苏教版八年级数学

C
B
D
AC=DF (已知)
∴ΔABC≌ΔDEF(SAS)
（2）解:根据”全等三角形的对应边(角)相等
”可知:
①BC=EF, ②∠C=∠F, ③∠ABC=∠ DEF, ④ EF∥BC, ⑤AE=DB等
A E B F
D
C
综合题:
如图,A是CD上的一点,⊿ABC ,⊿ADE 三角形,求证CE=BD
B
都是正
2、轴对称的性质和几个简单的轴对称 图形的性质，是这部分的重点知识，应引 起足够的重视。
3、轴对称的实际应用应提高到足够 的地位。 4、用对称的眼光看问题，解决问题， 指导辅助线的添加。
B C F A
D
简写成“角角边”或
“AAS”）。
E
知识梳理:
A A
A
B SSA不能 判定全等
B B A
C
D
C C
B
D
知识梳理: 直角三角形全等判定：HL
A
A′
B
C
B′
C′
用符号语言表达为： ∠C=∠C'=90̊
在Rt△ABC和 Rt△A'B'C'中 AB=A'B'
AC=A'C' ∴ △ABC ≌△A'B'C'（HL)
分析:证 ⊿ABD≌⊿ACE
E G F A D
C
如图,A是CD上的一点,⊿ABC ,⊿ADE 都是正三角形,
求证CE=BD
变式1:在原题条件不变的前提下,可以 B 探求以下结论:(1)求证:AG=AF; (2)求证:⊿ABF≌⊿ACG;
E C G A F D
(3)连结GF,求证⊿AGF是正三角形;
②已有什么
③还缺什么
④创造条件 3、添加辅助线
第二章 轴对称图形
一、知识概况 本章着重研究轴对称的概念， 性质，轴对称的作图，应用，以及 轴对称图形和几个常见的轴对称图 形的性质和判定。
（一）轴对称和轴对称图形
1、概念 如果把一个图形沿着某一条直线折叠 后，能够与另一个图形重合，那么这两个 图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫 做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称 点。 如果把一个图形沿着一条直线折叠， 直线两旁的部分能够互相重合，那么这个 图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称 轴。
=
_
例3已知：P是BD上的任意一点AB=CB,AD=CD. 求证PA=PC
证明：在△ABD和△CBD中
AB=CB
A
AD=CD BD=BD
D
=
P
_
B
∴ △ABD≌△CBD(SSS) ∴∠ABD=∠CBD
=
C
_
在△ABP和△CBP中
AB=BC ∠ABP=∠CBP BP=BP ∴ △ABP ≌ △CBP(SAS)
苏教版八年级上册 期末总复习典型题
CONTEN T 目 录
第一章 全等三角形
第二章
轴对称图形
勾股定理
第三章 第四章 实数
第五章 平面直角坐标系
第四章 一次函数
第一章 全等三角形
知识结构图
性质
全 全 等 等 三 形 角 形
全等三角形对应边相等
全等三角形对应角相等 SSS SAS ASA AAS HL 解决问题
F
B
C
小结:
1.证明两个三角形全等，要结合题目的条件 和结论，选择恰当的判定方法 2.全等三角形，是证明两条线段或两个角相 等的重要方法之一，证明时
①要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三 角形中。 ②分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺 什么条件。 ③有公共边的，公共边一定是对应边， 有公共角的， 公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对 应角
(4)若要以“SSS” 为依据，还缺条件＿＿＿ AB=DE AC=DF (5)若∠B=∠DEF=90°要以“HL” 为依据，还缺条件＿ ＿＿＿＿ AC=DF
例2、如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎 成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一 样的玻璃,那么最省事的办法是拿( )去 配.
证明题的分析思路： ①要证什么 ②已有什么 ③还缺什么 ④创造条件
典型题型
1、证明两个三角形全等 2、证明两个角相等
3、证明两条线段相等
一、全等三角形性质应用
1：如图，△AOB≌△COD，AB=7,∠C=60°则
CD=
7
,∠A=
B
60°
.
C
O
A
D
一、全等三角形性质应用
2：已知△ABC≌△DEF，
∠ A=60°,∠C=50°则
∠E=
70̊
.
A
D
B
C
E
F
解析； 全等三角形对应角相等
例4 如图, A,E,B,D在同一直线上, AB=DE,AC=DF,AC ∥ DF,在ΔABC和ΔDEF, (1)求证: ΔABC≌ΔDEF;
(2)你还可以得到的结论是
.
A E
F
(写出一个,不再添加其他线段,不
再表注或使用其他字母)
(1)证明:∵AC∥DF(已知) ∴∠A=∠D (两直线平行, 内错角相等) 在ΔABC和ΔDEF中 AB=DE(已知) ∠A=∠D(已证)
例 2 已知：如图，AB=AC,AD=AE, ∠1=∠3,那么∠E=∠D 吗？为什么？
变式题： 1.
1.已知：如图，AB=AC,AD=AE, 请你再添一个条 件，使得∠E=∠D？为什么？ 2.已知：如图，AB=AC, ∠1=∠3, 请你再添 一个条件，使得∠E=∠D？为什么？
3、证明两条线段相等
例3 :如图, AC∥ DB, AC=2DB,E是AC的中
注意1、证明两个三角形全等，要结合题目的条件 和结论，选择恰当的判定方法 2、全等三角形，是证明两条线段或两个角相等 的重要方法之一，证明时 ①要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等 的三角形中。 ②有公共边的，公共边一定是对应边， 有公共 角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也 是对应角 总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。
2、轴对称的性质：
成轴对称的两个图形全等；如果两个 图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线 的垂直平分线。
（二）几个轴对称图形的性质：
1、线段、射线、直线。
线段是轴对称图形，它有两条对称轴， 它的对称轴是它所在的直线，和线段的垂 直平分线。
线段垂直平分线上的点到线段两端的 距离相等；到线段两端的距离相等的点在 线段的垂直平分线上。
2、角：
角是轴对称图形，它的对称轴是它 的角平分线所在的直线。
角平分线上的点到角的两边的距离 相等；到角的两边的距离相等的点在这 个角的平分线上。 3、等腰三角形→等边三角形
二、重、难点剖析
1、轴对称和轴对称图形的区别和联系。
区别： 轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完 全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部 分沿某直线对折能完全重合。对称轴只有一条。
为“边边边”或“SSS”）。 用符号语言表达为：
A
在△ABC和△ DEF中 AB=DE BC=EF CA=FD
B D
C
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS） E
F
知识梳理:
三角形全等判定方法4
思考:在△ABC和△DFE中,当∠A=∠D ,
∠B=∠E和AC=DF时,能否得到 △ABC≌△DFE? 有两角和其中一个 角的对边对应相等的两 个三角形全等(可以
A B E D
分析：现在我们已知 A→∠CAB=∠DAB
S→ AB=AB(公共边) . ①用SAS, SAS 需要补充条件 AD=AC, ②用ASA, ASA 需要补充条件 ∠CBA=∠DBA, ③用AAS, AAS 需要补充条件 ∠C=∠D, ④此外,补充条件 ∠CBE=∠DBE也可以 (?)
2、证明两个角相等
∴ＣＦ＝ＦＤ（全等三角形的对应边相等）
∴点F是CD的中点
如果把例4来个变身，聪明的同学 们来再试身手吧！
已知:如图AB=AE,∠B=∠E，BC=ED， 点F是CD的中点 (1)求证：AF⊥CD
(2)连接BE后，还能得出什么结论？ （写出两个)
小结： 1、全等三角形的定义，性质， 判定方法。
2、证明题的方法 ①要证什么
(4)求证GF//CD
变式2:在原题条件下,再增加一个条件, 在CE,BD上分别取中点M,N,求证:⊿AMN 是正三角形
变式3:如图,点C为线段AB延长线上一点 ,⊿AMC,⊿BNC为正三角形,且在线段AB同 侧,求证AN=MB
M
N
分析:此中考题与原题相比 较,只是两个三角形的位置 不同,此图的两个三角形重 叠在一起,增加了难度,其证 明方法与前题基本相同,只 须证明⊿ABN≌⊿BCM
一、全等三角形性质应用
3：如图，△ABC≌△DEF，DE=4，AE=1，则
BE的长是（ C ）
D A E B C F
A．5
C．3
B．4
D．2
解析； 全等三角形对应边相等。既 AB=ED,BE=AB-AE
1、证明两个三角形全等
例1 ：如图,点B在AE上 ,∠CAB=∠DAB,要使 ΔABC≌ΔABD,可补充的一个 条件是 AD=AC . ∠CBA=∠DBA ∠C=∠D C ∠CBE=∠DBE
判定
一般三角形
直 角 三 角 形
应用
知识梳理:
三角形全等判定方法1
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全 等。(可以简写成“边角边”或“SAS”) 用符号语言表达为： 在△ABC与△DEF中 AC=DF ∠C=∠F
C B
A
D
F
E
BC=EF
∴△ABC≌△DEF（SAS）
知识梳理:
三角形全等判定方法2
∴PA=PC
例4。已知:如图AB=AE,∠B=∠E，BC=ED AF⊥CD 求证：点F是CD的中点 分析：要证CF=DF可以考虑CF 、 DF所在的两个三角形全等，为此可 添加辅助线构建三角形全等 ，如何 添加辅助线呢? 已有AB=AE,∠B=∠E ， BC=ED 怎样构建三角形能得到两个三角 形全等呢？连结AC,AD
轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小 关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。对 称轴可能会有多条。
联系： 两部分都完全重合，都有对称轴，都 有对称点。 如果把成轴对称的两个图形看成是一 个整体，这个整体就是一个轴对称图形； 如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成 两个图形，这两个部分图形就成轴对称。
有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全
等(可以简写成“角边角”或“ASA”）。
用符号语言表达为：
在△ABC和△DEF中 ∠A=∠D （已知 ） AB=DE（已知 ）
C F B E A
D
∠B=∠E（已知 ）
∴ △ABC≌△DEF（ASA）
知识梳理:
三角形全等判定方法3
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写
二、几种常见全等三角形基本图形
A D
A
D
B
C
E
F B
E
C
D
F
平移
E B
A F C
E
A
E
D
A
B
D
C
B C
旋转
A E B C D
A
B
C
翻折
D
A
D
A
B
C D E
B
C
找找复杂图形中的基本图形
E G C F
A
D
设计意图：知道了这几种基本图形，wk.baidu.com么在解决全等 三角形问题时，就容易从复杂的图形中分解出基本图 形，解题就会变得简便。
例3已知：如图,P是BD上的任意一点
AB=CB,AD=CD.
A
求证: PA=PC
①要证明PA=PC可将其 放在ΔAPB和ΔCPB 或ΔAPD和ΔCPD考虑
D
=
P
_
B
分 析：
C
②已有两条边对应相等 （其中一条是公共边） ③还缺一组夹角对 应相等
若能使∠ABP=∠CBP 或∠ADP=∠CDP 即可。 创造条件
添加辅助线是几何证明 中很重要的一种思路
证明：连结ＡＣ和ＡＤ ∵在△ＡＢＣ和△ＡＥＤ中， ＡＢ＝ＡＥ， ∠B=∠E， ＢＣ＝ＥＤ ∴△ＡＢＣ≌△ＡＥＤ（ＳＡＳ） ∴ＡＣ＝ＡＤ（全等三角形的对应边相等） ∵ＡＦ⊥ＣＤ ∴ ∠AFC=∠AFD=90°， 在Ｒt△AFC和Ｒt△AFD中 ＡＣ＝ＡＤ（已证） ＡＦ＝ＡＦ（公共边） ∴Ｒt△AFC≌Ｒt△AFD（ＨＬ）
C
A
B
变式4:如图,⊿ABD,⊿ACE都是正三角形, 求证CD=BE
D A E
B
C
分析:此题实质上是把题目中的条件B,A,C三点改为 不共线,证明方法与前题基本相同.
变式6:如图,分别以⊿ABC的边AB,AC为一边 画正方形AEDB和正方形ACFG,连结CE,BG. 求证BG=CE
E
D
A
G
分析:此题是把两个三 角形改成两个正方形 而以,证法类同
点,求证:BC=DE
D A
E
证明:∵AC=2DB,AE=EC (已
知) ∴DB=EC
B
C
DB=EC
又∵ AC∥ DB(已知) ∠DBE=∠CEB (两直线平行, 内错角相等)
∵BE=EB( BE=EB 公共边) ∴ ΔDBE≌ΔCEB(SAS) ∴ BC=DE (全等三角形的对应 边相等)
综合题：
3.注意正确地书写证明格式(顺序和对应关系).
例题一:
已知:如图∠B=∠DEF,BC=EF,补充条件求证:ΔABC≌ ΔDEF
A
D
B E C F AB=DE (1)若要以“SAS”为依据，还缺条件 ＿＿＿＿＿； (2) 若要以“ASA”为依据，还缺条件＿＿＿＿； ∠ACB= ∠DFE (3) 若要以“AAS”为依据，还缺条件＿＿＿＿＿ ∠A= ∠D