可把这个差值与油位高拟合出一条曲线， 近似看作一些外界因素所导致的误差，整合到所求关系式中，得到比较精确的模 型。
一、第一个问题的处理
1、无倾斜
2 2
Y
b
a
x X
x y 2 a2 b
2 h b a 1 dx ab arcsin h b a(h b) 2hb h ab 1 S 2b b b 2 b2
本文是一个储油罐的变位识别与罐容表标定问题，通过对罐体容量的计算，得出罐体 的储油量与油位高度的一个数学模型。 问题一：分别对不变位和变位两种情况建立模型，然后把理论储油量与实际储油量的 差别建立一个跟油位高的函数关系式，整合到理论模型中，减少误差，从而得出： 不变位罐体的储油量与油位高度的一个数学模型为：
三、建模和求解
说明建模的思路（刚刚开始的原始想法，很重要 有些简单的事情往往是最重要的东西，一定要说清楚）
一般要求设计2~3个模型（一个简单的、再对模型进 行改进，得到第二个模型，就会生动） 推导时，公式若很长，可放在附录中 利用现成的软件计算模型数据 讨论误差
B题 2010年上海世博会影响力的定量评估
ab
2
)dx (2.05tan h0 1.2 0.4 tan )
V
0.4
h0 tan
0
sdx 0
0.4
h0 tan
(ab arcsin
h0 (0.4 x) tan b b
a[ h0 (0.4 x) tan b] 2[ h0 (0.4 x) tan ]b [ h0 (0.4 x) tan ]2 b
2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。 从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正 日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体 现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选 择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数 据，定量评估2010年上海世博会的影响力。
本题是一道比较开放的题目，同学对问题的理解和所 关注的侧面（角度）的不同，会导致答卷的多样性。 以下几点在评阅中值得特别关注： 1. 影响力的定义，即因素的选定：考虑到3天时间不 太可能进行一个全面的影响力分析，如何恰当地选择 一个影响力的侧面极其相关因素是解题的基本前提。 容易考虑到的影响力包括经济、旅游、社会、文化等 多个方面，也可以是一个较小的侧面（比如表演、自 愿者、摄影）。要求有明确具体的定义，要有合理的 论证，要有数据支撑。 2. 因素的组织结构模型和有关信息的搜索：因素的相 关性、信息的完备性等都是值得注意的问题。鼓励直 接从网络采集因素数据，比如词汇搜索量、点击率等 等。 3. 定量建模，数据的收集和分析：要注意模型的合理 性，注意数据之间的可比性与归一化。鼓励纵向（时 间）和横向（其它重大事件）的比较。 4. 科学、直观地表达结论：结论一般不应该是一个简 单常识。
1、中间柱体体积的计算变换
油位探针
β
横向变位 前油液面
横向变位 后油液面
h0 h
图11 储油罐横向变位示意图
h R ( R h0 ) cos R(1 cos ) h0 cos
2、球冠体积的计算
容易计算球冠的半径为1.625m
Y
计算体积可以近似看做高为
h 2 tan
0
sdx
h b a (h b) 2hb h 2 ab ab arcsin dx 0 b b 2 2.45 h (0.4 x) tan b (ab arcsin 0 0 b
2.45
a[h0 (0.4 x) tan b] 2[h0 (0.4 x) tan ]b [h0 (0.4 x) tan ]2 b
..\Desktop\2010A\cumcm2010A.doc
好的假设：
wenku.baidu.com
1、模型建立过程中不考虑储油罐的腐蚀磨损情况。 2、本模型中把计算出的储油罐的容积近似为储油量。 3、数据是储油罐的内壁参数。 4、忽略温度、压力对汽油的密度的影响。 5、储油罐在偏移的过程中，油位探针始终与油罐底面垂直。 6、对卧式储油罐来说，不考虑其长期埋在地下所发生的蠕变。 7、累加进出油量数据是准确可靠的。
(a) 小椭圆油罐正面示意图
小椭圆型油罐形状及尺寸示意图
2、有倾斜
h0 油位计测出的油位高度值 h1 罐体低端（下陷端）的油位高度值
h 任意截面的油位高度为
h h1 L tan h0 0.4 tan x tan
h1 h0 0.4 tan
V
2.45
1m O 1.625m X
h 2tan 的球缺的体积，
然后分情况讨论。
3、计算 ,
根据最小二乘法或曲线的拟合计算出 ,
三、说一点该论文的写作
h0
加油站地下储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因会发生 纵向倾斜及横向偏转，导致与之配套的“油位计量管理系统”受到影响， 必须重新标定罐容表。本文即针对储油罐的变位时罐容表标定的问题建 立了相应的数学模型。首先从简单的小椭圆型储油罐入手，研究变位对 罐容表的影响。在无变位、纵向变位的情况下分别建立空间直角坐标系， 在忽略罐壁厚度等细微影响下，运用积分的方法求出储油量和测量油位 高度的关系。将计算结果与实际测量数据在同一个坐标系中作图，经计 算得误差均保持在3.5%以内。纵向变位中，要分三种情况来进行求解， 然后将三段的结果综合在一起与变位前作比较，可以得到变位对罐容表 的影响。通过计算，具体列表给出了罐体变位后油位高度间隔为1cm的 罐容表标定值。 进一步考虑实际储油罐，两端为球冠体顶。把储油罐分成中间的圆 柱体和两边的球冠体分别求解。中间的圆柱体求解类似于第一问，要分 为三种情况。在计算球冠内储油量时为简化计算，将其内油面看做垂直 于圆柱底面。根据几何关系，可以得到如下几个变量之间的关系， 测量的油位高度 实际的油位高度 计算体积所需的高度 于是得到罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向 偏转角度 ）之间的一般关系。再利用附表2中的数据列方程组寻找与 最准确的取值。
数学建模的主要过程：
实际问题 抽象、简化、明确变量和参数 根据某种“定律”或“规律”建立变量和参数间的一个明确的数学关系（数学问题， 或称为在此简化阶段上的一个数学模型）
解析地或近似地求解该数学问题
解释、验证 通 通不过 过 投入使用
A题 储油罐的变位识别与罐容表标定 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套 的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内 油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的 对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会 发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发 生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典 型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是 其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。 请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油 罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵 向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究 罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的 罐容表标定值。 （2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学 模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转 角度 ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检 测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐 体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的 实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
模型求解：利用已知的数学方法来求解上一步所得到 的数学问题，此时往往还要作出进一步的简化或假设。 注意要尽量采用简单的数学工具。 模型分析：对所得到的解答进行分析，特别要注意当 数据变化时所得结果是否稳定。 模型检验：分析所得结果的实际意义，与实际情况进 行比较，看是否符合实际，如果不够理想，应该修改、 补充假设，或重新建模，不断完善。 模型应用：所建立的模型必须在实际应用中才能产生 效益，在应用中不断改进和完善
(1.2-0.4tan h0 1.2)
理想和现实的比较结果及处理方法 2 1、利用MATLAB拟合此曲线方程，可得：V 0.0004h0 0.5834h0 124.24 2、线性回归方式得到修正系数 3、计算得到的数据与实际测量数据吻合较好，忽略这部分影响。
二、第二个问题的处理
ab
2
)dx (0 h0 2.05 tan )
2.45 1.2 h0 a ) 0.4(1.2h )/ tan [(x tan b) b 2 ( x tan b) 2 tan b
0
V ab(0.4 b 2 arcsin
x tan b 1 2 b ]dx b 2
一、摘要
主要写三个方面： 1. 解决什么问题（一句话） 2. 采取什么方法（引起阅卷老师的注意， 不能太粗，也不能太细） 3. 得到什么结果（简明扼要、生动、公 式要简单、必要时可采用小图表）
二、假设
最关键的一步从假设开始。需要下很大功夫，简明扼要、 准确清楚 1）假设太多，阅卷老师记不住。要归结出一些重要的假 设，一般3~5条，有些不是很重要的假设在论文适当 的地方提一下 2）假设要数学化，重视逻辑性要求 3）设计好符号，使人看起来清楚
m 1.035
3、计算得到的数据与实际测量数据吻合较好，相对误差始终很小，实际数据稍小可能是由于
探针，进出油罐管道等占一定体积及罐壁厚度造成的，为简化模型，本文忽略这部分影响。
油 位 探针
注油口 出油管 1.2m
油浮子
1.2m
油
h
α
水平线
1.78m
x
0.4m
2.05mcm (b) 小椭圆油罐截面示意图
数学建模的一般步骤和案例
建模是一种十分复杂的创造性劳动，现实世界中的事 物形形色色，五花八门，不可能用一些条条框框规定 出各种模型如何具体建立，这里只是大致归纳一下建 模的一般步骤和原则： 模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确题目的 要求，收集各种必要的信息． 模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题做必要 的、合理的假设，使问题的主要特征凸现出来，忽略 问题的次要方面。 模型构成：根据所做的假设以及事物之间的联系，构 造各种量之间的关系。 （查资料得出数学式子或算法）
x2
h
截面椭圆示意图
1 a h b V [ ab (h b) 2bh h2 ab arcsin ]L 2 b b
理想和现实的比较结果及处理方法
1、利用MATLAB拟合此曲线方程，可得：V 0.084h3 0.151h2 0.058h 0.002 2、线性回归方式得到修正系数
ab ) L 0.084h 3 0.151h 2 0.058h 0.002 2
纵向变位4.1°的储油量与油位高度的一个数学模型为文章正文中的公式（6）。通过 这个我们知道由于油罐发生变位，使得通过油位高得到的储油量要比实际储油量 要高。并根据储油量与油位高的数学模型建立不变位和变位4.1°的间隔位1cm的 罐容表标定值（见附件）。 然后针对一般纵向倾斜，我们分五种情况进行分析，分别得出五种情况下，储油量与 油位高的数学模型，罐体变位后使得罐容表的结果要比实际储油量要高。 问题二：本文建立了罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转 角度 ）之间的数学模型，并由模型确定了附件2中数据所对应的倾斜角： 4.03 2.02 并给了此种变位的油位高间隔位10cm的罐容表标定值，并且通过数据验证了我们所 建的模型的正确性与稳定性。
不好的假设：
由于理论储油量与实际储油量存在差异，可把这个差值与油位高拟合出一条曲线， 近似看作一些外界因素所导致的误差，整合到所求关系式中，得到比较精确的模 型。
一、第一个问题的处理
1、无倾斜
2 2
Y
b
a
x X
x y 2 a2 b
2 h b a 1 dx ab arcsin h b a(h b) 2hb h ab 1 S 2b b b 2 b2
本文是一个储油罐的变位识别与罐容表标定问题，通过对罐体容量的计算，得出罐体 的储油量与油位高度的一个数学模型。 问题一：分别对不变位和变位两种情况建立模型，然后把理论储油量与实际储油量的 差别建立一个跟油位高的函数关系式，整合到理论模型中，减少误差，从而得出： 不变位罐体的储油量与油位高度的一个数学模型为：
三、建模和求解
说明建模的思路（刚刚开始的原始想法，很重要 有些简单的事情往往是最重要的东西，一定要说清楚）
一般要求设计2~3个模型（一个简单的、再对模型进 行改进，得到第二个模型，就会生动） 推导时，公式若很长，可放在附录中 利用现成的软件计算模型数据 讨论误差
B题 2010年上海世博会影响力的定量评估
ab
2
)dx (2.05tan h0 1.2 0.4 tan )
V
0.4
h0 tan
0
sdx 0
0.4
h0 tan
(ab arcsin
h0 (0.4 x) tan b b
a[ h0 (0.4 x) tan b] 2[ h0 (0.4 x) tan ]b [ h0 (0.4 x) tan ]2 b
2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。 从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正 日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体 现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选 择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数 据，定量评估2010年上海世博会的影响力。
本题是一道比较开放的题目，同学对问题的理解和所 关注的侧面（角度）的不同，会导致答卷的多样性。 以下几点在评阅中值得特别关注： 1. 影响力的定义，即因素的选定：考虑到3天时间不 太可能进行一个全面的影响力分析，如何恰当地选择 一个影响力的侧面极其相关因素是解题的基本前提。 容易考虑到的影响力包括经济、旅游、社会、文化等 多个方面，也可以是一个较小的侧面（比如表演、自 愿者、摄影）。要求有明确具体的定义，要有合理的 论证，要有数据支撑。 2. 因素的组织结构模型和有关信息的搜索：因素的相 关性、信息的完备性等都是值得注意的问题。鼓励直 接从网络采集因素数据，比如词汇搜索量、点击率等 等。 3. 定量建模，数据的收集和分析：要注意模型的合理 性，注意数据之间的可比性与归一化。鼓励纵向（时 间）和横向（其它重大事件）的比较。 4. 科学、直观地表达结论：结论一般不应该是一个简 单常识。
1、中间柱体体积的计算变换
油位探针
β
横向变位 前油液面
横向变位 后油液面
h0 h
图11 储油罐横向变位示意图
h R ( R h0 ) cos R(1 cos ) h0 cos
2、球冠体积的计算
容易计算球冠的半径为1.625m
Y
计算体积可以近似看做高为
h 2 tan
0
sdx
h b a (h b) 2hb h 2 ab ab arcsin dx 0 b b 2 2.45 h (0.4 x) tan b (ab arcsin 0 0 b
2.45
a[h0 (0.4 x) tan b] 2[h0 (0.4 x) tan ]b [h0 (0.4 x) tan ]2 b
..\Desktop\2010A\cumcm2010A.doc
好的假设：
wenku.baidu.com
1、模型建立过程中不考虑储油罐的腐蚀磨损情况。 2、本模型中把计算出的储油罐的容积近似为储油量。 3、数据是储油罐的内壁参数。 4、忽略温度、压力对汽油的密度的影响。 5、储油罐在偏移的过程中，油位探针始终与油罐底面垂直。 6、对卧式储油罐来说，不考虑其长期埋在地下所发生的蠕变。 7、累加进出油量数据是准确可靠的。
(a) 小椭圆油罐正面示意图
小椭圆型油罐形状及尺寸示意图
2、有倾斜
h0 油位计测出的油位高度值 h1 罐体低端（下陷端）的油位高度值
h 任意截面的油位高度为
h h1 L tan h0 0.4 tan x tan
h1 h0 0.4 tan
V
2.45
1m O 1.625m X
h 2tan 的球缺的体积，
然后分情况讨论。
3、计算 ,
根据最小二乘法或曲线的拟合计算出 ,
三、说一点该论文的写作
h0
加油站地下储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因会发生 纵向倾斜及横向偏转，导致与之配套的“油位计量管理系统”受到影响， 必须重新标定罐容表。本文即针对储油罐的变位时罐容表标定的问题建 立了相应的数学模型。首先从简单的小椭圆型储油罐入手，研究变位对 罐容表的影响。在无变位、纵向变位的情况下分别建立空间直角坐标系， 在忽略罐壁厚度等细微影响下，运用积分的方法求出储油量和测量油位 高度的关系。将计算结果与实际测量数据在同一个坐标系中作图，经计 算得误差均保持在3.5%以内。纵向变位中，要分三种情况来进行求解， 然后将三段的结果综合在一起与变位前作比较，可以得到变位对罐容表 的影响。通过计算，具体列表给出了罐体变位后油位高度间隔为1cm的 罐容表标定值。 进一步考虑实际储油罐，两端为球冠体顶。把储油罐分成中间的圆 柱体和两边的球冠体分别求解。中间的圆柱体求解类似于第一问，要分 为三种情况。在计算球冠内储油量时为简化计算，将其内油面看做垂直 于圆柱底面。根据几何关系，可以得到如下几个变量之间的关系， 测量的油位高度 实际的油位高度 计算体积所需的高度 于是得到罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向 偏转角度 ）之间的一般关系。再利用附表2中的数据列方程组寻找与 最准确的取值。
数学建模的主要过程：
实际问题 抽象、简化、明确变量和参数 根据某种“定律”或“规律”建立变量和参数间的一个明确的数学关系（数学问题， 或称为在此简化阶段上的一个数学模型）
解析地或近似地求解该数学问题
解释、验证 通 通不过 过 投入使用
A题 储油罐的变位识别与罐容表标定 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套 的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内 油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的 对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会 发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发 生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典 型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是 其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。 请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油 罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵 向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究 罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的 罐容表标定值。 （2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学 模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转 角度 ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检 测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐 体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的 实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
模型求解：利用已知的数学方法来求解上一步所得到 的数学问题，此时往往还要作出进一步的简化或假设。 注意要尽量采用简单的数学工具。 模型分析：对所得到的解答进行分析，特别要注意当 数据变化时所得结果是否稳定。 模型检验：分析所得结果的实际意义，与实际情况进 行比较，看是否符合实际，如果不够理想，应该修改、 补充假设，或重新建模，不断完善。 模型应用：所建立的模型必须在实际应用中才能产生 效益，在应用中不断改进和完善
(1.2-0.4tan h0 1.2)
理想和现实的比较结果及处理方法 2 1、利用MATLAB拟合此曲线方程，可得：V 0.0004h0 0.5834h0 124.24 2、线性回归方式得到修正系数 3、计算得到的数据与实际测量数据吻合较好，忽略这部分影响。
二、第二个问题的处理
ab
2
)dx (0 h0 2.05 tan )
2.45 1.2 h0 a ) 0.4(1.2h )/ tan [(x tan b) b 2 ( x tan b) 2 tan b
0
V ab(0.4 b 2 arcsin
x tan b 1 2 b ]dx b 2
一、摘要
主要写三个方面： 1. 解决什么问题（一句话） 2. 采取什么方法（引起阅卷老师的注意， 不能太粗，也不能太细） 3. 得到什么结果（简明扼要、生动、公 式要简单、必要时可采用小图表）
二、假设
最关键的一步从假设开始。需要下很大功夫，简明扼要、 准确清楚 1）假设太多，阅卷老师记不住。要归结出一些重要的假 设，一般3~5条，有些不是很重要的假设在论文适当 的地方提一下 2）假设要数学化，重视逻辑性要求 3）设计好符号，使人看起来清楚
m 1.035
3、计算得到的数据与实际测量数据吻合较好，相对误差始终很小，实际数据稍小可能是由于
探针，进出油罐管道等占一定体积及罐壁厚度造成的，为简化模型，本文忽略这部分影响。
油 位 探针
注油口 出油管 1.2m
油浮子
1.2m
油
h
α
水平线
1.78m
x
0.4m
2.05mcm (b) 小椭圆油罐截面示意图
数学建模的一般步骤和案例
建模是一种十分复杂的创造性劳动，现实世界中的事 物形形色色，五花八门，不可能用一些条条框框规定 出各种模型如何具体建立，这里只是大致归纳一下建 模的一般步骤和原则： 模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确题目的 要求，收集各种必要的信息． 模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题做必要 的、合理的假设，使问题的主要特征凸现出来，忽略 问题的次要方面。 模型构成：根据所做的假设以及事物之间的联系，构 造各种量之间的关系。 （查资料得出数学式子或算法）
x2
h
截面椭圆示意图
1 a h b V [ ab (h b) 2bh h2 ab arcsin ]L 2 b b
理想和现实的比较结果及处理方法
1、利用MATLAB拟合此曲线方程，可得：V 0.084h3 0.151h2 0.058h 0.002 2、线性回归方式得到修正系数