类比法解题

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类比法解题
在解题过程中,可通过联想找到一个与要解答的题目相类似的原型题,用原型题的解题方法使新问题获得解答。

这种思考方法叫做类比法。

常见的类比题型如下:钟表问题:可以与环形跑道赛跑问题类比进行思考。

钟表中的时针和分钟与赛跑中的运动员是对应的,分针对时针的追及与运动员追及中的行程问题相似。

还有的题目可类比成工程问题、平均数问题等等。

例1 某时,分针与时针正好在一条直线上,至少再过多少时间,两针重合?
提示:如果把时针、分针的运动看作是甲乙两运动员在跑道上赛跑,把时针1小时所走的一格看作路程单位,那么可以把上题类比成追及问题:
甲乙两人同向而行,甲在乙前面6千米,甲每小时走1千米,乙每小时走12千米。

如果甲乙两人同时出发,乙经过多长时间能追上甲?
拓展一小明每天6点回家吃晚饭。

一天,她妈妈从6点钟开始等,一直等到时针与分针第二次成直角时小明才回家,问小明几点钟回家的?
提示:这道题也可以类比成追及问题,看作是两针在钟面作匀速圆周运动并且同向而行的问题。

当分针位于时针后面15格或者前面15格时,两针都成直角。

从6点整同时出发,分针在时针后面5×6=30(格),可列式为:
拓展二有一只手表,每小时慢4分,早上8点整时将时间对准,那么当这只表指向12点整的时刻,实际时间是几点几分?
提示: 如果将标准时间看作甲个人的工作量,手表时间看作工人的工作量,手表时间比标准时间每小时慢4分,即标准时间60分,手表时间走56分,可看成乙工人的工效是甲
工人的56
60
,这样可把原题类比成工程问题:乙工人的工效是甲工人的
56
60
,两人同时加工,
当乙工人完成4份工作量时,甲工人完成多少工作量?
拓展三某运输队为商店运输花瓶500箱,每箱6个花瓶。

已知每10个花瓶的运费为5.5元,损坏一个花瓶,要赔偿成本11.5元(这只花瓶的运费当然也就得不到了),结果运输队共得到1553.6元。

共损坏了多少只花瓶?
提示:这样的问题可以类比为鸡兔同笼问题来解答。

例2张老师为国花兴趣小组的同学买书。

他带的钱正好可以买15本山水画或24本人物画。

如果张老师买了8本人物画以后,时下的钱全部买山水画,那么还可以买几本山水画?
提示:如果把总钱数比为总工作量,那么这道题可类比成工程问题
拓展一一列快车由甲城开往乙城需要8小时,一列慢车由乙城开到甲城要用12小时。

两车同时相对开出,相遇时快车比慢车一共多行192千米,两城相距多少千米?
提示:把上面的行程问题转化为下面的工程问题:一批零件,甲单独完成要用8小时,乙单独完成要用12小时,两人同时工作到完成任务时,甲比乙一共多做了192个零件,这批零件有多少个?
拓展二大雪后的一天,小亮和爸爸共同步测一个圆形花圃的长。

他俩的起点和走的方向完全相同。

小亮每步长54厘米,爸爸每步长54厘米,爸爸每步长72厘米。

由于两人的脚印有重合,所以,雪地上只留下60个脚印。

求这个花圃的周长是多少米?
提示:题中重合的脚印是两人步长的公倍数,因此可与这样的题目类比。

小亮步长54厘米,爸爸步长72厘米。

在216厘米长的雪地上留下多少个脚印?
拓展三我国明代数学家徐光启逝世时的年龄是他出生年份的
1
22
,1607年他完成了《原
本》前6卷的翻译工作。

1629年主持编写了“新历法”,但未完成就去世了,1634年由李天经最后完成。

1607年徐光启多大岁数。

提示:这是一道年龄问题,但此题可以转化为估算来解答。

例1解:6÷(12-1)=
6
11
(小时)=
8
32
11
(分)
答:再过
8
32
11
分,分针与时针重合。

拓展一解:(5×6-15)÷(1-
5
60
)=16
4
11
(分)
或(5×6+15)÷(1-
5
60
)=49
1
11
(分)
在6点之后是6点16
4
11
分与6点49
1
11
分这两个时刻,时针与分针成直角。

按题意,
小明到家的时刻是6点49
1
11
分。

拓展二解:这样可列式解答:(12-8)÷604
60
=4
2
7
(小时),而
2
7
小时=17
1
7
(分)。

答:实际时间应是12点171
7
分。

拓展三解:先求出运输队假如一个花瓶也不打破,可以得到运费5.5÷10×6×500=1650(元)。

每打破一个花瓶,运输队就要损失11.5+5.5÷10=12.05(元),运输队共损失了1650-1553.6=96.4(元),所以共损坏了96.4÷12.05=8(只)花瓶。

例2 解:一项工程,甲做15天完成,乙做24天完成。

现在乙先做8天后,再由甲接着做,还需要多少天才能完成?
列式计算为(1-
1
24
×8)÷
1
15
=10(本)
答:还可以买10本山水画。

拓展一解:192÷[1÷(1
8
+
1
12
)]÷(
1
8
-
1
12
)=960(千米)
拓展二解:216是54和72的最小公倍数。

在216厘米的雪地上,小亮途中留下216÷54=4(个)脚印;爸爸留下脚印216÷72=3(个),共有4+3=7(个)脚印。

现在题目中留下60个脚印,这60个脚印有的是单独留下的,有点是两人重合的。

不妨以216厘米为一个周期来考虑,由于行走的路线是个环形,如不考虑起点的脚印,没走216厘米,雪地上就留下216÷54+216÷72-1=6(个)脚印,所以圆形花圃的周长是:216×(60÷6)=2160(厘米)=21.6(米)。

答:这个圆形花圃的周长是21.6米。

拓展三根据“逝世时的年龄是他出生年份的
1
22
”可知去世时的年份=去世时的年龄×
23,所以1629<去世时的年龄×23<1634,可以估计出徐光启去世时的年龄为71岁,而他去世时的年份是71×23=1633(年),所以出生时的年份为1633-71=1562(年)。

1607年时,他的年龄为1607-1562=45(岁)。

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