地球物理计算方法课件：上机课3
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格式：f=poly2sym(p)
说明： 将多项式向量p转换为字符 例如：f=poly2sym([1,2,1])，则f =x^2 + 2*x + 1
Matlab应用程序（APP）
4
课堂练习
1. 求下列数据表的最小二乘法拟合的多项式函数， 并将数据表中数据与多项式曲线画在同一图中比较。
xi -1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 yi 50 40 25 20 18 21 35 56 66
5
Matlab符号积分函数
符号积分
格式： int(f) 求表达式f对默认自变量的积分值 int(f, t) 求表达式f对自变量t的不定积分值 int(f, a, b) 求表达式f对默认自变量的定积分值，积分区间为[a,b] int(f, t, a, b) 求表达式f对自变量t的定积分值，积分区间为[a,b]
Matlab数值积分函数
数值积分
梯形求积公式：
Z = trapz(x,y)
x、y为求积函数一系列已知的节点及函数值， Z返回积分的近似值。
Matlab数值积分函数
自适应复化Simpson公式： [I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)
说明： ① 返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数； ② fname是被积函数名，定义被积函数须用数值运算符； ③ a和b分别是定积分的下限和上限； ④ tol用来控制积分精度，缺省时取tol=10-6； ⑤ trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，
对于一元函数f = f(x): ezplot(f)：在默认区间-2π<x<2π绘制f = f(x)的图形； ezplot(f, [a,b])：在区间a<x<b绘制f = f(x)的图形；
非刚性 多步法；Adams算法；高低精 计算时间比 ode45 短 度均可到 10-3～10-6
适度刚性 采用梯形算法
适度刚性情形
刚性 多步法；Gear’s 反向数值微分；若 ode45 失效时，可尝
精度中等
试使用
刚性 刚性
单步法；2 阶Rosebrock 算法；当精度较低时，计算时
低精度
间比 ode15s 短
取0则不展现，缺省时取trace=0。
Matlab数值积分函数
二重积分： I=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol ,trace)
三重积分： I = triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol)
高斯积分： I = quadgk(fun,a,b)
方法2：极坐标 方法3：网格化 [u,v]=meshgrid(xmin:h:xmax,ymin:h:ymax) k=inpolygon(u,v,x,y) S=h^2*nnz(k)
上机课 3
第四章 方程求根 +
第五章 线性方程组迭代法
Matlab函数作图命令
利用描图法寻找隔根区间，常用到plot、ezplot、fplot等函 数作图命令。
二维数值函数的专用绘图函数fplot
fplot(functionname,[a,b],tol,选项)
其中functionname为函数名，以字符串形式出现； [a,b]为绘图区间； tol为相对允许误差，其系统默认值为2e-3； 选项定义与plot函数相同。
17
Matlab函数作图命令
二维符号函数曲线专用命令ezplot
Matlab数值微分函数
数值差分： D=diff(x) x为向量返回差分值，x为矩阵按列作差分 D=diff(x, k) k阶差分，即差分k次
求导数： q=polyder(p) 求多项式函数p的导函数q（向量） Fx=gradient(F, x) 返回向量F表示的一元函数沿x方
向的导函数F’(x)，其中x与F是同维数的向量 [Fx, Fy]=gradient(F, x, y) 返回矩阵F表示的二元函数
地球物理计算方法
地球物理与信息技术学院
复习：Matlab多项式拟合函数
格式：p=polyfit(x,y,m)
说明： ① x，y 输入同维数据向量 ② m 拟合多项式次数 ③ p 输出拟合多项式的系数向量
Matlab多项式拟合函数
格式：yi=polyval(p, xi) 说明： ① p为输入多项式向量 ② 输出多项式p在x=xi时的值yi
梯形算法；低精度
当精度较低时，计算时 间比ode15s短
课堂练习
3. 分别用二阶和四阶龙格-库塔方法求解下列常微分方程初值问题，并将方
程的解用图形表Biblioteka Baidu。
y ' 3y2 2x2 3x, 0 x 1
y(x0 ) 1, x0 0
选做题
请在上次作业的基础上，尝试求出你自己手掌的面积。
方法1：多边形面积公式
的数值梯度（F’x, F’y）
课堂练习
2. 考虑函数f(x)=lg(1+x)lg(1-x).
(1) 用ezplot在[-1, 1]上画出f(x)的图像；
(2) (3)
用 用符复号化求Sim积p的son方公法式计计算算积积分分的11 f近(x似)dx值的；精确值；
(4) 从梯形公式出发构造龙贝格算法计算积分的近似值；
没有一种算法可以有效地解决所有的 ODE 问题，因此 MATLAB 提供了多种ODE函数。
函数
ode45 ode23
ode113 ode23t ode15s ode23s
ode23tb
ODE类 型
特点
说明
非刚性 单步法；4，5 阶 R-K 方法； 大部分场合的首选方法 累计截断误差为 (△x)5
非刚性 单步法；2，3 阶 R-K 方法； 使用于精度较低的情形 累计截断误差为 (△x)3
Matlab常微分方程函数
格式 [x,y]=solver(′ fun′, [x0,xn], y0,option)
solver = ode45 ode23 ode113 ode15s ode23s ode23t ode23tb 说明： ① 适用于求解一阶常微分方程/方程组 ② fun定义微分方程组的函数文件名 ③ [x0,xn]求解区域 ④ y0初始条件向量（初值问题） ⑤ option可选参数，由ODESET函数设置，比较复杂 ⑥ x输出自变量向量，y输出[y, y ′, y ″,..]
说明： 将多项式向量p转换为字符 例如：f=poly2sym([1,2,1])，则f =x^2 + 2*x + 1
Matlab应用程序（APP）
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课堂练习
1. 求下列数据表的最小二乘法拟合的多项式函数， 并将数据表中数据与多项式曲线画在同一图中比较。
xi -1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 yi 50 40 25 20 18 21 35 56 66
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Matlab符号积分函数
符号积分
格式： int(f) 求表达式f对默认自变量的积分值 int(f, t) 求表达式f对自变量t的不定积分值 int(f, a, b) 求表达式f对默认自变量的定积分值，积分区间为[a,b] int(f, t, a, b) 求表达式f对自变量t的定积分值，积分区间为[a,b]
Matlab数值积分函数
数值积分
梯形求积公式：
Z = trapz(x,y)
x、y为求积函数一系列已知的节点及函数值， Z返回积分的近似值。
Matlab数值积分函数
自适应复化Simpson公式： [I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)
说明： ① 返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数； ② fname是被积函数名，定义被积函数须用数值运算符； ③ a和b分别是定积分的下限和上限； ④ tol用来控制积分精度，缺省时取tol=10-6； ⑤ trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，
对于一元函数f = f(x): ezplot(f)：在默认区间-2π<x<2π绘制f = f(x)的图形； ezplot(f, [a,b])：在区间a<x<b绘制f = f(x)的图形；
非刚性 多步法；Adams算法；高低精 计算时间比 ode45 短 度均可到 10-3～10-6
适度刚性 采用梯形算法
适度刚性情形
刚性 多步法；Gear’s 反向数值微分；若 ode45 失效时，可尝
精度中等
试使用
刚性 刚性
单步法；2 阶Rosebrock 算法；当精度较低时，计算时
低精度
间比 ode15s 短
取0则不展现，缺省时取trace=0。
Matlab数值积分函数
二重积分： I=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol ,trace)
三重积分： I = triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol)
高斯积分： I = quadgk(fun,a,b)
方法2：极坐标 方法3：网格化 [u,v]=meshgrid(xmin:h:xmax,ymin:h:ymax) k=inpolygon(u,v,x,y) S=h^2*nnz(k)
上机课 3
第四章 方程求根 +
第五章 线性方程组迭代法
Matlab函数作图命令
利用描图法寻找隔根区间，常用到plot、ezplot、fplot等函 数作图命令。
二维数值函数的专用绘图函数fplot
fplot(functionname,[a,b],tol,选项)
其中functionname为函数名，以字符串形式出现； [a,b]为绘图区间； tol为相对允许误差，其系统默认值为2e-3； 选项定义与plot函数相同。
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Matlab函数作图命令
二维符号函数曲线专用命令ezplot
Matlab数值微分函数
数值差分： D=diff(x) x为向量返回差分值，x为矩阵按列作差分 D=diff(x, k) k阶差分，即差分k次
求导数： q=polyder(p) 求多项式函数p的导函数q（向量） Fx=gradient(F, x) 返回向量F表示的一元函数沿x方
向的导函数F’(x)，其中x与F是同维数的向量 [Fx, Fy]=gradient(F, x, y) 返回矩阵F表示的二元函数
地球物理计算方法
地球物理与信息技术学院
复习：Matlab多项式拟合函数
格式：p=polyfit(x,y,m)
说明： ① x，y 输入同维数据向量 ② m 拟合多项式次数 ③ p 输出拟合多项式的系数向量
Matlab多项式拟合函数
格式：yi=polyval(p, xi) 说明： ① p为输入多项式向量 ② 输出多项式p在x=xi时的值yi
梯形算法；低精度
当精度较低时，计算时 间比ode15s短
课堂练习
3. 分别用二阶和四阶龙格-库塔方法求解下列常微分方程初值问题，并将方
程的解用图形表Biblioteka Baidu。
y ' 3y2 2x2 3x, 0 x 1
y(x0 ) 1, x0 0
选做题
请在上次作业的基础上，尝试求出你自己手掌的面积。
方法1：多边形面积公式
的数值梯度（F’x, F’y）
课堂练习
2. 考虑函数f(x)=lg(1+x)lg(1-x).
(1) 用ezplot在[-1, 1]上画出f(x)的图像；
(2) (3)
用 用符复号化求Sim积p的son方公法式计计算算积积分分的11 f近(x似)dx值的；精确值；
(4) 从梯形公式出发构造龙贝格算法计算积分的近似值；
没有一种算法可以有效地解决所有的 ODE 问题，因此 MATLAB 提供了多种ODE函数。
函数
ode45 ode23
ode113 ode23t ode15s ode23s
ode23tb
ODE类 型
特点
说明
非刚性 单步法；4，5 阶 R-K 方法； 大部分场合的首选方法 累计截断误差为 (△x)5
非刚性 单步法；2，3 阶 R-K 方法； 使用于精度较低的情形 累计截断误差为 (△x)3
Matlab常微分方程函数
格式 [x,y]=solver(′ fun′, [x0,xn], y0,option)
solver = ode45 ode23 ode113 ode15s ode23s ode23t ode23tb 说明： ① 适用于求解一阶常微分方程/方程组 ② fun定义微分方程组的函数文件名 ③ [x0,xn]求解区域 ④ y0初始条件向量（初值问题） ⑤ option可选参数，由ODESET函数设置，比较复杂 ⑥ x输出自变量向量，y输出[y, y ′, y ″,..]