高中数学直线与圆的方程知识点总结 (1)

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（x +y +D2x+E2y+F2）=0
过两圆的交点的直线方程：x +y +D1x+E1y+F1- x +y +D2x+E2y+F2=0（两圆的方程相减得到的方 程就是直线方程） 7.与圆有关的计算： 2 2 弦长的计算：AB=2*√R -d 其中 R 是圆的半径，d 等于圆心到直线的距离 2 AB=（√1+k ）*∣X1-X2∣ 其中 k 是直线的斜率，X1 与 X2 是直线与圆的方程联 立之后得到的两个根 过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线 圆内的最长弦是直径 8.圆的一些最值问题 ①圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径 ②圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径 ③假设 P（x，y）是在某个圆上的动点，则（x-a）/（y-b）的最值可以转化为圆上的点与 该点（a，b）的斜率问题，即先求过该定点的切线，得到的斜率便是该分式的 最值。 ④假设 P （x， y） 是在某个圆上的动点， 则求 x+y 或 x-y 的最值可以转化为： 设 T=x+y 或 T=x-y， 在圆上找到点(X,Y)使得以 y=x+T 或 y=x-T 在 Y 轴上的截距最值化。 9.圆的对称问题 ①已知圆关于已知的直线对称， 则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的， 只需求出已知圆 的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。 ②若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆， 则这个直线必过某定点， 且该定点是圆的圆 心坐标
过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直于 X 轴的直线。 ） 6.圆系方程： 过 两 圆 的 交 点 的 圆 方 程 ： 假 设 两 圆 方 程 为 ： C1:x +y +D1x+E1y+F1=0 2 2 2 2 C2:x +y +D2x+E2y+F2=0 则 过 两 圆 的 交 点 圆 方 程 可 设 为 ： x +y +D1x+E1y+F1+λ
直线与方程、圆与方程
一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找 k ：k=tanα （α≠90°） ； ②垂直：斜率 k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标： k tan
y1 y2 y2 y1 x1 x2 x2 x1
3、距离公式： ①两点间距离： P 1P 2 ②点到直线距离： d
( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 Ax0 By0 C A2 B 2 C1 C2 A2 B 2
③平行直线间距离： d
4、中点、三分点坐标公式：已知两点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y 2 )
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o
x来自百度文库
③ PA PB 的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴” 。 3、直线必过点：① 含有一个参数----y=(a-1)x+2a+1 => y=(a-1)(x+2)+3 令：x+2=0 => 必过点(-2,3) ②含有两个参数----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0 => m(3x+y)+n(2y-x-1)=0 令：3x+y=0、2y-x-1=0 联立方程组求解 => 必过点(-1/7,3/7) 4、易错辨析： ① 讨论斜率的存在性： 解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：<1>斜率不存在时，是否满足题意； <2>斜率存在时，斜率会有怎样关系。 ② 注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解； （求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。 ）
x1 x2 y1 y2 , ) 2 2 2 x x2 2 y1 y2 ②AB 三分点 ( s1 , t1 ), ( s2 , t 2 ) ： ( 1 , ) 靠近 A 的三分点坐标 3 3 x 2 x2 y1 2 y2 ( 1 , ) 靠近 B 的三分点坐标 3 3
①AB 中点 ( x0 , y0 ) ： ( 中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。 三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。 5.直线的对称性问题 已知点关于已知直线的对称:设这个点为 P（x0，y0）,对称后的点坐标为 P’（x，y） ，则 pp’的斜率与已知直线的斜率垂直，且 pp’的中点坐标在已知直线上。 三、解题指导与易错辨析： 1、解析法（坐标法） ： ①建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标； ②依据代数关系（点在直线或曲线上） ，进行有关代数运算，并得出相关结果； ③将代数运算结果，翻译成几何中“所求或所要证明” 。 y 2、动点 P 到两个定点 A、B 的距离“最值问题” ： ① PA PB 的最小值：找对称点再连直线，如右图所示： ② PA PB 的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边” ；
Aa Bb C A2 B 2
直线 l ： Ax By C 0( A 2 B 2 0) ； .
y 1 y 0 k ( x1 x 0 ) b y 1 k (a x 1 ) ， ②若点(x0 ,y0)不在圆上， 圆心为(a,b)则 联立求出 k 切线方程. （注： R R 2 1
y y1 x x1 ， (其中x1 x2 , y1 y2 ) 将已知两点 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) 直接 y2 y1 x2 x1 x y 1 a b
将已知截距坐标 ( a,0), (0, b) 直接带入即可；
⑤一般式： Ax By C 0 ，其中 A、B 不同时为 0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可
第二种：圆的标准方程—— ( x a) 2 ( y b) 2 r 2 .其中点 C (a, b) 为圆心， r 为半径的 圆 第三种：圆的参数方程——圆的参数方程：
x a r cos （ 为参数） y b r sin
注：圆的直径方程：已知 A( x 1 , y 1 ) B ( x 2 , y 2 ) ( x x 1 )( x x 2 ) ( y y 1 )( y y 2 ) 0 3. 点和圆的位置关系：给定点 M ( x 0 , y 0 ) 及圆 C : ( x a ) 2 ( y b) 2 r 2 . ① M 在圆 C 内 ( x 0 a ) 2 ( y 0 b) 2 r 2 ② M 在圆 C 上 （ x 0 a ) 2 ( y 0 b ) 2 r 2 ③ M 在圆 C 外 ( x 0 a ) 2 ( y 0 b) 2 r 2 4. 直线和圆的位置关系： 设圆圆 C ： ( x a ) 2 ( y b) 2 r 2 (r 0) ； 圆心 C (a, b) 到直线 l 的距离 d ① d r 时， l 与 C 相切； ② d r 时， l 与 C 相交； ， ③ d r 时， l 与 C 相离. 5、圆的切线方程： 2 ①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R . 特别地， 过圆 x 2 y 2 r 2 上一点 P ( x 0 , y 0 ) 的切线方程为 x 0 x y 0 y r 2 .(注:该点在圆上，则切线方程只 有一条)
③ 直线到两定点距离相等，有两种情况： <1> 直线与两定点所在直线平行； <2> 直线过两定点的中点。
圆的方程 1. 定义：一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆，其中定点称 为圆的圆心，定长为圆的半径. 2. 圆的方程表示方法： 第一种：圆的一般方程—— x 半径 r
2
y 2 Dx Ey F 0
①构造直角三角形（数形结合） ； ②斜率 k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系： l1 : y k1 x b1 , l2 : y k 2 x b2 ①相交：斜率 k1 k 2 （前提是斜率都存在） 特例----垂直时：<1> l1 x轴，即k1不存在，则 k 2 0 ； <2> 斜率都存在时： k1 k 2 1 。 ②平行：<1> 斜率都存在时： k1 k 2 , b1 b2 ； <2> 斜率都不存在时：两直线都与 x 轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时： k1 k 2 , b1 b2 ； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程： ①点斜式： y y0 k ( x x0 ) ②斜截式： y kx b ③两点式： 带入即可； ④截距式： 将已知点 ( x0 , y0 )与斜率k 直接带入即可； 将已知截距 (0, b)与斜率k 直接带入即可；
其中圆心 C
D E , ， 2 2
D 2 E 2 4 F . 2 当 D 2 E 2 4 F 0 时，方程表示一个圆，
当 D 2 E 2 4 F 0 时，方程表示一个点 当 D 2 E 2 4 F 0 时，方程无图形.
D E , . 2 2
2 2 2 2
2
2