导数在函数中的应用——极值与最值

则 a＝( D )
A.－4
B.－2
C.4
D.2
解：由题意得 f′(x)＝3x2－12,令 f′(x)＝0 得 x＝±2,
所以当 x＜－2 或 x＞2 时,f′(x)＞0；
当－2＜x＜2 时,f′(x)＜0,
所以 f(x)在(－∞,－2)上为增函数,在(－2,2)上为减函数,
在(2,＋∞)上为增函数.
1．函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数 f′(x)在(a， b)内的图象如图所示，
则函数 f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
解：因为 f′(x)与 x 轴有 4 个交点，即 f′(x)＝0 有 4 个 解，但仅左边第二个交点 x＝x0 满足 x＜x0 时，f′(x)＜0；x ＞x0 时，f′(x)＞0，其他交点均不符合该条件．
(1)求 f(x)在(a，b)内的极值； (2)将 f(x)的各极值与 f(a)、f(b)比较，确定 f(x)的最大值和最小 值． 3．求含参数的极值，首先求定义域；然后令 f′(x)＝0，解出 根，根据根是否在所给区间或定义域内进行参数讨论，并根据左 右两边导函数的正负号，从而判断 f(x)在这个根处取极值的情况． 4．含参数的最值，首先按照极值点是否在所给区间对参数进 行讨论，然后比较区间内的极值和端点值的大小．
解：因为函数 f(x)在 x＝x0 处可导， 所以若 x＝x0 是 f(x)的极值点，则 f′(x0)＝0， 所以 q⇒p，故 p 是 q 的必要条件； 反之，以 f(x)＝x3 为例，f′(0)＝0，但 x＝0 不是极值点．所 以 p q．故 p 不是 q 的充分条件．
3．(2016·四川卷)已知 a 为函数 f(x)＝x3－12x 的极小值点,
所以 f(x)在 x＝a1处有极小值．
所以当 a≤0 时，f(x)在(0，＋∞)上没有极值点，
当 a>0 时，f(x)在(0，＋∞)上有一个极值点．
考点三·含参数的函数的最值讨论
【例 3】已知函数 f(x)＝ln x－ax(a>0)，求函数 f(x)在[1,2] 上的最大值.
解：f′(x)＝1x－a＝1－xax(x>0)， 令 f′(x)＝0，得 x＝1a. (1)当1a≤1，即 a≥1 时，函数 f(x)在[1,2]上是减函数，所以 f(x)max＝f(1)＝－a. (2)当1a≥2 时，即 0<a≤12时，函数 f(x)在区间[1,2]上是增函数， 所以 f(x)max＝f(2)＝ln 2－2a. (3)当 1<a1<2，即21<a<1 时，函数 f(x)在[1，1a]上是增函数，在 [a1，2]上是减函数．
所以 f(x)max＝f(1a)＝－ln a－1. 综上可知： 当 0<a≤12时，f(x)max＝ln 2－2a； 当12<a<1 时，f(x)max＝－ln a－1； 当 a≥1 时，f(x)max＝－a.
点评：(1)求函数的最值时，要先求函数 y＝f(x)在(a， b)内所有使 f′(x)＝0 的点，再计算函数 y＝f(x)在区间内使 f′(x)＝0 的点和区间端点的函数值，最后比较即可．
答来自百度文库：A
2．(2014·新课标卷Ⅱ)函数 f(x)在 x＝x0 处导数存在．若 p： f′(x0)＝0；q：x＝x0 是 f(x)的极值点，则( C )
A．p 是 q 的充分必要条件 B．p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件 C．p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 D．p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件
有点，都有_f_(x_)_＜___f(_x_0_)_，我们就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值，记作
y 极大值＝f(x0)；
如果对 x0 附近的所有点，都有___f(_x_)_>_f_(_x_0)_，我们就说 f(x0)是函数 f(x)的
一个极小值，记作 y 极小值＝f(x0)．
极大值与极小值统称为_极__值___.
(2)当函数 f(x)中含有参数时，需要依据极值点存在的位 置与所给区间的关系，对参数进行分类讨论．
【变式探究】
3．已知函数 f(x)＝ln x－ax(a>0)，求函数 f(x)在[1,2]上的最小值．
解：f′(x)＝1x－a＝1－xax(x>0)， 令 f′(x)＝0，得 x＝1a. (1)当1a≤1，即 a≥1 时，函数 f(x)在[1,2]上是减函数，所以 f(x)min＝f(2)＝ln 2－2a. (2)当1a≥2 时，即 0<a≤12时，函数 f(x)在区间[1,2]上是增函数， 所以 f(x)min＝f(1)＝－a. (3)当 1<a1<2，即21<a<1 时，函数 f(x)在[1，1a]上是增函数，在 [a1，2]上是减函数．
(2)判断可导函数 f(x)的极值的方法是：
①如果在 x0 附近的左侧 f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0，那么 f(x0)是极___小___
值；
②如果在 x0 附近的左侧 f′(x)＜0，右侧 f′(x)＞0，那么 f(x0)是极___大___
值．
2．函数的最值 (1)(最值定理)一般地，如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是
__一__条__连__续___不__断__的__曲___线__，那么它必有最大值和最小值．
(2)一般地，求函数 f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
①求函数 f(x)在(a，b)内的___极__值_______. ②将 f(x)的_极___值___和_端___点__的__函__数__值___比较，其中最大的一个为 _最__大__值_____；最小的一个为_最__小___值____.
又 f(2)－f(1)＝ln 2－a， 所以当12<a<ln 2 时，f(x)min＝f(1)＝－a； 当 ln 2≤a<1 时，f(x)min＝f(2)＝ln 2－2a. 综上可知： 当 0<a<ln 2 时，函数 f(x)min＝－a； 当 a≥ln 2 时，函数 f(x)min＝ln 2－2a.
＋
f(x)
28 3
－43
所以 x＝－2 时，f(x)有极大值 f(－2)＝238；
x＝2 时，f(x)有极小值 f(2)＝－34.
点评：(1)求可导函数 f(x)的极值的步骤： ①确定函数的定义域，求导数 f′(x)； ②求方程 f′(x)＝0 的根； ③检查 f′(x)在方程根左、右值的符号； ④作出结论：如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大 值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值． (2)求可导函数 f(x)在[a，b]上最值的步骤： ①求 f(x)在(a，b)内的极值； ②将 f(x)各极值与 f(a)，f(b)比较，得出 f(x)在[a，b]上的最值．
点评：对于解析式中含有参数的函数求极值，有时需 要分类讨论后解决问题．讨论的思路主要有：
(1)参数是否影响 f′(x)的零点的存在； (2)参数是否影响 f′(x)不同零点的大小； (3)参数是否影响 f′(x)在零点左右的符号． 如果有影响，则要分类讨论．
【变式探究】
2．(2017·湖南岳阳市高三模拟节选)已知函数 f(x)＝ax－1 －ln x(a∈R)．讨论函数 f(x)在定义域内的极值点的个数．
【变式探究】
1．求函数 f(x)＝13x3－4x＋4 在[－3,3]上的最大值与最小 值．
解：由例 1 可知，在[－3,3]上， 当 x＝－2 时，f(x)有极大值 f(－2)＝238； 当 x＝2 时，f(x)有极小值 f(2)＝－43. 又 f(－3)＝7，f(3)＝1， 所以 f(x)在[－3,3]上的最大值为238，最小值为－34.
所以 f(x)在 x＝2 处取得极小值,所以 a＝2.
4．函数 f(x)＝x3－3x＋1 在闭区间[－3,0]上的最大值、最
小值分别是(
)
A. 1，－1
B. 1，－17
C. 3，－17
D. 9，－19
解：令 f′(x)＝3x2－3＝0，得 x＝±1. f(1)＝1－3＋1＝－1，f(－1)＝－1＋3＋1＝3， f(－3)＝－17，f(0)＝1. 所以最大值为 3，最小值为－17.
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第17讲 导数在函数中的应用—— 极值与最值
1．掌握函数极值的定义及可导函数的极值点的必要条件 和充分条件(导数在极值点两侧异号)．
2．会研究一些简单函数的极值． 3．会利用导数求一些函数在给定区间上的最值．
1．函数的极值
(1)函数极值的定义：设函数 f(x)在点 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所
考点一·求函数的极值、最值
【例 1】求函数 f(x)＝13x3－4x＋4 的极值．
解：因为 f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，
令 f′(x)＝0，得 x＝±2.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
考点二·含参数的函数的极值的讨论
【例 2】已知函数 f(x)＝x－aln x(a∈R)，求函数 f(x)的极值． 解：由 f′(x)＝1－ax＝x－x a(x>0)可知 (1)当 a≤0 时，f′(x)>0，函数 f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数 f(x)无极值； (2)当 a>0 时，由 f′(x)＝0，解得 x＝a. 当 x∈(0，a)时，f′(x)<0；当 x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0， 所以函数 f(x)在 x＝a 处取得极小值，且极小值为 f(a)＝a－aln a， 无极大值． 综上，当 a≤0 时，函数 f(x)无极值；当 a>0 时，f(x)在 x＝a 处取 得极小值 a－aln a，无极大值．
解：f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝a－1x＝ax－x 1.
当 a≤0 时，f′(x)≤0 在(0，＋∞)上恒成立，函数 f(x)
在(0，＋∞)上单调递减，所以 f(x)在(0，＋∞)上没有极值点．
当
a>0
时，由
f′(x)<0
得
0<x<a1；由
f′(x)>0
得
1 x>a.
所以 f(x)在(0，1a)上递减，在(1a，＋∞)上递增，
答案：C
5．(2016·北京卷)函数 f(x)＝x－x 1(x≥2)的最大值为
.
解：f′(x)＝x－x－11－2 x＝－x－112, 当 x≥2 时,f′(x)＜0,所以 f(x)在[2,＋∞)上是减函数,
故 f(x)max＝f(2)＝2－2 1＝2.
求函数的极值、最值 含参数的函数的极值的讨论 含参数的函数的最值讨论
1．求可导函数 f(x)的极值的步骤： (1)确定 f(x)的定义域，求导数 f′(x)； (2)求方程 f′(x)＝0 的根； (3)检查 f′(x)在方程根左、右值的符号，如果左正右负，那 么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根 处取得极小值．
2．求可导函数 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值可按如下步 骤进行：