机械能(4) 重力做功重力势能机械能守恒

机械能（四）
重力做功、重力势能、机械能守恒
知识要点
（一）重力做功、重力势能、弹性势能 1. 重力势能
定义：物体由于被举高而具有的能量叫重力势能，用符号P E 表示，用公式表示
mgh E P =。

单位：m 用kg ，g 用2/s m ，高度h 用m 则P E 单位为焦耳，记作J 。

重力势能是能量，是状态量，是标量，正负表示大小。

2. 重力势能的相对性
重力势能的大小与高度有关，起点位置不同则相对高度不同，重力势能大小不同，所以重力势能有相对性。

如水平桌面高度为H ，重物质量为，m 距桌面高度为h ，取地面为
起点（参考平面）重力势能)(H h mg E P +=，取桌面为参考面，重力势能mgh E P
='，P E 与P
E '不等。

重物在参考面以下P E 为负值
3. 重力势能是属于重物与地球系统共有的。

由于重力是地球施力在重力作用下，物体被举高才有重力势能，若无重力作用，举起重物不用费力，重物也就没有做功本领，无重力势能，所以重力势能是以有重力为前提，因此重力势能属于重物与地球共有的。

4. 重力势能变化及绝对性
重物从高为1h 处运动到2h 处，则重力势能由1mgh 变为2mgh 、重力势能变化
)(1212h h mg E E E P P P -=-=∆。

若21h h >，0<∆P E 势能减小；21h h <，0>∆P E 重
力势能增加。

h mg h h mg E P ∆=-=∆)(12，h ∆只与1h 、2h 的差值有关与1h 、2h 的大小无关，所以重力势能变化与参考面的选择无关，又叫重力势能变化P E ∆有绝对性。

如12h h h -=∆，若参考面向上移m 1，则111-='h h 122-='
h h
h h h h h h h h ∆=-=---='
-'='∆121212)1()1(
5. 重力势能变化与重力做功的关系
上图中重物m 由A 运动到B ，重力做功0)(12>-h h mg ，)(12h h mg W G -=重力势能变化初末P P P E E E -=∆，G P W h h mg mgh mgh E -=-=-=∆)(2121
若重物由B 运动到A 重力做功)(21h h mg W G -=
重力势能变化初末P P P E E E -=∆)(1212h h mg mgh mgh -=-=G W -= 又如重物沿斜面由A 运动到B
重力做功)2
cos(
θπ
-=mgL W G mgh mgL ==θsin 取B 为参考面 mgh E PA = 0=PB E
初末P P P E E E -=∆G W mgh mgh -=-=-=0
重力势能变化与重力做功数值大小相等，符号相反，即重力做正功，重力势能变化为负值，即重力势能减小。

相反重力做负功，重力势能变化为正值，重力势能增大。

再次看到重力做功与路径无关，只与始末位置高度改变有关。

6. 弹性势能
物体由于发生（弹性）形变而具有的能量叫弹性势能。

被拉伸或压缩的弹簧具有弹性势能拉弯的弓有弹性势能。

由定义可以看出
（1）弹性势能存在于发生弹性形变的物体之中。

（2）弹性势能大小跟物体的性质和形变大小有关。

弹簧的弹性势能大小与劲度系数和形变大小有关。

弹簧处自然长度状态无弹性势能。

发生形变时只要长度相等，弹性势能相等，弹性势能的参考点在弹簧原长时长度。

弹性势能只有正没有负值。

7. 势能：由于相互作用物体之间相对位置决定的能量叫势能。

重力势能、弹性势能都是势能的一种。

（1）势能是属于相互作用物体共有的。

（2）势能有多种形式，除上述两种还有其它的如热运动中分子势能，电磁运动中的电势能等等。

（二）机械能守恒定律
1. 机械能E 的概念：动能、弹性势能和重力势能统称机械能。

即P k E E E +=。

2. 机械能守恒定律： （1）推导：
① 定性推导：物体在只有重力做功的运动过程中，只是动能和重力势能的相互转化，机械能总量保持不变。

系统在只有系统内相互作用弹力做功的过程中，只是动能和系统内弹性势能的相互转化，机械能总量保持不变。

② 定量推导：（见选修课本）
（2）内容：如果没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和势能的相互转化时，机械能的总量保持不变。

* 或者说在只有重力和系统内弹力做功的情形下，物体的动能和势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。

（3）机械能守恒条件：只有重力和系统内相互作用弹力做功。

注意：只有重力和系统内相互作用弹力做功时，只是系统内动能和势能的相互转化，系统机械能守恒。

如果其它力做功，则说明系统的机械能和系统外的能有转化，系统机械能不守恒。

如果所有力都不做功，系统动能和势能均不发生变化，系统机械能还是守恒的。

（4）公式：21E E =或P k E E ∆-=∆。

3. 机械能守恒定律的应用
应用机械能守恒定律分析解决实际问题的一般步聚：
（1）明确研究对象和它的运动过程；
（2）分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清是否只有系统内的重力弹力做功，判定机械能是否守恒；
（3）确定物体运动的起始和终了状态，选定零势能参考平面后确定物体在始、末两状态的机械能；
（4）根据机械能守恒定律列出方程，统一单位后代入数据解方程。

4. 机械能守恒定律的常见两种表达式：
（1）2211p k p k E E E E +=+（意义：前后状态机械能不变）
（2）1221k k p p E E E E -=-（意义：势能的减少量等于动能的增加量） 5. 系统的机械能守恒时处理方法：
（1）总
总
21E E =（意义：前后状态系统总的机械能守恒）。

（2）增
减k p E E ∆=∆（系统减小的重力势能等于系统增加的动能）；
（3）增
减B A E E ∆=∆ （A 物体减少的机械能等于B 物体增加的机械能）。

6. 能量转化和守恒定律
（1）功能关系：功是能转化的量度。

（2）能量转化与守恒定律内容：能量既不能凭空产生，也不能凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式或从一个物体转移到另一个物体，在转化和转移的过程中总能量守恒。

（3）用功能关系分析一些实际问题。

用功能关系分析物理问题应注意关键是分析清楚系统中有多少种形式的能，发生了哪些转化和转移过程，再利用始末状态总能量守恒关系分析求解。

能量守恒表示形式通常可用两种：（1）终初E E =； （2）减增E E ∆=
【典型例题分析】
[例1] 下列说法中，正确的是（ ）
A. 地球上的任何一个物体的重力势能都有一个确定值。

B. 从同一高度将某一物体以不同的速率平抛或向下抛出，落到地面上时，物体的重力势能变化相同。

C. 在不同的高度，物体的重力势能可能相同。

D. 位于零势能参考平面以下的物体的重力势能一定小于在零势能面以上的物体的重力势能。

解析：重力势能的大小与参考面的位置有关，参考面位置不同，同一物体在某一位置的重力势能不同。

所以不能说地球上的任何一个物体的重力势能有定值A 错。

从同一位置以不同速率抛出同一物体，平抛或向下抛，高度一直降低最后到达同一高度（地面），重力势能变化大小相同B 正确。

物体在不同高度，选参考面位置不同，可以有相同的势能，C 正确，位于参考面以上势能为正，位于参考面以下势能为负。

势能正负表示大小，所以参考面以下物体势能小于参考面以上物体势能。

D 正确。

[例2] 水塔是在空中的盛水容器，有两个注水口，一个在顶部，一个在底部，注满一水塔水。

则（ ）
A. 从顶部注水做功多
B. 从底部注水做功少
C. 从两注水口注水一样多
D. 条件不足不能比较从上下注水做功多少
解析：设水塔高为H ，盛水部分高度为h ，所盛水质量为m 。

不考虑摩擦及水流动能，
则从底部注水器注水做功等于全部水的重力势能)2
1
(h H mg +
，从顶部注水口注水则要把全部质量为m 的水都提到高为h H +处放入水塔水的最大重力势能为)(h H mg +最后变
为)2
1
(h H mg +
∴ 从顶部口注水做功多，A 正确。

[例3] 用一根长l 的细线，一端固定在顶板上，另一端拴一个质量为m 的小球。

现使细线偏离竖直方向α角后，从A 处无初速地释放小球如图所示。

试问：
（1）小球摆到最低点O 时的速度？
（2）小球摆到左方最高点的高度（相对最低点）？
（3）若在悬点正下方P 处有一钉子，l P O 3
1
='，则小球碰钉后向左摆动过程中能达到的最大高度有何变化？
分析：小球在摆动过程中，受到两个力作用：重力和线的拉力。

由于小球在拉力方向上没有位移，拉力对小球不做功，只有重力做功，所以小球在运动过程中机械能守恒。

解答：
（1）设位置A 相对最低点O 的高度为h ，取过O 点的水平面为零势能位置。

由机械能守恒得202
1)cos 1(mv mgl mgh =
-=α 所以)cos 1(20α-=
gl v
（2）由于摆到左方最高点B 时的速度为零，小球在B 点时只有势能．由机械能守恒E A =E B 即h mg mgh '=。

所以B 点相对最低点的高度为h'=h 。

（3）当钉有钉子P 时，悬线摆至竖直位置碰钉后，将以P 为中心继续左摆。

由机械能守恒可知，小球摆至左方最高点B1时仍与AB 等高，如图所示。

【模拟试题】
（答题时间：60分钟） 一. 选择题
1. 某人将原来放在地面上质量为2kg 的物体向上提起1m ，这时物体获得1m/s 的速度，在这个过程中（g 取2
/10s m ）（ ）
A. 手对物体做功21J
B. 合外力做功1J
C. 重力势能增加21J
D. 物体克服重力做功20J
2. 如图所示，小球在竖直向下的力F 作用下将竖直弹簧压缩，若将力F 撤去，小球将向上弹起并离开弹簧，直到小球速度为零，在小球上升的过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 小球的动能先增大后减小
B. 小球在离开弹簧时动能最大
C. 小球的动能最大时弹簧的弹性势能为零
D. 弹簧对小球的弹力做正功时，小球的动能总在增大
3. 当重力对物体做正功时，物体的（ ） A. 重力势能一定增加，动能一定减小 B. 重力势能一定减小，动能一定增加 C. 重力势能不一定减小，动能一定增加 D. 重力势能一定减小，动能不一定增加
4. 关于重力做功和重力势能变化，下列叙述正确的是（ ）
A. 做竖直上抛运动的物体，在上升阶段，重力做负功，重力势能减少
B. 做竖直上抛运动的物体，重力势能在不断减少
C. 做平抛运动的物体，重力势能在不断减少
D. 只要物体高度降低了，重力势能就要不断减小
5. 一物体静止在升降机上，在升降机加速上升的过程中，地板对物体的支持力所做的功等于（ ）
A. 物体势能的增加量
B. 物体动能的增加量
C. 物体动能的增加量加上物体势能增加量
D. 物体动能的增加量加上物体克服重力所的功
6. 质量为M 的物体放在水平面上，上面固定一根原长为L ，劲度系为k 的轻弹簧，现用手竖直向上拉弹簧的上端P ，如图所示，当P 点位移为H 时，物体离开地面一段距离，则物体在此过程中增加的重力势能是（ ）
A. MgH
B. k M MgH -
C. k Mg MgH 2)(+
D. k
Mg MgH 2
)(-
7. 如图所示，一轻质弹簧竖直放置，下端固定在水平面上，上端处于a 位置，当一重球放在弹簧上端静止时，弹簧上端被压缩到b 位置，现将重球（视为质点）从高于a 位置的c 位置沿弹簧的中轴线自由下落，弹簧被重球压缩到最低位置d ，以下关于重球运动过程中正确的说法应是（ ）
A. 重球下落压缩弹簧由a 至d 的过程中，重球做减速运动
B. 重球下落到b 处动能最大
C. 由a 至d 过程中重球克服弹簧弹力做的功等于重球由c 下落到d 处过程中重力势能的减少量
D. 重球在b 位置处具有的动能等于重球由c 下落到b 处减少的重力势能
8. 质量为m 的物体以初速度0v 沿水平面开始运动，起始点A 与一轻弹簧O 距离为s ，如下图所示，物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的压缩量为x ，则弹簧被压缩最短时，弹簧具有的弹性势能为（ ）
A. mgx mv μ-2
02
1 B.
)(2
12
0x s mg mv +-μ C. mgs μ
D. )(x s mg +μ
二. 填空
9. 如图所示，小球质量为m ，大小不计，右边圆轨道半径为R ，小球从R h 3=处沿斜轨滑下后，又沿圆轨道滑到最高点P 处，在这一过程中，重力对小球所做的功为 ，小球重力势能减少了 。

10. 质量为kg 5的钢球，从离地面m 100高处自由下落s 1，s 1内钢球重力势能减少了 J （2/10s m g =）（选取地面为参考平面），s 1末钢球的重力势能为 J ；如果选取地面上m 1处的平面为参考平面，s 1末它的重力势能为 J ；如果选取自由下落的出发点所在平面为参考平面，s 1末重力势能为 J 。

11. 一物体做竖直上抛运动，初速度为0v ，当物体上升的高度为 时，其动能是重力势能的一半，（以抛出点为零势能面）。

12. 质量kg 10的物体静止在地面上，现用120N 的竖直拉力提升物体，g 取2
/10s m ，在重物上升m 10时，拉力做功 J ，物体动能增加 J ，重力势能增加 J 。

三. 计算 13. 起重机以
mg 4
3
的力，将质量为m 的物体匀减速地沿竖直方向提升h 高度，则起重机钢索的拉力对物体做的功多少？物体克服重力做功为多少？物体的重力势能变化了多少？（空气阻力不计）
14. 如图所示，跨过定滑轮的绳子一端与光滑水平面上质量为M 的物体A 相连，另一端与质量为)(M m m <的物体B 相连，系统由静止开始运动，当A 的速度为v 时，牵引它的绳子与水平方向成θ角，不计滑轮与绳子的质量和摩擦，求此运动过程中物体B 的重力做了多少功？
15. 某海湾共占面积2
7
100.1m ⨯，涨潮时水深m 20，此时关上水坝闸门，可使水位保持m 20不变，退潮时，坝外水位降至18m ，假如利用此水坝建水电站，且重力势能转变为电
能的效率是10%，每天有两次涨潮，问该电站一天能发出多少电能？g 取2
/10s m （不考虑浮力作用）
【试题答案】
一.
1. ABD
2. A
3. D
4. C
5. CD
6. D
7. BC
8. B 二.
9. m gR ；m gR 10. 250；3
1075.4⨯；3
107.4⨯；250- 11. g v 3/2
0 12. 1200；200；1000
三.
13.
mgh 43
；mgh ；增加mgh 14. θ2
22cos 2
121mv Mv +
15. J 10
104⨯
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。

望长城内外，惟余莽莽； 大河上下，顿失滔滔。

山舞银蛇，原驰蜡象， 欲与天公试比高。

须晴日，看红装素裹，分外妖娆。

江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。

惜秦皇汉武，略输文采； 唐宗宋祖，稍逊风骚。

一代天骄，成吉思汗， 只识弯弓射大雕。

俱往矣，数风流人物，还看今朝。