初中数学最值问题典型例题(含答案分析)

考查知识点：1、“两点之间线段最短”

（2、代数计算最值问题 问题原型：饮马问题 造桥选址问题 （完全平方公式 出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型： 条件 问题 方法 中考数学最值问题总结 ,“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平

移”。 3、二次函数中最值问题） 配方求多项式取值 二次函数顶点）

圆、坐标轴、抛物线等。 如下左图， A 、B 是直线I 同旁的两个定点. 在直线I 上确定一点P ，使PA PB 的值最小. 作点 A 关于直线I 的对称点A ，连结A B 交I 于 点P ，贝y PA PB 二AB 的值最小 例1、如图，四边形 ABCD 是正方形，△ ABE 是等边三 角形，M 为对角线BD （不含B 点） 上任意一点，将 BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，

连接 EN 、AM 、CM . (1) 求证：△ AMB ENB ; (2) ①当M 点在何处时，AM+CM 的值最小;

②当 M 点在何处时，AM+BM+CM 的值最小，并说明理由;

(3) 当AM+BM+CM 的最小值为 盯+ 1时，求正方形的边长。

例2、如图13,抛物线y=ax2+ bx + c（a丰（的顶点为（1,4 ）,交x轴于A B,交y轴于D, 其中B 点的坐标为（3,0 ）

（1）求抛物线的解析式

（2）如图14,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小•若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由•

（3）如图15,抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MN// BD,交线段AD于点N,连接MD使厶DN WA BMD若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.

例3、如图1，四边形AEFG与ABCD都是正方形，它们的边长分别为a,b(b >2a

且点F在

AD上(以下问题的结果可用a,b表示)

(1) 求S A DBF ；

(2) 把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转45°得图2,求图2中的S A DBF;

,最小值？

(3) 把正方形AEFG绕点A旋转任意角度，在旋转过程中DBF是否存在最大值

如果存在，试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。

1 2

例4、如图，在平面直角坐标系中，直线y= x+1与抛物线y=ax2+bx _3交于A, B两点，

2

点A在x轴上，点B的纵坐标为3。点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与A, B重合)，过点P作x轴的垂线交直线AB与点C,作PD丄AB于点D

(1)求a, b 及sin. ACP 的值

(2)设点P的横坐标为m

①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；

②连接PB,线段PC把厶PDB分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个

三角形的面积之比为9: 10?若存在，直接写出m值；若不存在，说明理由•

3

例5、如图，OC 的内接△ AOB中，AB=A0=4tan / AOB=_ ,抛物线y =ax2• bx经过点A(4,0)

4

与点(-2,6 ).

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)直线m与O C相切于点A,交y于点D.动点P在线段0B上，从点0出发向点B运动；同

时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒1个单位长，点Q

的速度为每秒2个单位长，当PQ! AD时，求运动时间t的值；

(3)点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ ROB面积最大时，求点R的坐标.

第亞题答案图

例1、证明：（1 ）•••△ ABE是等边三角形, ••• BA=BE，/ ABE=60

•••/ MBN=60 , MBN- / ABN= / ABE- / ABN .即/ MBA= / NBE .又••• MB=NB , AMB ◎△ ENB ( SAS ).( 5 分)

解：

（2）①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM 的值最小.（7分）②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，

AM+BM+CM的值最小.（'、9

分）

理由如下：连接MN，由（1 ）

知，

△ AMB ◎△ ENB , • AM=EN ,

•••/ MBN=60,MB=NB, • •△ BMN是等边三角形. • BM=MN

• AM+BM+CM=EN+MN+CM. （10 分）

根据两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC 最短

•••当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM 的值最小，即等于EC的长.（11 分）

例2、解：(1)设所求抛物线的解析式为： y=a(x-1)2・4，依题意，将点B (3, 0)代

入，得：a(3-1)2・4=0

解得：a =- 1二所求抛物线的解析式为：

y = _(x-1)2・4

(2)如图6，在y 轴的负半轴上取一点I ，使得点F 与点I 关于x 轴对称，

在x 轴上取一点 H ，连接HF 、HI 、HG 、GD 、GE ,贝U HF = HI ............................... ① 设过A 、E 两点的一次函数解析式为：

y = kx + b ( k 丰0),

•••点E 在抛物线上且点 E 的横坐标为2,将x = 2代入抛物线y =-(x -1)2 • 4，得

y 二彳2 -12) 4=3

•••点E 坐标为(2, 3)

又•••抛物线y - -(X-1)2图像分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 、D

2

-(x-1) 4 = 0 ,• x =— 1 或 x = 3

又•••点F 与点I 关于x 轴对称, ••点 I 坐标为(0,- 1)

••• El = JDE 2+DI 2 =丁22 +42 =2^5

又•••要使四边形 DFHG 的周长最小，由于 DF 是一个定值， •只要使DG + GH + HI 最小即可 由图形的对称性和①、②、③，可知， DG + GH + HF = EG + GH + HI

只有当EI 为一条直线时，EG + GH + HI 最小 设过E (2, 3)、I ( 0,— 1)两点的函数解析式为： y =k 1x + D(k 1鼻0),

分别将点E (2, 3)、点I (0，— 1)代入y^Kx+d ，得:

2k 1 b^ = 3

AT

当 x = 0 时，y =— 1+ 4= 3, •点 A (— 1, 0),点 B (3, 又•••抛物线的对称轴为：直线

•••点D 与点E 关于PQ 对称， 0),点 D (0, 3) x = 1,

GD = GE ............ 分别将点A (— 1, 0)、点E (2, 3)代入y = kx + b ,得:

-k b = 0 2k b = 3

解得：k "

lb=1

过A 、E 两点的一次函数解析式为： y = x + 1

•••当 x = 0 时，y = 1 •••点 F 坐标为(0, 1)

• DF =2

\P

•••当 y = 0 时,