《弹塑性力学》浙江大学

2 、杨桂通
《弹塑性力学》
3 、徐秉业
《应用弹塑性力学》
第一章 弹塑性力学基础
1.1 应力张量 1.2 偏量应力张量 1.3 应变张量 1.4 应变速率张量 1.5 应力、应变 Lode参数
1.1 应力张量 ～力学的语言
1).一点的应力状态
n
lim
A0
pn A
正应力
n
lim
A0
ps A
剪应力
过C点可以做无 穷多个平面K
31 32 33
主应力大小与坐标选择无关，故 J1,J2,J3也必与坐标选择无关。
J1, J2 , J3 : 应力不变量
1.1 应力张量
若坐标轴选择恰与三个主坐标重合：
J1 1 2 3 J2 (1 2 2 3 31) J3 1 2 3
(1.16)
主剪应力面：平分两主平面夹角的平面，数值为：
z
O
x
不同的面上的应 力是不同的
n
C
A n
y
到底如何描绘一 点处的应力状态?
1.1 应力张量
C
z
一点的应力状态可由过该点的微小
正平行六面体上的应力分量来确定。
应力张量
ij yxx
xy y
xz yz
(1.1)
zx zy z
z
zx
zy yz
y
yx xz x
yz P zy
xy x xy xz
0.2 基本假定
1).假定固体材料是连续介质——连续性假定 2).物体为均匀的各向同性的 3).物体的变形属于小变形 4).物体原来是处于一种无应力的自然状态
0.3 几个基本概念
张量的概念 只需指明其大小即足以被说明的物理量，称为标量
温度、质量、力所做的功
除指明其大小还应指出其方向的物理量，称为矢量
3
)l22
1 2
(
2
3
)]
0
1.1 应力张量
最大最小剪应力：
l1 ( 1
3
)[(1
3
)l12
(
2
3
)l22
1 2
(1
3
)]
0
l2
(
2
3
)[(1
3
)l12
(
2
3
)l22
1 2
(
2
3
)]
0
它们分别作用在 与相应主方向成 45º的斜截面上
l1
0
及l2
0
第一组解：l1
2 2
; l2 0 ; l3
2 2
采用张量下标记号
( ij dij )l j 0 (1.9)
Kroneker delta记号
1.1 应力张量
dij记号：Kroneker-delta记号
dij
1, 0,
i i
j j
采用张量表示
方向余弦满足条件：
1 0 0
dij 0 1 0 (1.10)
0 0 1
l12 l22 l32 1 (1.11)
j 1
S
N
2
21l1
22l2
23l3
3
2 jlj
(1.3)
j 1
3
S
N
3
31l1 32l2 33l3
3 jlj
j 1
SNi ijl j (1.4)
i ：自由下标；j为求和下标 （同一项中重复出现）。
1.1 应力张量
斜截面OABC上的正应力:
N SN1l1 SN 2l2 SN 3l3
J1 11 22 33 kk
是关于λ的三次方程，它的三个根，即为三个主 应力，其相应的三组方向余弦对应于三组主平面。
式中:
J2
11 21
12 22
22 32
23 33
33 13
31 11
1 2
( ii kk
ik ki )
(1.15)
11 12 13 J3 21 22 23 ij
自由标号: 不重复出现的下标符号,在其变程N(关于三维空间N＝3)
内分别取数1，2，3，…，N
哑标号:
重复出现的下标符号称为哑标号,取其变程N内所有分量， 然后再求和，也即先罗列所有各分量，然后再求和。
0.3 几个基本概念
求和约定:
当一个下标符号在一项中出现两次时，这个下标符号应理解为取其变程
N中所有的值然后求和，这就叫做求和约定。
物体的速度、加速度
在讨论力学问题时，仅引进标量和矢量的概念是不够的
如应力状态、应变状态、惯性矩、弹性模量等
张量
关于三维空间，描述一切物理恒量的 分量数目可统一地表示成：
M=rn=3n
标量:n=0,零阶张量 矢量:n=1,一阶张量 应力,应变等:n=2,二阶张量
二阶以上的张量 已不可能在三维 空间有明显直观 的几何意义。
1.1 应力张量
3
八面体（每个坐标象限1个面）
4).八面体上的应力
• 八面体面上的正应力为:
2
8 P1l1 P2l2 P3l3 1l12 2l22 3l32
1 3
(1
2
3)
1 3
J1
(1.21) 平均正应力
1
• 八面体面上的应力矢量为：
F8 2 P12 P22 P32 (1l1)2 ( 2l2 )2 ( 3l3 )2
lili 1
(1.12)
联合求解 l1,l2,l3：
(11 )l1 12l2 13l3 0
21l1 31l1
( 22 )l2 23l3 32l2 ( 33 )l3
0 0
l12 l22 l32 1
l1,l2,l3不全等于0
11 21 31
12 22
32
l2
11 1
l2
22 2
l2
33 3
212l1l2
2
23l2l3
2 31l3l1
(1.5)
斜截面OABC上的剪应力:
N
S
2 N
1
S
2 N
2
S
2 N
3
2 N
(1.6)
1.1 应力张量
3).主应力及其不变量
主平面:剪应力等于零的截面 主应力--λ:主平面上的正应力
SSNN21
l1 l2
(1.7)
代入
3 、张量函数的求导
aijbkl Cijkl
张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。
ui,i
ui xi
u1 x1
u2 x2
u3 x3
ui, jk
2ui x jxk
2ux x jxk
, 2uy x jxk
, 2uz x jxk
0.4 主要参考书目
1 、Y.C.Fung(冯元桢)
《Foundations of Solid Mechanics》 《固体力学导论》 《A first course in continuum mechanics 》《连续介质力学导论》
31 32 33
代入式(1.14)后得:
3 3 2 6 8 0 ( 4)( 1)( 2) 0
解得主应力为: 1 4; 2 1; 3 2;
1.2 应力偏量张量
1).应力张量分解
物体的变形
体积改变 形状改变
球应力状态/静水压力
由各向相等的应力状态引起的
13
1
3
2
l1
0
及l2
0
第二组解： l1
0
; l2
2 2
;
l3
2 2
23
2
3
2
消去l2
第三组解： l1
2 2
; l2
2 2
;
l3
0
12
1
2
2
因为：1 2 3
max 1 3
min
2
1.1 应力张量
3
八面体（每个坐标象限1个面）
4).八面体上的应力
2
• 沿主应力方向取坐标轴，与坐标轴等倾角的
zx
y yx
B
A
z
y
用张量下标记号法
O
一点的应力状态
11 12 13
x
ij 21
22
23
(1.2)
数学上，在坐标变换时，服从一
31 32 33
下标即1、x、2、y、3表z方示向坐标x1、x2、x3
定坐标变换式的九个数所定义的
量叫做二阶张量。
1.1 应力张量
2).一点斜面上的应力(不计体力)
斜截面外法线n的方向余弦:
cos(n, cos(n,
x1 x2
) )
l1 l2
令斜截面ABC 的面积为1
SSOOABCC
1 cos(n, x1) 1 cos(n, x2 )
l1 l2
cos(n, x3) l3
SOAB 1 cos(n, x3) l3
3
SN1 11l1 12l2 13l3 1 jl j
1 3
(12
2 2
2 3
)
(1.22)
• 八面体面上的剪应力为：
8
F8
2
2 8
1 3
(
2 1
2 2
2 3
)
1 9
(1
2
3 )2
1 3
(1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1)2
2 3
J12 3J2
(1.23)
1.1 应力张量
例题: 已知一点的应力状态由以下一组应力分量所确定, 即x＝3, y＝0, z＝0,
八个面组成的图形，称为八面体。
1
• 八面体的法线方向余弦：
l1 l2 l3 l12 l22 l32 1
l1 l2 l3 1 / 3 (1.19)
或 arccos(l1) arccos(l2 ) arccos(l3) 5444'
• 八面体平面上应力在三个坐标轴上的投影分别为：
P1 1l1 1 / 3, P2 2l2 2 / 3, P3 3l3 3 / 3 (1.20)
ai xi a1x1 a2 x2 a3x3
ii 11 22 33 (i : 哑标，i 1, 2, 3） SNi ijl j i1l1 i2l2 i3l3
(i :自由下标，j :哑标，i, j 1, 2,3）
dij记号：Kroneker-delta记号
d ij
1, 0,
1
2
3
2
,
2
3
1
2
,
3
1
2
2
(1.17)
3
3
1
1
2 1
主剪应力面(1 )
1 2
1.1 应力张量
最大最小剪应力：
取主方向为坐标轴取向,则一点处任一截面上的剪应力的计算式:
2 N
S
2 N1
S
2 N
2
S
2 N
3
2 N
(1l1)2
( 2l2 )2
( 3l3 )2
(1l12
Leabharlann Baidu
2l22
3l32 )2
i i
j j
1 0 0
张量表示：dij 0 1 0
0 0 1
0.3 几个基本概念
张量的计算:
1 、张量的加减
凡是同阶的两个或两个以上的张量可以相加 (减），并得到同阶的一个新张量，法则为：
Aijk L Bijk Cijk
2 、张量的乘法
第一个张量中的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，从而得到 一个新的分量的集合—新张量，新张量的阶数等于因子张量的阶数之和。
l12 l22 l32 1
消去l3：
2 N
(
2 1
2 3
)l12
(
2 2
2 3
)l22
2 3
[(1
3 )l12
( 2
3 )l22
3 ]2
由极值条件 n 0 及 n 0
l1
l2
l1 ( 1
3
)[(1
3
)l12
(
2
3
)l22
1 2
(1
3
)]
0
l2
(
2
3
)[(1
3
)l12
(
2
13 23 0 (1.13) 33
1.1 应力张量
联合求解 l1,l2,l3：
行列式展开后得：
(11 )( 22 )( 33 ) 12 23 31 21 32 13 13 31( 22 )
23 32 (11 ) 12 21( 33 ) 0
简化后得
3 J1 2 J2 J3 0 (1.14)
P
对实体结构、板壳结构、杆件的进 一步分析。
P
P
研究方法: 研究任务: 学习目的:
材料力学、结构力学:简化的数学模型
弹塑性力学:较精确的数学模型
建立并给出用材料力学、结构力学方 法无法求解的问题的理论和方法。
给出初等理论可靠性与精确度的度量。
确定一般工程结构的弹塑性变形与内 力的分布规律。 确定一般工程结构的承载能力。 为研究一般工程结构的强度、振动、 稳定性打下理论基础。
SN1 SN 2
11l1 21l1
12l2 22l2
13l3 23l3
SN 3 l3
SN 3 31l1 32l2 33l3
(211l11
)l1 12l2 ( 22 )l2
13l3 23l3
0 0
(1.8)
31l1 32l2 ( 33 )l3 0
0.3 几个基本概念
下标记号法:
为了书写上的方便，在张量的记法中，都采用下标字母符号来表示和区
别该张量的所有分量。这种表示张量的方法，就称为下标记号法。
(x, y, z) (x1, x2 , x3) xi (i 1, 2,3)
xx , xy , xz , yx , yy , yz , zx , zy , zz , ij (i, j x, y, z)
xy＝1 , yz ＝2, zx ＝1, 应力单位为MPa。试求该点的主应力值。
解: J1 11 22 33 3 0 0 3
J2
11 21
12 22
22 32
23 33
33 13
31 11
(3 0 11) (0 0 2 2) (0 3 11) 6
11 12 13 J3 21 22 23 3 0 0 1 2 11 2 11 0 1 2 2 3 11 0 8
工程弹塑性力学
浙江大学 建筑工程学院
绪论
0.1 课程研究对象、研究任务 0.2 基本假定 0.3 几个基本概念 0.4 参考书目
0.1 弹塑性力学的研究对象和任务
弹塑性力学:
固体力学的一个分支学科
研究可变形固体受到外荷载、温度 变化及边界约束变动等作用时、弹 塑性变形和应力状态的科学。
研究对象: