同济版高等数学新编课后习题解析

同济版高等数学新编课

后习题解析

GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-

书后部分习题解答

P21页

3．（3）n

n

n b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim （1,1<

知识点：1）等比级数求和)1(1)1(1

2≠--=++++-q q

q a aq

aq aq a n n （共n 项）

2）用P14例4的结论：当1

→n n q

解：n n n b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim

a

b b

b a a n n n --=----=++∞→111111lim 11

5.（1）判断下列数列是否收敛，若收敛，则求出极限：

设a 为正常数，00>x ，)(2

11n

n n x a x x +

=+ 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x n

n n n n =⋅⋅≥+

=+221)(2

11（数列有下界） 又02)(212

1≤-=-+=-+n

n n n n n n x x a x x a

x x x （因a x n ≥+1）（数列单调减少）

由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞

→lim ，对)(2

1

1n

n n x a

x x +

=+两边取极限，得)(21b

a b b +=，解得a b =（负的舍去），故此数列的极限为a .

P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 211)

1()1()]1(1[lim -++--++→x n

x n x n x (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则2

11)1()1(lim -++-+→x n

x n x n x

2

)

1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+=+=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ） 书后部分习题解答2 P36页

8.已知当0→x 时，1cos ~1)1(3

12

--+x ax ，求常数a . 知识点：1）等价无穷小的概念；

2）熟记常用的等价无穷小，求极限时可用等价无穷小的替换定理。

解：由题意：1322

31lim 1cos 1)1(lim

2203

120=-=-=--+→→a x

ax

x ax x x 得23

-=a 或13

2]1)1()1[(2

1

1lim 1

cos 1)1(lim 31

232

22203

1

20=-

=++++⋅--+=--+→→a ax ax x ax x ax x x （根式有理化） P42页3（4）

关于间断点：x

x

x f 1sin

1)(=

0=x 为第二类间断点

说明：x

x x 1sin 1lim 0→不存在（在0→x 的过程中，函数值不稳定，不趋向与∞） P43页7（1）证明方程042=-x x 在)2

1,0(内必有一实根。 知识点：闭区间（一定要闭）上连续函数的根的存在定理

证明：设x x f x 42)(-=，易知，)(x f 在]2

1,0[上连续； （注:设函数，闭区间）

01)0(>=f ，022)2

1(<-=f ，

故由根的存在定理，至少在)2

1,0(内存在一点ξ，使0)(=ξf ，

即方程042=-x x 在)2

1,0(内必有一实根.

P61页

3.设)(0x f '存在，求：

（1）x x x f x f x ∆∆--→∆)()(lim

000

（2）h

h x f h x f h )

()(lim 000--+→

（3）t

x f t x f t )

()3(lim

000

-+→

分析：因)(0x f '存在，则极限x

x f x x f x ∆-∆+→∆)

()(lim

000

的值为)(0x f '。

把（1）（2）（3）化为相应可用极限的形式

解：（1）x

x x f x f x ∆∆--→∆)

()(lim

000

)()()())((lim 0000x f x x f x x f x '=∆--∆-+=→∆ （2）h h x f h x f h )()(lim

000

--+→h

x f h x f x f h x f h )

()()()(lim

00000+---+=→ （3）t x f t x f t )()3(lim

000

-+→)(333)()3(lim 0000x f t

x f t x f t '=⋅-+=→ 8.用导数的定义求⎩⎨

⎧≥+<=0

,)1ln(0,

)(x x x x x f 在0=x 处的导数.（可参看P51例1-2）

知识点：1）导数在一点0x 处的定义：x

x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)

()(lim

)(000

0；

2）点0x 处的左右导数的定义与记号：

左导数x

x f x x f x f x ∆-∆+='-

→∆-)

()(lim

)(0000

右导数x

x f x x f x f x ∆-∆+='+

→∆+)

()(lim

)(0000

3）分段函数在分界点（具体的点）处的导数必须用导数的定义或左右导数的定义做。

解：因0)0(=f （先写出0=x 处的函数值） 又10

lim )0()0(lim

)0(00=∆-∆=∆-∆+='--

→∆→∆-x

x x f x f f x x （在0=x 处的左导数定义）