信号与系统滤波器课程设计

《信号与系统》课程设计———模拟巴特沃斯低通滤波器的设计

【设计题目】巴特沃兹滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器的设计

【摘要】主要设计的是低通数字巴特沃兹滤波器，并通过参数设计对比了不同阶数的巴特沃兹滤波器特性能；设计同一要求下的 巴特沃兹滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器低通滤波器，并对他们进行了比较。

【引言】对于频率性选择滤波器，巴特沃兹滤波器是广泛应用的一类连续时间LTI 系统，特别是数字滤波具有精度高、灵活性好的等优势，并可以针对信号处理的要求，通过修改参数来改变滤波器特性。

一个Ｎ阶巴特沃兹滤波器的频率响应的幅值应满足

()()221

1/N c B j j j ωωω=+

通过matlab 中给出的用来模拟巴特沃兹滤波器设计的各种强大函数，预先给定参数——通带边缘频率、阻带边缘频率、通带振幅波动dB 数、阻带衰减dB 数，可以做出相应的的低通滤波器。变化参数，讨论滤波器滤波特性的变化，及滤波效果。

【关键字】巴特沃兹滤波器

【正文】

1.设计一个低通巴特沃兹滤波器满足下列技术指标：

Wp =30 ；Ws = 50 ；Rp =7dB ； Rs = 16dB

其中:

Wp= 以弧度/秒为单位的通带边缘频率; Wp > 0

Ws= 以弧度/秒为单位的阻带边缘频率; Wp >Ws > 0

Rp = 通带中的振幅波动的+dB 数; (Rp > 0)

Rs = 阻带衰减的+dB 数; (Rs > 0)

利用matlab 提供的一个函数Buttord ，

Buttord 的作用是： 计算巴特沃兹滤波器的阶N ，以满足通带频率、阻带频率、振幅波动、阻带衰减等这些参数要求，（calculates the minimum order of a digital or analog Butterworth filter required to meet a set of filter design specifications.）在工程中，因为低阶的滤波器容易实现且较便宜，所以求最低的阶。

Matlab 程序代码：

wp=30;

ws=50;

rp=7;

rs=16;

[n,Wn]=buttord(wp*2*pi,ws*2*pi,rp,rs,'s'); fprintf('\n***BUTTERWORTH FILTER ORDER =%2.0f\n',n)

[b,a]=butter(n,Wn,'s');

[H,Wn]=freqs(b,a); plot(Wn*rs/(2*pi),abs(H)); grid; xlabel('频率/Hz'); ylabel('幅值'); ***BUTTERWORTH FILTER ORDER = 3

一个简单的巴特沃兹滤波器的设计实际上归结于设计滤波器系数[b,a]，即其频率响应的分子分母的系数向量。

这里还采用了两个matlab 里的函数：用于设计滤波器的butter 和用于计算并画出幅度响应的freqs ；

[b,a] = butter (N,Wn,'low') designs a lowpass filter.--低通滤波器 （[b,a] = butter(N,Wn)--带通滤波器；[b,a] =butter(N,Wn,'high') ---用来设计高通滤波器）

Wn 的确定跟采样频率Fs 有关。

画出幅频特性曲线如下：

求得滤波器系数[b,a]向量：

b =

1.0e+006 *

0 0 0 4.9771

a =

1.0e+006 *

0.0000 0.0003 0.0583 4.9771

2.改变滤波器设计参数，分析滤波器性质的变化：

Matlab程序实现如下：

wp=30;

ws=50;

rp=1;

rs=30;

[n,Wn]=buttord(wp*2*pi,ws*2*pi,rp,rs,'s');fprintf('\n***BUTTERWORTH FILTER ORDER =%2.0f\n',n);

[b,a]=butter(n,Wn,'s');

[H,Wn]=freqs(b,a);

plot(Wn*rs/(2*pi),abs(H));

grid;

xlabel('频率/Hz');

ylabel('幅值');

***BUTTERWORTH FILTER ORDER = 9

减小通带幅度波动，同时增大阻带衰减dB数，发现滤波器的阶数变大了，从滤波器原理分析，是滤波器性能提高了。

结论：随着指标要求越高，即通带波动越小，阻带衰减越大，巴特沃斯滤波器的阶数会增加，过渡带会变窄。对滤波器实现的难度也增加了。

3.、切比雪夫I 滤波器设计

巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带和阻带都是频率的单调函数。因此．当通带边界处满足指标要求时，通带内肯定会有余量。因此，更有效的设计方法应该是将精确度均匀地分布在整个通带内，或者均匀分布在整个阻带内，或者同时分布在两者之内。这样，就可用阶数较低的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。

切比雪夫Ι型滤波器幅度平方函数：

222N p 1

w 1C ()w H(jw)=+ε

其中

N:滤波器的阶数

p w 截止频率

ε表示通带波纹大小，ε越大，波纹越大

A、切比雪夫I滤波器设计（指标wp=2*pi*6000;ws=2*pi*12000; rp=3; as=25; ）

wp=2*pi*6000;ws=2*pi*12000; rp=3; as=25;

[n1,wp1]=cheb1ord(wp,ws,rp,as,'s');

[B1,A1]=cheby1(n1,rp,wp1,'s');

k=0:511;fk=0:14000/512:14000;wk=2*pi*fk;

Hk1=freqs(B1,A1,wk);

plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk1)));

xlabel('频率(kHz)','FontSize',16,'FontWeight','bold');

ylabel('幅度（dB）','FontSize',16,'FontWeight','bold');

程序结果

n1 =

3

wp1 =

3.7699e+004

求得滤波器系数[b,a]向量

B1 =

1.0e+013 *

0 0 0 1.3427

A1 =

1.0e+013 *

0.0000 0.0000 0.0001 1.3427

画出幅频特性曲线如下：