《概率论》主要内容与方法
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n
9．计算概率的常用公式有哪些？
答：计算概率的常用公式有
（1）古典概型中事件概率的计算公式 （2）几何概型中事件概率的计算公式
P( A)
k
A包含的基本事件数
.
n S中基本事件的总数
P(A) L(A) 图形A的度量 . L(S) 样本空间S的度量
（3）若 A1, A2 ,, An 是两两互斥的事件，则
P(A1 A2 An ) P(A1) P(A2 ) P(An ) .
— IV —
（4）逆事件的概率计算公式 P(A) 1 P(A) .
（5）加法公式 对于任意事件 A 和 B ，有 P(A B) P(A) P(B) P(AB) .
推广 ① P(A1 A2 A3 ) P(A1) P(A2 ) P(A3 ) P(A1 A2 ) P(A2 A3 )
P(A1 A2 An ) P(A1)P( A2 | A1)P(A3 | A1 A2 )P( An | A1 A2 An1) .
n
（8）全概率公式 P( A) P(Bi )P( A | Bi ) . i 1
（9）贝叶斯（Bayes）公式
P(Bi
|
A)
P(Bi )P( A | P( A)
《概率论》主要内容与方法 问答题集锦
—I—
目录
Ⅰ．概率论与数理统计研究的对象是什么？ Ⅱ．概率论与数理统计研究的主要内容是什么？ Ⅲ．概率论与数理统计的主要任务是什么？ 第一章 概率论的基本概念
1．随机事件的本质是什么？ 2．为什么把随机事件定义成样本空间的子集？ 3．事件之间有几种关系？ 4．事件间有几种运算？ 5．概率是什么？ 6．概率的古典定义、几何定义、统计定义和公理化定义有什么联系？ 7．随机事件有两次抽象，指的是什么？其意义何在？ 8．什么是古典概型？如何计算古典概型中事件的概率？ 9．计算概率的常用公式有哪些？ 10．什么是 n 重贝努利试验，计算有关事件概率的方法是什么？ 11．如何使用全概率公式和贝叶斯公式？ 12．对立事件与互斥事件有何联系与区别？ 13．在实际应用中，如何判断两事件的独立性？ 14．两事件 A, B 相互独立与 A, B 互不相容（互斥）这两个概念有何关系？ 15．概率为 0 的事件与“不可能事件”有何区别？有何关系？ 16．什么是“1 概事件”？ “1 概事件”与“必然事件”的关系如何？ 17．什么是“实际推断原理”？它有什么作用？它与小概率事件有什么关系？ 第二章 随机变量及其分布 1．为什么要引入随机变量？ 2．引入随机变量的分布函数有哪些作用？ 3．概率密度函数有哪些性质？ 4．对于概率密度 f (x) 的不连续点，如何从分布函数 F(x) 求得 f (x) ？ 5．为什么说正态分布是概率论中最重要的分布？ 6．常见随机变量的概率分布有哪些？ 第三章 多维随机变量及其分布 1．如何判定一个二元函数是某个随机变量 (X , Y ) 的概率密度？
Bi )
， (i
1,
2, ,
n)
P( A1 A3 ) P( A1 A2 A3 ) .
n
② P(A1 A2 An ) P(Ai ) P(Ai Aj )
P( Ai Aj Ak )
i 1
1i jn
1i jkn
(1)n1 P( A1 A2 An ) .
（6）条件概率计算公式 P(B | A) P( AB) ， (P(A) 0) . P( A)
（7）乘法公式 设 P(A) 0 ，则 P(AB) P(A)P(B | A) .
① 设 A, B, C 为事件，且 P(AB) 0 ，则 P(ABC) P(A)P(B | A)P(C | AB) .
② 设 A1, A2 ,, An 为 n 个事件， n 2 ，且 P( A1 A2 An1) 0 ，则
— II —
2．边缘分布与联合分布的关系如何？ 3．由相互独立的随机变量构成的多维随机变量，它们的联合分布与边缘分布有何
关系？ 4．如何由联合分布确定两个边缘分布？ 5．怎样判别随机变量 X 与 Y 相互独立？ 6．相互独立的正态随机变量的线性组合是否仍为正态随机变量？ 第四章 随机变量的数字特征 1．随机变量的数字特征有哪些？ 2．随机变量的分布与数字特征有何关系？ 3．随机变量的数学期望和方差，在随机变量的研究和实际应用中，有何重要意义？ 4．数学期望有哪些性质？ 5．方差有哪些性质？ 6．常用分布的期望、方差是什么？ 7．相关系数 XY 反映随机变量 X 和 Y 的什么特性？ 8．独立性与不相关有何关系？ 第五章 大数定律及中心极限定理 1．大数定律说明什么问题？ 2．中心极限定理的意义是什么？
① 试验的样本空间 S 只包含有限个元素，即 S {e1, e2 ,, en} ； ② 每个基本事件发生的可能性相同，即 P({e1}) P({e2}) P({en}) .
若要计算古典概型中事件 A 的发生的概率，须先确定试验的样本空间 S 中基本事件总
数 n ，再计ຫໍສະໝຸດ Baidu导致事件 A 发生的基本事件个数 k （即 A 包含的基本事件个数），从而在古典 概型中事件 A 发生的概率为 P( A) k .
— III —
概率论 主要内容与方法问答题集锦
Ⅰ．概率论与数理统计研究的对象是什么？ 答：概率论与数理统计研究的对象是随机问题。
Ⅱ．概率与数理统计研究的主要内容是什么？ 答：概率论与数理统计研究的主要内容是随机变量理论。
Ⅲ．概率论与数理统计的主要任务是什么？ 答：概率论与数理统计的主要任务是从数量侧面研究和揭示随机现象的统计规律性。
第一章 概率论的基本概念
3．事件之间有几种关系？
答：事件之间有四种关系—包含，相等，互斥（或互不相容）和对立（或互为逆事件）.
4．事件间有几种运算？
答：事件间有三种运算—和（或并），积（或交），差。
8．什么是古典概型？如何计算古典概型中事件的概率？
答：具有以下两个特点的试验，称为古典概型（或等可能概型）
9．计算概率的常用公式有哪些？
答：计算概率的常用公式有
（1）古典概型中事件概率的计算公式 （2）几何概型中事件概率的计算公式
P( A)
k
A包含的基本事件数
.
n S中基本事件的总数
P(A) L(A) 图形A的度量 . L(S) 样本空间S的度量
（3）若 A1, A2 ,, An 是两两互斥的事件，则
P(A1 A2 An ) P(A1) P(A2 ) P(An ) .
— IV —
（4）逆事件的概率计算公式 P(A) 1 P(A) .
（5）加法公式 对于任意事件 A 和 B ，有 P(A B) P(A) P(B) P(AB) .
推广 ① P(A1 A2 A3 ) P(A1) P(A2 ) P(A3 ) P(A1 A2 ) P(A2 A3 )
P(A1 A2 An ) P(A1)P( A2 | A1)P(A3 | A1 A2 )P( An | A1 A2 An1) .
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（8）全概率公式 P( A) P(Bi )P( A | Bi ) . i 1
（9）贝叶斯（Bayes）公式
P(Bi
|
A)
P(Bi )P( A | P( A)
《概率论》主要内容与方法 问答题集锦
—I—
目录
Ⅰ．概率论与数理统计研究的对象是什么？ Ⅱ．概率论与数理统计研究的主要内容是什么？ Ⅲ．概率论与数理统计的主要任务是什么？ 第一章 概率论的基本概念
1．随机事件的本质是什么？ 2．为什么把随机事件定义成样本空间的子集？ 3．事件之间有几种关系？ 4．事件间有几种运算？ 5．概率是什么？ 6．概率的古典定义、几何定义、统计定义和公理化定义有什么联系？ 7．随机事件有两次抽象，指的是什么？其意义何在？ 8．什么是古典概型？如何计算古典概型中事件的概率？ 9．计算概率的常用公式有哪些？ 10．什么是 n 重贝努利试验，计算有关事件概率的方法是什么？ 11．如何使用全概率公式和贝叶斯公式？ 12．对立事件与互斥事件有何联系与区别？ 13．在实际应用中，如何判断两事件的独立性？ 14．两事件 A, B 相互独立与 A, B 互不相容（互斥）这两个概念有何关系？ 15．概率为 0 的事件与“不可能事件”有何区别？有何关系？ 16．什么是“1 概事件”？ “1 概事件”与“必然事件”的关系如何？ 17．什么是“实际推断原理”？它有什么作用？它与小概率事件有什么关系？ 第二章 随机变量及其分布 1．为什么要引入随机变量？ 2．引入随机变量的分布函数有哪些作用？ 3．概率密度函数有哪些性质？ 4．对于概率密度 f (x) 的不连续点，如何从分布函数 F(x) 求得 f (x) ？ 5．为什么说正态分布是概率论中最重要的分布？ 6．常见随机变量的概率分布有哪些？ 第三章 多维随机变量及其分布 1．如何判定一个二元函数是某个随机变量 (X , Y ) 的概率密度？
Bi )
， (i
1,
2, ,
n)
P( A1 A3 ) P( A1 A2 A3 ) .
n
② P(A1 A2 An ) P(Ai ) P(Ai Aj )
P( Ai Aj Ak )
i 1
1i jn
1i jkn
(1)n1 P( A1 A2 An ) .
（6）条件概率计算公式 P(B | A) P( AB) ， (P(A) 0) . P( A)
（7）乘法公式 设 P(A) 0 ，则 P(AB) P(A)P(B | A) .
① 设 A, B, C 为事件，且 P(AB) 0 ，则 P(ABC) P(A)P(B | A)P(C | AB) .
② 设 A1, A2 ,, An 为 n 个事件， n 2 ，且 P( A1 A2 An1) 0 ，则
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2．边缘分布与联合分布的关系如何？ 3．由相互独立的随机变量构成的多维随机变量，它们的联合分布与边缘分布有何
关系？ 4．如何由联合分布确定两个边缘分布？ 5．怎样判别随机变量 X 与 Y 相互独立？ 6．相互独立的正态随机变量的线性组合是否仍为正态随机变量？ 第四章 随机变量的数字特征 1．随机变量的数字特征有哪些？ 2．随机变量的分布与数字特征有何关系？ 3．随机变量的数学期望和方差，在随机变量的研究和实际应用中，有何重要意义？ 4．数学期望有哪些性质？ 5．方差有哪些性质？ 6．常用分布的期望、方差是什么？ 7．相关系数 XY 反映随机变量 X 和 Y 的什么特性？ 8．独立性与不相关有何关系？ 第五章 大数定律及中心极限定理 1．大数定律说明什么问题？ 2．中心极限定理的意义是什么？
① 试验的样本空间 S 只包含有限个元素，即 S {e1, e2 ,, en} ； ② 每个基本事件发生的可能性相同，即 P({e1}) P({e2}) P({en}) .
若要计算古典概型中事件 A 的发生的概率，须先确定试验的样本空间 S 中基本事件总
数 n ，再计ຫໍສະໝຸດ Baidu导致事件 A 发生的基本事件个数 k （即 A 包含的基本事件个数），从而在古典 概型中事件 A 发生的概率为 P( A) k .
— III —
概率论 主要内容与方法问答题集锦
Ⅰ．概率论与数理统计研究的对象是什么？ 答：概率论与数理统计研究的对象是随机问题。
Ⅱ．概率与数理统计研究的主要内容是什么？ 答：概率论与数理统计研究的主要内容是随机变量理论。
Ⅲ．概率论与数理统计的主要任务是什么？ 答：概率论与数理统计的主要任务是从数量侧面研究和揭示随机现象的统计规律性。
第一章 概率论的基本概念
3．事件之间有几种关系？
答：事件之间有四种关系—包含，相等，互斥（或互不相容）和对立（或互为逆事件）.
4．事件间有几种运算？
答：事件间有三种运算—和（或并），积（或交），差。
8．什么是古典概型？如何计算古典概型中事件的概率？
答：具有以下两个特点的试验，称为古典概型（或等可能概型）