通信原理 第2章(基础知识)

H f 2
1
B
Pn f
N0 / 2
B
f0 0
f0
f
f0 0
f0
Pn
Pn
f
df
N0 2
B2
N0B
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f
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2.7 带通信号
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2.7.1 希尔伯特变换
定义：
设 x(t) 为实信号，其希尔伯特变换记为 xˆ(t) 或 H x(t)
正变换： 反变换：
(自学)
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2.1 确知信号
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2.1.1 信号及其基本参数
信号——某个随时间变化的电子或电气物理量，如v(t) 或i(t)，也常常称为波形。
实际物理波形的特点： 1）实的、连续的、峰值有限的 2）存在于有限的时间段内 3）频谱主要集中在某个频带中
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则白噪声通过该滤波器的输出噪声为 n(t) , 被称为带 宽为BHz的（理想）低通白噪声。
H f 2
1
f
B 0 B
Pn f
N0 / 2
f
B 0 B
Pn
Pn
f
df
N0 2
B2
N0B
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2. 带通白噪声
若 h(t) 是单位增益的理想带通滤波器，带宽为 BHz, 则白噪声通过该滤波器的输出噪声为 n(t) , 被称为带 宽为BHz的（理想）带通白噪声。
H ( f ) 2df
0
H f02
Beq
f
当 H f 为低通系统时， f0 0
0
f0
便于计算白噪声通过系统后的噪声功率，
P Beq H f0 2 N0
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(3) 谱零点带宽
null-to-null bandwidth
P f
B0 f2 f1
0
f1 f0 f2
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(5) 99％功率（能量）带宽 energy or power bandwidth 带宽内的功率占总功率的 99% .
B99 f2 f1
PSD
B99 f1
PSD
f0
0
-f1
-f2
f0
f
f1
f2
带通信号
PSD: Power spectral density
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0
f
-f1
自相关函数：
rx
x t x t dt
rx x x X f 2
能量谱密度描述了 x的t 信号能量沿频率轴的分布情况
注意：
rx 0
x t x t dt E
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2. 功率谱密度： 功率型信号
P f lim 1
T 2T
XT f 2
srms nrms
(dB)
（3）基于某个参考电平值来度量某绝对电平
• P相对于 1mw 的分贝功率电平: dBm
P的dBm值
10
log10
实际功率电平P 103
(watts)
30 10 log10 (实际功率电平P (watts))
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P的dBm值
10
log10
X
(
)
F[
x(t)]
x(t)e j t dt
x(t) F 1[ X ()]
1
X ()e j td
2
或者，
X
(
f
)
x(t)
F
F[x(t)] 1[ X ( f )]
x(t)e
X(f
j 2
)e
f tdt
j 2 f t
df
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X ( f ) 称为频谱密度。它通常是复数， X ( f ) e j ( f )
功率谱描述了 x t的 平均功
率沿频率轴的分布情况
P lim 1 T 2T
xT2
(t)dt
lim
T
1 2T
XT ( f
)2
df
P lim 1
T x2 (t)dt
P( f )df
T 2T T
自相关函数：
rx
lim
T
1 2T
T x t x t dt
T
rx P f
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2.5 白噪声
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2.5.1 白噪声
平稳白噪声—— P f N0 或
2
R N0
2
白噪声信号的功率为无穷大，而在不同时刻上彼此间无关。
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2.5.2 低通与带通白噪声
1.低通白噪声
若 h(t) 是单位增益的理想低通滤波器，带宽为 BHz ,
2
f
d
随机信号的功率：
PX
E X 2 t RX 0
PX
f
df
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2. 双边功率谱密度与单边功率谱密度
PX f , f ,
双边功率谱密度
GX f , f 0,
单边功率谱密度 物理功率谱密度
GX
f
2PX 0 ,
f
f,
0
f
0
PX
PX
f
df
0 GX
f
df
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1. 周期信号： v(t) v(t T )
1T
2. 直流分量：
vdc
v(t)
lim
T
2T
v(t)dt
T
周期为T0的周期信号v(t)，
v(t) lim 1 T v(t)dt 1 T0 /2 v(t)dt
T 2T T
T0 T0 / 2
[ ] lim 1 T [ ]dt T 2T T
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信号的带宽：
absolute bandwidth (1) 绝对带宽（所有非零谱的分布范围）
B f1
P f
B f2 f1
P f
f
f1 0 f1
f
0
f1 f0 f2
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(2) 等效矩形带宽
equivalent rectangular bandwidth
实际功率电平P 103
(watts)
比如: 0dBm : 1mW 20dBm : 100mW
23.01dBm : 200mW
• P相对于 1W 的分贝功率电平: dBW • P相对于 1KW 的分贝功率电平: dBK
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2.1.2 傅里叶变换与信号的频谱密度
简记为 x(t) X () 或 x(t) X ( f )
（2）正弦波，Acos(2 ft ) ，则 vrms 0.707 A
基于
vrms 计算功率：
P
v2 rms
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5. 分贝：采用10为底的对数度量功率的相对比值
（1）功率增益：
G
10 log10
Pout Pin
(dB)
20 log10
xo _ rms xi _ rms
P f
Beq
1 P( f0 )
0
P(
f
)df
Beq
P f0
f
当 P f 为低通信号时， f0 0
Байду номын сангаас
0
f0
便于计算信号功率， P 2BeqP f0
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等效噪声带宽（相对于系统）
equivalent noise bandwidth
Hf 2
Beq
1 H( f0) 2
f1
基带信号
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(6) 限定功率谱带宽 bounded power spectral bandwidth
B35dB f2 f1
P f
B35dB f1
P f
f0
0
f0 f
-f1 -f2
f1 f2
条件： 带通信号
P( f0 ) P( f1) 35dB P( f0 ) P( f2 ) 35dB
注意：rx 0 P
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2.1.4 信号的频带与带宽
信号的带宽表示信号的能量或功率的集中分布范围。 系统的带宽表示系统对信号频率的选择性。
baseband signal
基带信号或低通信号—主要能量或功率集中在零频率附近；
bandpass signal
频带信号或带通信号—主要能量或功率集中在某一非零频率附近。 大量的传输信号是频带信号，比如长途与无线通信中的传输信号。
35dB
0
f
-f1 f1
基带信号
P(0) P( f1) 35dB
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2.2 随机信号
（随机过程）
（Random Signal）
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2.2.6 功率谱密度
1. 功率谱密度与维纳—辛钦定理
功率型信号
P lim 1 T x2 t dt T 2T T
2.4.3 平稳随机信号通过系统
平稳信号X(t)输入系统，
Y (t) X (t) h(t) X (t u)h(u)du
X(t)与Y(t)是联合平稳的。
1. 输出的概率特性 如果X(t)是高斯过程，则Y(t)也是高斯过程。 2. 输出的功率谱
PY ( f ) PX ( f ) H ( f ) 2
T T
信号有两种类型：
（1） 功率信号：P 为有限值，而 E 为无穷大；
（2）能量信号：E 为有限值，而 P 0
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rms : root. mean. square.
4. 均方根值： vrms v2 (t)
幅度的一种度量，例如：
（1）直流， v(t) A ，则 vrms A
输入与负载阻值为Ri与RL，则实际增益为，
G
10 log10
v2 o _ rms
v2 i _ rms
/ /
RL Ri
10 log10
io2_ rms RL ii2_ rms Ri
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（2）信号与噪声的功率比
S N
dB
10 log10
Ps Pn
20 log10
X ( f ) 在某个 频率 f0 处的值不为0，表示信号 x(t)含有该
频率成分。
反变换表示信号 x(t) 可以分解为许多不同频率的分量之和。
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2.1.3 能量谱密度与功率谱密度
1.能量谱密度： X f 2
能量型信号
E x2 (t)dt X ( f ) 2 df
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时间平均运算符
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3. 信号的功率
P v2 (t) 或 P i2 (t) R R
“归一化功率”，令 R 1 （欧姆），
x(t)的归一化平均功率： P x2 (t) lim 1 T x2 (t)dt T 2T T
x(t)的归一化能量： E lim T x2 (t)dt x2 (t)dt
H[x(t)] xˆ(t) x(t) 1
t
H 1 xˆ t
xt
xˆ t 1
t
Hilbert 变换器或Hilbert 滤波器：
H(f )
x(t) h(t) 1
xˆ(t) x(t) 1
t
t
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j
H
f
j sgn
f
j
je
j
e 2
2 ,f ,f
0
0
Hf
f
功率型信号一般持续时间无限，不满足绝对可积的条件。
功率谱密度（PSD）： 简称功率谱
PX
f
lim
T
1 2T
E
XT
f
2
功率谱密度是偶函数。
功率谱仅描述了 X t 的平均功率按频率分布的情况
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维纳—辛钦定理：对于平稳随机信号
RX
PX ( f )
RX
(
)e
j
线性系统无失真传输的条件 H f ke j2 f
✓ 幅频响应是平坦的 H f k 常数
✓ 相频响应是频率的线性函数 H f 2 f
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H f 2 f
系统群时延
Tg
f
1
2
d df
H
f
无失真传输要求：Tg f （常数）
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传输函数
功率谱： Py f H f 2 Px f
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2.4.2 无失真传输条件
xt 线性系统 H( f )
yt kxt
So: Y f kX f e j2 f
yt
其中:
k 系统增益
系统延迟
H f ke j2 f H f e jH f
f
f
Hilbert变换器是一个90度的宽带移相器，幅度不变，
正频段移相： 900 ，负频段移相： 900
通信原理
第2章 基础知识
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电子通信系统通过某种电子或电气物理量来传输信息，如 电流、电压、电磁波等，其数学模型是时间的函数，统称为 信号。
2.1 确知信号 2.2 随机信号 2.3 高斯分布与高斯信号 2.4 信号通过线性时不变系统 2.5 白噪声 2.6 噪声中的信号处理 2.7 带通信号 2.8 带通随机信号与噪声 2.9 数字信号及其脉冲调幅信号
GX f PX f
0
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2.4 信号通过线性 时不变系统
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2.4.1 确知信号通过系统
给定冲激响应为h(t)的LTI系统，输入信号x(t)，
输出：
y
t
x
t
h
t
x(t
u
)h(u
)du
频谱： Y f X f H f
频响函数—— H f F ht
f
P f
f
f1 0 f1
B0 f1
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3dB bandwidth （4）3-dB 带宽 (半功率带宽)
B3dB f1
P f
B3dB f2 f1
P f
P0
f
f1 0 f1
P f0
f
0 f1 f0 f2
P
f1
1 2
P
0
P
f
2
P
f1
1 2
P
f
0
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