流体力学例题

p dV 1 d
0.02%
V dp
例 3：
已知：A＝1200cm2，V＝0.5m/s μ1＝0.142Pa.s，h1＝1.0mm
μ2＝0.235Pa.s，h2＝1.4mm 求：平板上所受的内摩擦力 F 绘制：平板间流体的流速分布图及应力分布图 解：（前提条件：牛顿流体、层流运动）
du dy
例 4: 已知：Q＝0.001m3/s，D＝0.01m
例 5：动量方程
Hw 吸＝1m，hw 排＝25m 求：H＝？pB＝？N 泵＝？ 解： 取 1－1、2－2 断面列伯努利方程：
H (z2 z1 ) hw 32mH 2O
取 1－1、B 断面列伯努利方程：
0
0.7
pB
V2 2g
hw吸
Q VA V 12.74m / s
2r2 (
z)
(a 2r02
)
所以
2g
2g
当 z＝0 时：
p 2r 2 (a 2r02 )
2g
2g
它是一旋转抛物方程：盖板上静压强沿径向按半径的二次方增长。
而
P
pdA
R
p 2rdr
R
2r2
(a 2r02
) 2rdr
0
A
0
0 2g
2g
所以
R 0
tg a
等压面与 x 轴方向之间的夹角
g
pA
hA
H
tg
L 2
17755
Pa
pB
hB
H
tg
L 2
5760 Pa
例 2： （1）装满液体容器在顶盖中心处开口的相对平衡
分析：容器内液体虽然借离心惯性力向外甩，但由于受容器顶限 制，液面并不能形成旋转抛物面，但内部压强分布规律不变：
V1 代入②式：
2g
（忽略δ/2）
所以： Q A1 V1 A2 V2 8.23L / s
p3 1.5 Hg h
h p3 1.5 3.898 9800 1.5 9800 0.396m 396mm
Hg
13.6 9800
例 2－4: 流动吸力
图示为一抽水装置，利用喷射水流在吼道断面上造成的负压，可将 M 容器中的积水抽出。 已知：H、b、h（不计损失）， 求：吼道有效断面面积 A1 与喷嘴出口断面面积 A2 之间 应满足什么样的条件能使抽水装置开始工作？ 解：以 1－1 为基准面，列 0－0、1－1 断面的能量方程：
y 方向： Ry p2 A2 Q(V2 0)
所以， Rx 3663 N
Ry 958 N
R
Rx2
R
2 y
3786N
arctg Ry 14.66 Rx
所以，水流对弯管壁的作用力为 F 的反作用力 F`，大小相等，方向相反。 第四章 流动阻力和水头损失 例 1: 在圆管层流中，沿壁面的切应力τ0 与管径 d、流速 V 及粘性系数 µ 有关，用量纲分析法 导出此关系的一般表达式。 解：n＝4，应用雷利法，假设变量之间可能的关系为一简单的指数方程：
所以
19.6
h 8.18 0.649 m 649 mm Hg
例 2-3: 毕托管原理
水从立管下端泄出，立管直径为 d＝50mm，射流 冲击一水平放置的半径 R＝150mm 的圆盘，若水 层离开盘边的厚度 δ＝1mm 求：流量 Q 及汞比压计的读数Δh。水头损失不 计。 分析：
1－1： p1（＝0）， V1（？）， z1（√） 2－2： p2（＝0）， V2（？）， z2（√） 3－3： p3（ ？）， V3（＝0）， z3（√）（驻 点） 每点都有一个未知数，可对任何两点列方程。 解： 以圆盘为基准面，列 1－1、2－2 两断面的能量方程：
）
例 2:
p 已知液体在管路中流动，压力坡度 L ，与下列因素有关：ρ，V，D，µ，Δ。
试用因次分析方法确定变量间的函数关系式，并得出计算 hf 的公式
p f D, , ,V ,
解：（1） L
p L
[ML2T
2
]
；
D
[L]
；
[ML3
]；
[ML1T 1 ] ； V [LT 1 ] ； [L]
3 0 V12 0 V22
2g 2 2g
①
列 1－1、3 点的能量方程：
3 0 V12 0 p3 0
2g
②
据连续性方程：
Q
1 d 2 4
V1
2R
V2
③
③代入①式：
V2 2
6g
1
64R 2 d4
2
76.4m2 / s 2
V2＝8.74m/s, V1=4.196m/s
p3 3 V12 3.898 m
h p0 14700 1.5m
9800
相当
于液面下移 1.5m，如图示虚构液面
则左侧： P1 hc A 9800 2 1 1.2 2 70560 N
1.2 23
hD1
hc
Jc hc A
2
1
12 31.2
2
3
0.11
3.11m
压力中心距 A 点：3.11－2＝1.11m
右侧：
0 kd xV y z （k 为实验系数）
按 MLT 写出因次式为：[ML1T 2 ] [L]x [LT 1 ] y [ML1T 1 ]z
对因次式的指数求解 对于 M： 1＝z
L：－1＝x＋y－z T：－2＝－y－z 所以 x＝－1，y＝1，z＝1
0
代入函数式得：
K
V d
0
（实验已证实：
8 V d
第一章 流体及其主要物理性质 例 1： 已知油品的相对密度为 0.85，求其重度。
解： 0.85 0.85 9800 N / m3
例 2： 当压强增加 5×104Pa 时，某种液体的密度增长 0.02%，求该液体的弹性系数。
解： M V dM Vd dV 0
V dV d
E 1 1 dp 1 5104 2.5108 Pa
2g
p1 p2 z h V22 V12
2g
又
V1
Q A1
4 0.1 3.14 0.32
1.42m / s
，
V2
Q A2
4 0.1 3.14 0.12
12.74m / s
由等压面 a－a 得压强关系： p1 z p2 Hg h
则 p1 p2 Hg h z
Hg h z z h 12.74 2 1.42 2
（2）选 ρ， V， D 为基本的物理量 （3）建立 3 个无因次π项
1 V a1 b1 Dc1
h2
h3 0 0
0
p0
0
p0
h2
h3
以 2－2 断面为基准面，列 2－2、4－4 两断面的能量方程：
0
p0
0
h2
h1
0
V42 2g
所以，
V4
2g
p0
2gh2
h1
2gh2 h3 h2 h1
2 9.8 2.5 0.3 6.57m / s
h V42 2.20m ② 2g
h p1 V12 2g
以 0`－0`为基准面，列 1－1、2－2 断面的能量方程：
H h p1 V12 V22
பைடு நூலகம்g 2g p1 b
要使抽水机工作：
则：V1 2gh b, V2 2gH
又因为： A1 V1 A2 V2
A1 V2 H
所以： A2 V1
hb
例 3：水头线（局部损失不计）
pB 9.8 104 Pa N泵 QH 9800 0.001 32 313.6W
已知：一个水平放置的 90º弯管输送水 d1＝150mm，d2＝75mm p1＝2.06×105Pa，Q＝0.02m3/s
求：水流对弯管的作用力大小和方向（不计水头 损失） 分析：
1－1： p1（√）， V1（可求）， z1（√） 2－2： p2（？）， V2（可求）， z2（√）
解：据公式 dp (Xdx Ydy Zdz)
坐标如图，则 X 2 x ，Y 2 y ， Z g
p (2r2 z) C
代入上式积分：
2g
（*）
由题意条件，在 A 点处：r＝r0，z＝0，p＝γa
a ( 2r02 0) C
则
2g
C (a 2r02 )
所以
2g
p
0.62 4
9800 1.008 0.33912 13201.8N
第三章 流体运动学与动力学基础 例 1：
u u y
x
xt y
t
已知： uz 0
求：t＝0 时，A（－1，1）点流线的方程。
dx dy 解： x t y t
积分：ln(x+t)=-ln(-y+t)+C → (x+t) (-y+t)=C` 当 t＝0 时，x＝－1，y＝1，代入上式得： C`＝1 所以，过 A（－1，1）点流线的方程为：xy＝－1 例 2、伯努利方程式的应用实例 例 2－1 : 一般水力计算问题 有一喷水装置如图示。已知 h1＝0.3m，h2＝1.0m，h3＝2.5m，求喷水出口流速，及水流喷 射高度 h（不计水头损失）。 解：① 以 3－3 断面为基准面，列 1－1、3－3 两断面的能量方程：
p (2r2 z) C 2g
利用边界条件：r＝0，z＝0 时，p＝0
p 2r2
作用于顶盖上的压强：
2g （表压）
（2）装满液体容器在顶盖边缘处开口的相对平衡
压强分布规律：
p (2r2 z) C 2g
边缘 A、B 处：r＝R，z＝0，p＝0
C 2 R 2 2g
p 2 R 2 r 2
作用于顶盖上的压强：
2g
例 3： 已知：r1，r2，Δh
所以
0
2gh r2 2 r12
求：ω0 解：
0 2 r12 2g
zs1
0
（1）
02r22 2g
zs2
0
（2）
因为 zs1 zs2 h
例4
已知：一圆柱形容器，直径 D＝1.2m，完全充满水，顶盖上在 r0＝0.43m 处开一小孔，敞开 测压管中的水位 a＝0.5m，问此容器绕其立轴旋转的转速 n 多大时，顶盖所受的静水总压力 为零？ 已知：D＝1.2m，r0＝0.43m，a＝0.5m 求：n
P2
ohc A
8.33
2 2
2 1.2
19.992KN
1.2 23
hD2
hc
Jc hc A
1 12 11.2 2
1.33m
设在 B 点加水平力 F 使闸门 AB 平衡，对 A 点取矩 ∑ MA＝0
即
P1hD1 P2 hD2 F AB
F 70.561.1119.9921.33 25.87KN 2
例 6： 一示压水箱的横剖面如图所示，压力表的读数为 0.14 个大气压，圆柱体长 L＝1.2m，半径 R＝0.6m 求：使圆柱体保持如图所示位置所需的各分力（圆柱体重量不计）。
水平分力：→
解：
Px hc Ax 9800 1.7 0.6 1.2 11995 .2N
垂直分力：↑
Pz
V压
9800 1.4 0.6 1.2 1.2
1
2
1
V
h1
u
2
u0 h2
因为 τ1＝τ2
所以
1
V u h1
2
u h2
u 1h2V 0.23m / s 2h1 1h2
F
1A
V u h1
4.6N
第二章 流体静力学
例 1：
ax gzs 0
如图，汽车上有一长方形水箱，高 H＝1.2m，长 L ＝4m，水箱顶盖中心有一供加水用的通大气压孔， 试计算当汽车以加速度为 3m/s2 向前行驶时，水箱 底面上前后两点 A、B 的静压强（装满水）。 解： 分析：水箱处于顶盖封闭状态，当加速时，液面不 变化，但由于惯性力而引起的液体内部压力分布规 律不变，等压面仍为一倾斜平面，符合
2r3
2g
(a
2 r0 2 2g
)rdr
0
即
2
2g
r4 4
(a 2r02 ) r 2 2g 2
R 0
0
2 R 2 2 2r02 4ga 0
则
4ga 2r0 2 R 2
所以
n 1 2 2
4ga 2r0 2 R 2
代入数据得：n＝7.118 转/秒
例 5：
闸门宽 1.2m，铰在 A 点，压力表 G 的读数为－14700Pa，在右侧箱中装 有油，其重度γ0＝8.33KN/m3，问 在 B 点加多大的水平力才能使闸门 AB 平衡？ 解：把 p0 折算成水柱高：
例 2－2: 节流式流量计
已知：U 形水银压差计连接于直角弯管， d1＝300mm，d2＝100mm，管中流量 Q＝100L/s 试问：压差计读数Δh 等于多少？
（不计水头损失）
解：以 0－0 断面为基准面，列 1－1、2－2 两断面的
能量方程：
0 p1 V12 z h p2 V22
2g
Q 4Q
V1
解：
A1
d12
1.132 m / s
V2
Q A2
4Q
d
2 2
4.527 m / s
取 1-1、2-2 两断面列伯努利方程
p1 V12 p2 V22 2g 2g
所以，
p2
p1
2
V12 V22
1.964105 Pa
对选取的控制体列动量方程：
x 方向： p1 A1 Rx Q(0 V1 )