实变函数证明题大全

1、设',()..E R f x E a e ⊂是上有限的可测函数，证明：存在定义在'R 上的一列连续函数

{}n g ，使得lim ()()..n n g x f x a e →∞

=于E 。

证明：因为()f x 在E 上可测，由鲁津定理是，对任何正整数n ，存在E 的可测子集n E ，

使得1

()n m E E n

-<

， 同时存在定义在1R 上的连续函数()n g x ，使得当n x E ∈时，有()()n g x f x =所以对任意的0η>，成立[||]n n E f g E E η-≥⊂-由此可得

1[||]()n n mE f g n m E E n

-≥≤-<

，因此lim [||]0n n mE f g n →∞-≥=即()()n g x f x ⇒，

由黎斯定理存在{}n g 的子列{}k n g ，使得lim ()()k n k g x f x →∞

=，..a e 于E

2、设()(,)f x -∞∞是上的连续函数，()g x 为[,]a b 上的可测函数，则(())f g x 是可测函数。 证明：记12(,),[,]E E a b =-∞+∞=，由于()f x 在1E 上连续，故对任意实数1,[]c E f c >是

直线上的开集，设11

[](,)n

n n E f c α

β∞

=>=U ，其中(,)n n αβ是其构成区间（可能是有限

个

，

n

α可

能为

-∞

n

β可有为

+∞

）因此

22221

1

[()][]([][])n n n n n n E f g c E g E g E g αβαβ∞

∞

==>=<<=>

测，因此22[],[]n n E g E g αβ><都可测。故[()]E f g c >可测。

3、设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数a ，{|()}E x f x a =>是一开集，而{|()}E x f x a =≥总是一闭集。

证明：若00,()x E f x a ∈>则，因为()f x 是连续的，所以存在0δ>，使任意(,)x ∈-∞∞，

0||()x x f x a δ-<>就有， 即任意00U(,),,U(,),x x x E x E E δδ∈∈⊂就有所以是

开集若,n x E ∈且0(),()n n x x n f x a →→∞≥则，由于()f x 连续，0()lim ()n n f x f x a →∞

=≥，

即0x E ∈，因此E 是闭集。

4、（1）设2121

(0,),(0,),1,2,,n n A A n n n

-==L 求出集列{}n A 的上限集和下限集

证明：lim (0,)n n A →∞

=∞设(0,)x ∈∞，则存在N ，使x N <，因此n N >时，0x n <<，即

2n x A ∈，所以x 属于下标比N 大的一切偶指标集，从而x 属于无限多n A ，得lim n n x A →∞

∈，

又显然lim (0,),lim (0,)n n n n A A →∞

→∞

⊂∞=∞所以lim n n A φ→∞

=若有lim n n x A →∞

∈，则存在N ，使

任意n N >，有n x A ∈，因此若21n N ->时，

211

,0,00n x A x n x n -∈<<→∞<≤即令得，此不可能，所以lim n n A φ→∞

=

（2）可数点集的外测度为零。

证明：证明：设{|1,2,}i E x i ==L 对任意0ε>，存在开区间i I ，使i i x I ∈，且||2

i i

I ε

=所

以

1

i

i I

E ∞

=⊃U ，且1

||i i I ε∞

==∑，由ε的任意性得*0m E =

5、设}{

n f 是E 上的可测函数列，则其收敛点集与发散点集都是可测的。 证： 显然，{}n f 的收敛点集可表示为0[lim ()lim ()]n n x x E E x f x f x →∞

→∞

==

=

1

1

[lim lim ]n n

x x k E f f k ∞

→∞→∞=-<∏. 由n f 可测lim n x f →∞

及lim n x f →∞

都可测，所以lim lim n n x x f f →∞

→∞

-在E 上可测。

从而，对任一自然数k ，1

[lim lim ]n n x x E f f k

→∞

→∞

-<

可测。故 01

1

[lim lim ]n n

x x k E E f f k ∞

→∞→∞==

-<∏ 可测。既然收敛点集0E 可测，那么发散点集0E E -也可测。

6、设q

R E ⊂，存在两侧两列可测集{n A }，{n B },使得n A ⊂ E ⊂n B 且m （n A -n B ）→0，

（n→∝）则E 可测.

证明：对于任意i ，i n n B B ⊂∞

=1

I ，所以 E B E B i n n -⊂∞

=-1

I

又因为 E A i ⊂ ，i i i A B E B -⊂-

所以对于任意i ，)(**1

E B m E B m i n n -≤-∞

=）（I )(*i i A B m -≤)(i i A B m -=

令i →∝ ，由)(i i A B m -→0 得0*1

=-∞

=）（E B m n n I 所以E B n n -∞

=1

I 是可测的又由于n B 可