专题由递推关系求数列的通项公式(含答案)

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专题
由递推关系求数列的通项公式
一、目标要求
通过具体的例题，掌握由递推关系求数列通项的常用方法：
二、知识梳理
求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为熟悉的等差或等比数列。

三、典例精析
1、公式法 ：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式
法。

常用的公式有 a n S 1 S n S
n
1 等差数列和等比数列的通项公式。

例 1
已知数列 { a n } 中 a 1
2 ， s n n 2
+2 ，求数列 { a n } 的通项公式 n 1
及 n 2
评注 在运用 a n s n s n 1 时要注意条件 n 2 ，对 n=1 要验证。

2、累加法： 利用恒等式 a n a 1
a 2 a 1 +......
+ a n a n 1 求通项公式的方法叫累加法。

它是求型如
a
n 1 a n +f n 的递推数列的方法（其中数列 f n 的前 n 项和可求）。

例2已知数列{ a n } 中 a 1 1
a n +
1 ，求数列 { a n } 的通项公式 ， a n 1
2 +3n
2 n 2
评注
此类问题关键累加可消中间项，而
f ( n ）可求和则易得 a n
3 、 . 累乘法 ：利用恒等式 a n
a 1 a2
a 3
a n a n 0 求通项公式的方法叫累乘法。

它是求型如
a 1 a 2
a n 1
a
n 1 g n a n 的递推数列的方法 数列 g n 可求前 n 项积
.
.
例 3已知数列 { a n } 中 s n 1 na n，求数列 { a n} 的通项公式
评注此类问题关键是化
a n
g n ，且式子右边累乘时可求积，而左边中间项可消。

a n1
4、转化法：通过变换递推关系，将非等差（等比）数列转化为等差或等比有关的数列而求得通项公式
的方法称为转化法。

常用的转化途径有：
⑴凑配、消项变
换——如将一阶线性递推公式a n 1 qa n d （ q,
d
为常数， q 0,
q
1 ）通过凑配变
成
an 1 d
a n
d a n
2
a n
1q a n a n = q
q 1
，或消常数项转化为1
q 1
例 4、已知数列
{ a n} 中， a11， a 2a 1 n 2 ，求数列
{ a n} 的通项公式
n n 1
点评：此类问题关键是利用配凑或消项变换将其转化为等比数列
（）倒数变换——如将一阶分式递推公
式a
ca n（ c,d 为非零常数）取倒数
得
1 d 1 1 n 1
2
d a n 1 c a n c
a n
例 5已知数列 { a n } 中，
a11， a n 1
a n
，求数列 { a n} 的通项公式
2a n 1
点评：此类问题关键是取倒数使其转化为一阶线性递推数列然后可用凑配、消项变换。

⑶对数变换——如将一阶分式递推公式 a n 1ca n p a n0,c 0, p 0, p 1 取对数
.
.
可得lg a n 1p lg a n lg c
例 6已知数列 { a n} 中， a110 ， a n0 ，且 a n 110a n2，求数列 { a n } 的通项公式
点评：此类问题关键是取对数使其转化为关于a n的对数的一阶线性递推数列即可用凑配、消项变换
⑷换元变换——如将一阶分式递推公
式a n 1 qa n d n（ q,d 为非零常数， q≠ 1， d≠ 1）
a n 1 q a
n 1 a
n
变换成
d d n d，令 bn d n，则转化为一阶线性递推公式
d n 1
例 7 在数列
{ a n} 中， a1 1 ， a n 13a n +2 n n N *，求数列 { a n } 的通项公式评注：此类问题关键是通过换元将其转化为一阶线性递推公式
5、待定系数法递推公式为a n 2 pa n 1qa n（其中 p，q 均为常数）。

解法：先把原递推公式转化为a n 2 sa n 1t( a n 1 sa n )
s
t p
其中 s， t 满足，再应用前面转化法（ 4）类型的方法求解。

st q
例 8 .已知数列a n 中， a1 1, a2 2 ,
a n 2
2 1 ，求
a n。

a n 1 a
n
3 3
.
.
7、叠代法
例 9 已知数列 a n 的前 n 项和 S n 满足 S n 2a n ( 1) n
, n 1 ．求数列 a n 的通项公式。

8、归纳法 ：由数列前几项用不完全归纳法猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性，
这种方法叫归纳法。

例 10 数列 { a n } 满足 s n 2n a n n N *
,求数列 { a n } 的通项公式
四、实战演练
a52＝ a10,2(an ＋ an ＋ 2)＝ 5an ＋ 1，则数列 { an} 的通项公 1、 [2012 辽·宁卷 ] 已知等比数列 { an} 为递
增数列，且 式为 a n ＝ ________.
2、 在数列 { a n } 中， a 1 3 1 ，求通项公式 a n .
, a n 1
a n
n(n 1)
3、设数列 { a n } 是首项
为 2 2 1 的正项数列，且 (n 1) an 1nan
a n 1a n 0 （ n=1,2,3 ⋯），则它的通 项公式是 a n =▁▁▁
.
4、已知数列 { a n } ，其中 a11, a2 2 ，且当 n≥ 3 时， a n 2a n 1a n 2 1 ，求通项公式a n。

5、设正数列a
0， a1， a n⋯， a n，⋯满足a n a n 2a n 1 a n 2 = 2a n 1( n 2) 且 a0a11，求 { a n } 的通项公式 .
五、能力提升
（逆推法）已知数列a n的前 n 项和 S n与 a n满足： a n ,
S n ,S n1 (n 2) 成等比数列，且 a1
1 ，求数
列
2
a n的前 n 项和 S n
点评：本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列a n的前 n 项和 S n的递推公式，是一种最佳解法
.
由递推关系求数列的通项公式答案
例 1 解：当
n 2 由 a n s n
2
s n 1 = n2 +2- n 1 +2 = 2n 1
当 n 1 时 a1s1 3 不满足故 a n
3,n 1
2n 1,n 2
例 2 解：由 a a + 1
可知 a a
n2
1 1 1
3n 2 n 1 n 2
n 1 n n2 +3n 2 n 1 n
a n a1a2a1
+......+n a n a 1= 1 +1111
....
.. 1
n
1 = n n 2
2 2334n 1 n 1
当 n 1 时也成立。

故有 a n =
n
1
n
例 3解：当 n=1 时由
a1s1 1 a1可得 a1
1
2
由 a n 1s n 1 s n = 1 n 1 a n 1 1 na n可得
a n 1n
a n n 2
a n
a1a2 a3a n = 1 1 2 3n 2 n 1 =1
a1 a2an
1 2345 n n 1 n n 1
当 n=1 时也成立。

故有 a n
=
1
1
n n
例4解法一凑配变换：由 a n2a n 1 1 可得 a 1 2 a 1 ，又 a 1 2 ，故数列a 1 是首项
n n
1 1 n
为 2，公比为2 的等比数列，a n 1 2 2n1，即 a n2n 1
解法二（消项变换）a n2a n 1 1 ①a n 1 2a n1②
② - ①得
a n 1 a n 2 a n a n 1 n 2 ，故数列a n
1a n
是首项为
a2a1 2 公比为
2 的等比
数
列即 a n 1 a n2n，再用累加法得a n2n1
例5解 :由 a n
1a n
可得11 2 即1 1 2
2a n 1 a n 1 a n a n 1 a n
数列1
是以 1 为首
项
2 为公差的等差数
列。

1
=1+2 （ n-1）,即
a n1
1
a n a n2n
例
6解：由 a n0 ，且 a n 110a n2可得 lg a n 1 1 2lg a n，即lg an 1 1 2
lg a n1
.
.
数列 lg
a n
1 是以 lg a 1 1
2 为首项以 2 为公比的等比数
列
lg a n 1 = 2n
即 a n 102n
1
例 7 解：由 a n 3a n +2 n an 1 3 a n 1 an
1 3 a n
1) 令 b n
a n 1
1 可得
2 n 1 2 2 n 2 即 n
1 1(
2 n 2 n 2 2 3
b n n
b
n
1 数列 b n 是以 3 为首项以 3
为公比的等比数列即
b n 3 2
2 2 2
a n
3 n
b n 1= 即 a n 3n
2n
2n
2
例8解：由
2 1 可转化为 a
sa t (a sa ) an 2 an 1 a n n 2 n 1 n 1 n 3 3
s t 2 s 1 s 1
3 即 a n 2 ( s t) a n
1 sta n 1 或 3
st 1 t t 1
3 3
s
1
s
1
这里不妨选用
1（当然也可选用 3，大家可以试一试），则
t
3 t
1
a
n 2 a
n 1 1 a n ) an 1 a n 是 以 首 项 为 a 2 a 1 1，公比为 1 的等比数列,所以
(a n 1 3 3
an 1 a n ( 1 )n
1 ,应用类型 1 的方法，分别令 n 1,2,3, ,( n 1) ，代入上式得 (n 1) 个等式累加之， 3 ( 1) n 1
1 0
1 1 1 1
即 a n a 1 ( ( ( n 2 3 ) ) ) 1
3 3 3 1 3
又 a 1 1 ，所以 a n 7 3 ( 1) n 1。

4 4 3 例 9 解：由 a 1 S 1
2a 1
1 a 1 1
当 n 2 时，有 a n S n S n 1 2( a n a n
1 )
2 ( 1)
n
, a n
2a n 1 2 ( 1)
n 1
,
an 1 2a n 2 2 ( 1) n 2 ,
⋯⋯， a
2
2a 1 2.
a n 2n 1a 1 2n 1 ( 1) 2n 2
( 1)2
2 ( 1)n 1
2n 1 ( 1)n
[( 2)n 1 ( 2)n 2
( 2)] n
1 ( 1)n 2[1 ( 2)n 1
] 2 3
2[ 2n 2 ( 1)n 1]. 3
.
.
经验证 a1 1也满足上式，所以 a n 2 [ 2n 2 ( 1)n 1 ]
2 ( 1)n 1 , 3
a n a
n 1 a n 2
a
n 1 2 方法二、 a n 2a n 1 2 2 2(
( 1)n ( 1)n 1 ( 1)n
3
( 1)n 1
)
3 构造数列 ( a n 2 公比为 -2 首项为 1 的等比数列（以下略）
1)n
3 3
例 10 解：易
求
a 1 1,a 2 3 7
, a 4 15
2n
1 1
，a 3 4 ，由此可猜想 a n 2 n 1 下面用数学归纳法证明： ①当
n
2 8
时，左边 = a 1 21
1 =1，猜想成
立；
1，右边 = 2 1 1
②假设 n=k 时命题成立，即
ak
2k
1 ，那么由已知 s k 2k
a k
①
2k
1
s k 1 2( k 1) a k 1 ②
由② - ①可得 a k 1 2
a
k 1 a k a k
1 a
k = 1 2k
1 2
k 1
1 2
k 1
1
，即当 n k 1 时命题也成立。

1 k = 2 k 2 k 1 1
2 2
由①，②可知命题对任
何
n N *
都成立。

点评： 此类问题关键是利用归纳假设
的
a k 证明 n=k+1 时命题成立。

方法二、
n
1 时 a 1 S 1
2 a 1 a 1 1
n 2 时 1
a n S n S n1 ( 2 n a)n [ 2 (n 1 ) a 1n ]a n 2
1n a
1
可构造等比数列（以下
略）
四、实战演练
1、(公式法 )2n
[解析 ] 本小题主要考查等比数列的概念与性质． 解题的突破口为灵活应用等比数列
通 项变形式，是解决问题关键．
q ＝ 1
或 由已知条件 { an} 为等比数列，可知， 2(a n ＋ an ＋ 2 n ＋ 1? 2(a n ＋ a n 2 n 2
－ 5q ＋2＝ 0?
) ＝ 5a ·q )＝ 5a q?
2q
2 2，又因为 { an} 是递增数
列，
所以 q ＝ 2.由 a 52＝ a 10 得 a 5＝q 5＝ 32，所以 a 1＝ 2， a n ＝a 1q n － 1
＝ 2n
. 2、（累加
法） 解：原递推式可化为： a
n 1 a n 1
1 则 a
2 a 1 1 1 , a
3 a 2 1 1
n n 1 1 2 2 3
a 4
a 3
1 1 ，⋯⋯， a n a
n 1
1 1
1
逐项相加得： a n
a 1 1 1 . 故 a n 4 1 .
3 4n n n n 3、（累乘
法）解：原递推式可化为：
[(
n1)a n 1na n ](a n 1a n )
=0∵ a n 1a n＞ 0，
a n 1 n
a n n 1
.
.
则a2 1 a3 2 a4 3
, ⋯⋯，
a n n 1
逐项相乘得：
a n 1 1 a1
, ,
4 n a1n
，即 a n
= .
2 a2
3 a3
a n
1n
4 、（换元法与累加法的综合）
解由 a
n 2 a a 1 得：(a
n
a
n
1
) (a
n
1
a
n
2
) 1 ，令n
1 n 2
b n 1 a
n a n 1，则上式为 b n 1b n 21
，因此 {b n } 是一个等差数
列，b1a2a1
1 ，公差
为 1. 故
b n
n . 。

由于 b1b2b n
1 a2a1a3a2a n a n 1 a n 1
又 b1b2
b n
1
n(n 1)
2
1
所
以
a n 1
(
1) ，即 5、（换元法与累乘法综合）
解将递推式两边同除以
a n 1 a n
2 整理得：n n
2
a n
2 a n 1
1
a n 1 a
n 2
设 b n = a n，则 b1a1=1， b n2b n 11 ，故有
b n2b n 1 1
a n 1 a0
b n2b n 1 1b n 1 2(b n 1 1) b n 1 是公比为2，首项为 2 的等比数列
∴ b n2n
1 即
a n
= 2
n
1. ∴
a n
(2
n
1)
2
a n
1
a n 1
逐项相乘得： a n =
( 21)2(221) 2(2 n1) 2，考虑到 a0
1 ，
故 a n
1 (n 0)
. ( 21) 2 (221)2(2n1) 2(n1)
a n 1 (n 2n 2)
2
五、能力提升
解：由题
意：S n2a n (S n1),
2
a n S n S n 1
∴ S n2( S n S n1 )(S n 1 )1 (S n 1S n )S n S n 1
2 2
1 1
2 1 1
(n 1)2 2n 1
S n S n S n S1
1
S n
1
. 2n 1
.
. 当 n 1 时a1S1 1
当 n 2 a n S n 2
n 1 时也符合
时S n 1
(2 n 1)(2n 3)
∴ a n
2
(2
n1)(2n 3)
.。