第三章LS平差的若干问题

0 0 ， W Sij Sij
讨论以下几种情况： 1）当rankB u , rank A s, s u t，则N 满秩，上述方法变成经 典平差中 的附有约束的间接平差 法；
T 网；若A阵换为已知条件系数阵 Gk ，则为经典平差结果。
2）当s d , 而且这d个约束条件的A阵换为附加阵G T , 则为附加阵法平差秩亏 3）该法可用于解决“秩 亏法平差测角网中保持 固定边不变”的问题。 具有 ˆT x ˆ k T k min的几何意义可解释为： 约束的最小范数条件 x 在按V T PV min 求得最佳网形后，网形 通过平移、旋转但不伸 缩后得出所 需结果。
3，最小二乘平差的若干问题
1）顾及起算数据误差影响的平差精度
2）秩亏平差
3 ) 等价观测值
4 ) 广义G_M模型
5 ) 整体最小二乘平差
关于“考虑起算数据误差影响”
1）考虑起算数据误差影响是指只考虑起算数 据的方差阵对平差产生的影响，并未对起算 数据的坐标值进行改动。 2）平差后参数值与不考虑起算数据误差时的 参数值完全一样，而参数精度开始变低，变 得更加符合实际情况。
Rank(Gk ) d u t Rank(G ) r D 2Q
ˆ W G X 0 K k Wk 0 0 K W
式中
法方程为 N G T k T G 令 Gk 0 0
T T N Ax I 0 11 N x Q11 Q12 Q A Q 12 I 0 00 I I Q Q A 0 Q Q A 0 22 21 21 22 x x 所以有： 所以有： T T N11 Q11 A Q21 Q11 0 NQ Ax Q I I , , AxA Q 0 x 21 x 11
W W 0 ,
ˆ B T PL N G X T 0 K W 0 k Gk k T K W 0 G
Gk 0 0
ˆ Q W N 1W ( N G G T ) 1 ( B T PL G W ) X k k k k k k k k
T T T T QX [ I H G ] Q [ I H G ] H Q H ˆ ˆ X k
4, 残差方差的计算
因
T T 1 V B [ I H G ](N Gk Gk ) ( B T PL GkWk ) BH (W 0 ) L
补充：广义逆法平差具有约束的秩亏网
设误差方程和约束条件 为 ˆ l V B x n u u 1 n 1 n 1 ˆ W 0 A x s u u 1 s 1 式中rankB t u, rank A s，s d d u t 在最小二乘原则下，得 法方程 AT 0 B阵秩亏数为d个，现加了s个约束条件，故 N 的秩亏数 d s ˆT x ˆ k T k min，得法方程唯一解为 附加如下条件： x ˆ x B Pl ， k N m W
T
N ˆ AT k BT Pl 0 Nx , 设 u s N u s ˆ Ax W 0 A
N N A
m
A 0
T
N A
A N 0 A
T
A 0
T


参数权逆阵：QX ˆX ˆ
Qx ˆˆ N N N x ˆ Qkx
m m 0 xij 0 Sij
Qx ˆk Qkk
0 xij 0 Sij
如某控制网按秩亏平差 、但其某条边Sij是边长已知时，约束条 件为：
0 0 xij xij A 0 0 0 0 0 0 Sij Sij ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~




3,附合网（将起算数据误差放在非基准条件方程的常数项内）
用附有基准方程的平差法
设平差基准为Gk, 起始数据 r=d+ rλ个, 则有d个基准方程和rλ个非基 准条件方程: ˆ L V BX Rank( B ) t
u u T ˆ Gk X Wk 0 T ˆ G X W 0
T T ˆ B T PL Ax X Ax W 0 0 K W
T ˆ BT PL X Ax 0, 0 K W 1
ˆ N X K Ax
3.2 广义逆法平差秩亏网
广义逆N 的定义式： （N 也称为g逆，是秩亏阵的逆阵， 不唯一） NN N N N 的求法之一：降阶法（ 也称“零 边”法） 广义逆N 的性质：
N （3） N N N N N N (4) N N N N N N


Xk


k

得： ˆ [ I Q ˆ G (G T Q ˆ G ) 1 G T ] X ˆ Q ˆ G (G T Q ˆ G ) 1 (W ) X k 0 X X X X
k k k k T ˆ H (W ) [ I H G ]X k 0 T 1 ， {H Q X ˆ G (G Q X ˆ G ) } k k
1、间接平差模型中考虑起算数据误差影响
ˆ l Bx ˆ ( L BX 0 d ) V Bx 其中d含有起算数据，设为：d K
为起算数据，其精度为Q。则考虑Q 时，有
其中QL, 0,即观测值与起算数据不 相关。
1 T T 1 Qx N B P Q KQ K PBN ˆx ˆ
3.3, 秩亏平差遵循原则
1）设A矩阵的广义逆矩阵为G阵 （1）定义: A( n, m ) 的秩 Rank(A) = r ≤min(n,m), 而矩阵 G 有: __
1 AGA A， 3 AGT AG,
2 GAG G 4 GAT GA
T T T T 所以： Q N Q Q N A A Q Q N Q Q I Q21 11 Q11 所以： Q11 N Q Q N A A Q Q N Q Q I A Q Q 11 11 11 x 21 11 11 x x x x 11 11 11 11 11 11 11 11 xA
T T
NN B

T Pl N m B Pl
Nm 最小二乘最小范数逆， 广义逆的一种，不唯一 。
ˆ 最小二乘最小范数解， x 唯一。 ˆ的精度： x
m
Qx ˆx ˆ N N N

T m
Nm Nm N 唯一。
ˆ唯一，即 证明：N m 不唯一而x ˆ1 x ˆ2 Nm N x 1 m 2，但
秩亏自由网平差的一些特性
ˆ的有偏性 （ 1）参数估计量x ˆT x ˆ min与G T x ˆ 0的等价性（即附加阵法 （2）x 的解和广义 逆法的解完全相等） ˆT x ˆ min 等价于tr Qx （3）最小范数准则 x （即最小方 ˆx ˆ min 差性） ˆ是方差最小的有偏估计 所以，秩亏平差参数估 值x 。方差 最小代表有效性，当有 效与无偏不能同时满足 时，强调 ˆ称为最优有偏估值。 有效性。故x
T QX Qk G (Gk G ) 1 (G T Gk ) 1 G T ˆ k
则
ˆ X ˆ Q (G K G K ) X k k k k
T K k Gk Qk GW (G T Gk ) 1 G T GW ˆ W ) K (G T Q ˆ G ) 1 (G T X
2 T 所以 DVV 0 MQM T BH Q H B T T 1 T M B[ I H G ](N Gk Gk ) B PI
在附合网平差时，由于 基准数据及非基准数据 都存在 起算数据误差，所以平 差前应该先指定基准点 ，再通过在 上一级网中将非基准点 对指定的基准点进行基 准转换，这 样转换后基准点变为无 误差点，所有的起算数 据误差都综 合到了非基准点上，此 时非基准点的起算数据 误差就是D。 然后再进行平差。
T T T B T PL Ax Ax W Q11 Q12 B T PL Ax W Q Q 0 W W 22 21
ˆ Q ( B T PL AT W ) Q W Q B T PL (Q AT Q )(W A ) X 11 x 12 11 11 x 12 x Q11 B T PL (Q11 B T PB Q12 A ) Q12Wx ˆ顾及起始数据的方差时的权逆阵为： 所以，参数X
Ql Q KQ K T


N 1 N 1 BT PKQ K T PBN 1
1 当不考虑Q时，Qx N ；当考虑Q时，平差精度降低。 ˆx ˆ
2,附有条件的间接平差模型中考虑起算数据误差影响
设误差方程与条件方程的常数项中都含有起始数据λ：
ˆ L V BX P Q 1 2 D 1 , t Rank( B ) u ( 多余参数个数） （t：必要观测数， u : 参数个数） ˆ W 0 AX Rank( A ) s u t
x

x
ຫໍສະໝຸດ Baidu
式中 L ,Wk 含有起始数据 , 设： L L B ,
W Wx A 。且QL, 0
的方差为 D 2Q (在某一基准下 )
因
法方程为 N Ax
(
N B T PB, t Rank( N ) u ) N Ax
(2) 一般情况下， N
T － T T T － － T T
(1)
N N
－ T
T
秩亏平差的第二种方法：广义逆法
（第一种方法：附加阵法，本课程第二章介绍）
ˆ BT Pl 0 因N的秩亏，没有唯一解， 法方程 : Nx ˆT x ˆ min 需加最小范数条件： x ˆT x ˆ 2 K T Nx ˆ BT Pl 构造新函数： x ˆ求导后得解：x ˆ NT 对x
T T T QX Q ( Q B PB Q A ) Q ( Q B PB Q A ) ˆ 11 11 12 11 12
而
T T T QL ˆ BQX ˆ B BQ12 A Q A Q12 B T
上述公式推导中，考虑 到： 上列公式推导中，考虑 到：
起算数据误差可由以下几方面原因产生：
1）地面点位本身精度不高。如国家二等补 充网的最弱边相对精度仅为1：40000，点位 精度也较低。 2）几个已知点分属于不同时期或不同单位建 的网中。 3）部分已知点已变形或产生过较大变动。 4）坐标和点位不对应，或点位弄错。
3.1 顾及起算数据误差影响的平差精度