第九章 联立方程组模型

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结构方程识别的秩条件
秩条件是对应结构方程是否可识别的一个充分必要条件
rank ( A 0 , B 0 ) = G − 1 秩条件成立，对应的结构方程一定可识别 rank ( A 0 , B 0 ) ≠ G − 1 秩条件不成立，对应的结构方程一定不可识别
结构模型的一般形式
It Tt Yt
−a1 −b1 −c1 1
Ct
Yt −1 Gt
0 −b2 0 0
Xt
结构参数矩阵
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1 0 −a2 0 1 0 A B) = ( 0 0 1 −1 −1 0
0 − a0 0 −b0 0 −c0 −1 0
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第九章 联立方程组模型
联立方程组模型的概念 联立方程组模型的分类 联立方程组模型的识别及识别条件 联立方程组模型的估计 案例分析
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联立方程组模型的概念
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联立方程模型定义
不论结构方程是否可识别，是恰好识别还是过度识别，简化 方程都可以直接运用OLS方法估计参数，并据此进行经济预 测、经济结构分析等，它反映了前定变量对内生变量的总影 响
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结构模型一般形式
Ay t + Bxt = ε
y t = (Y1t , Y2t ,L , Ymt ) ' εt = ( ε1t , ε 2t ,L , ε mt ) '
内生变量组成的向量 前定变量组成的向量 随机项组成的向量
B)
xt = ( X 1t , X 2t ,L , X kt ) '
秩条件不成立
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Q rank ( A 0 , B 0 ) = 2 p G − 1
消费方程不可识别
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联立方程组模型的估计
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间接最小二乘法
对某个恰好识别结构方程，其待估的结构参 数可以通过简化模型的简化参数和参数关系 式来唯一确定。这种利用简化参数估计值和 参数关系式来求得结构参数估计值的估计方 法为间接最小二乘法。
虚拟变量 结构方程
描述经济变量间直接影响关系的模型
例1
Ct
It
Yt
Yt −1 Gt
0 −b2 0
Xt
1 0 − a1 0 1 −b 1 −1 −1 1
0 −a0 0 −b0 −1 0
结构参数矩阵
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阅读课本P208阅读课本P208-210
注意 结构参数和简化参数之间关系 利用简化参数的最小二乘估计量和参数关系 所得到的结构参数估计量虽然仍是有偏的， 但具有一致性
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联立方程组模型的识别及识别条件
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模型中方程分类
随机方程式（行为方程式） 方程中含随机项和未知参数 非随机方程式（定义方程式） 方程中不含随机项和未知参数
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例1
Ct = a0 + a1Yt + ε1t I t = b0 + b1Yt + b2Yt −1 + ε 2t Yt = Ct + I t + Gt
外生变量 内生变量 前定变量
考虑一个简化的凯恩斯宏观经济模型 消费方程 投资方程 收入方程 其中：
Ct It Yt Gt
——t期的消费额 ——t期的投资额 ——t期的国民收入 ——t期的政府支出额
收入方程是非随机方程式
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20112011 Y t −-21-20 ——t-1期的国民收入
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结构方程识别的秩条件步骤
写出结构模型对应的结构参数矩阵 ( A B ) 删去第i 删去第i个结构方程对应系数所在的一行 删去第i 删去第i个结构方程对应系数所在的一行中非零系数 所在的各列 对余下的子矩阵 ( A 0 , B0 ) ，如果其秩等于G-1，则称 ，如果其秩等于G 秩条件成立，第i 秩条件成立，第i个结构方程一定可识别；如果其秩 不等于G ，则称秩条件不成立，第i 不等于G-1，则称秩条件不成立，第i个结构方程一 定不可识别
结构参数的间接最小二乘估计量具有的性质：小样本 下有偏，大样本下一致。而其普通最小二乘估计量则 是有偏和不一致的
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工具变量法
工具变量法指通过利用合适的前定变量替代 结构方程中的内生变量，以降低解释变量与 随机误差项之间的相关程度，再利用普通最 小二乘法来估计参数 工具变量须满足：与所替代的内生变量高度 相关；与随机误差项不相关；与其它解释变 量之间的多重共线性程度低；同一结构方程 中多个工具变量间的多重共线性程度低 工具变量法既适用于恰好识别的结构方程， 也适用于过度识别的结构方程 工具变量估计量具有的统计性质：小样本有 偏，大样本一致 20112011-2-20 24
结构模型的一般形式
y t = − A −1Bxt + A −1εt 由上式可得 y t = Cxt + ηt
简化参数矩阵与结构参数矩阵关系
C = − A −1B
简化方程中，只有前定变量作为解释变量，它与随机项不 相关，简化参数的最小二乘估计量具有无偏性和最小方差性
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K − M i = G − 1 若第i个结构方程可识别，则为恰好识别 K − M i f G − 1 若第i个结构方程可识别，则为过度识别 K − M i p G − 1 阶条件不成立，第i个结构方程不可识别
阶条件是对应结构方程可识别的一个必要条件
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秩条件可判别结构方程是否可识别，但不能确定是恰好 识别还是过度识别
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P215例 P215例5
某个简化的凯恩斯宏观经济模型 Ct = a0 + a1Yt + a2Tt + ε1t 消费方程 I t = b0 + b1Yt + b2Yt −1 + ε 2t 投资方程 税收方程 Tt = c0 + c1Yt + ε 3t 收入方程 Yt = Ct + I t + Gt
结构参数矩阵 ( A
a11 a A = 21 M am1
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a12 a22 M am 2
L a1m L a2 m O M L amm
b11 b12 b 21 b22 B= M M bm1 bm 2
L b1k L a2 k O M L bmk
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上例（续）
K = 7 结构参数矩阵列数，为结构模型的变量总数 G = 4 结构参数矩阵行数，为结构模型的方程个数
消费方程识别情况 阶条件成立 结构参数矩阵中第一行的非零元素个数
M1 = 4
Q K − M1 = G − 1 = 3
1 −b2 ( A0 , B0 ) = 0 0 −1 0 0 0 −1
可识别的等价定义
结构方程与结构模型中的全部结构方程的任 意线性组合具有不同的统计形式，即含有不 完全相同的内生变量或前定变量，则称该结 构方程可识别；否则，称为不可识别。 如果模型中存在不可识别的结构方程，那么 就需要修改模型，使模型中每个结构方程都 是可识别的，才能进行参数估计。
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Ct + 0 I t − a2Tt − a1Yt + 0Yt −1 + 0Gt − a0 X t = ε1t 0Ct + I t + 0Tt − b1Yt − b2Yt −1 + 0Gt − b0 X t = ε 2t 0Ct + 0 I t + Tt − c1Yt + 0Yt −1 + 0Gt − c0 X t = ε 3t −Ct − I t + 0Tt + Yt + 0Yt −1 − Gt + 0 X t = 0
含有两个以上方程的模型 每个方程描述变量间的一个因果关系
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变量类型
内生变量 由模型系统决定其取值的变量 外生变量 由模型系统以外的因素决定其取值的变量 前定变量 内生变量的滞后值与外生变量
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结构方程识别的阶条件
对结构模型中的第i个结构方程，记K 对结构模型中的第i个结构方程，记K为结构模型中 M 为第i 内生变量和前定变量的总个数， i为第i个结构方程 中内生变量和前定变量的总个数，G 中内生变量和前定变量的总个数，G为结构模型中 内生变量及结构方程的个数，当 K − M i ≥ G − 1 时， 阶条件成立。
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参数估计问题
结构方程中有内生变量作为解释变量，参数 的最小二乘估计量是有偏的，这种偏倚称为 联立方程偏倚 结构方程中若没有内生变量作为解释变量， 则参数的最小二乘估计量是无偏的
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简化模型
Ay t + Bxt = ε t
联立方程组模型的分类
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结构模型
Ct + 0 I t − a1Yt + 0Yt −1 + 0Gt − a0 X t = ε1t 0Ct + I t − b1Yt − b2Yt −1 + 0Gt − b0 X t = ε 2t −C − I + Y + 0Y − G + 0 X = 0 t t t t −1 t t
例
某种农产品的市场局部均衡模型 需求方程 Dt = a0 + a1 Pt + a2Yt + ε1t 供给方程 St = b0 + b1 Pt −1 + b2Wt + ε 2t 均衡方程 Dt = St
这里内生变量为： Dt , St , Pt 外生变量为： Yt , Wt Yt ,Wt , Pt −1 前定变量为： 结构参数矩阵为？
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P219例 P219例6
联立方程模型
Y1t = a1 X 1t + a2 X 2t + a3Y2t + ε1t Y2t = b1 X 3t + b2Y1t + ε 2t
选 X 3t 作 Y2t 工具变量
选 X 1t 作 Y1t 工具变量
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20112011-2-20 i
e 无需计算出
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TSLS统计性质 TSLS统计性质
有偏性，一致性
对于过度识别的结构方程，运用TSLS 对于恰好识别的结构方程，用间接最小二乘法
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例6
P221P221-2224 第一个方程恰好识别，第二个方程过度识别 第一个方程。应用间接最小二乘法估计参数 第二个方程。应用两阶段最小二乘法估计参 数
识别情况
恰好识别
通过简化模型的参数估计值和参数关系式可得到结构 方程的参数估计值的唯一解，称结构方程恰好识别
过度识别
通过简化模型的参数估计值和参数关系式可得到结构 方程的参数估计值的多个解
不可识别
通过简化模型的参数估计值和参数关系式不能得到结 构方程的参数估计值
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两阶段最小二乘法
当可供选择的工具变量多于作为解释变量的内 生变量时，工具变量的选取具有一定随意性， 且选择不同的工具变量会得到不同的参数估计 值 两阶段最小二乘法是把全部前定变量的线性组 合作为工具变量。具体步骤为：
对作为解释变量的内生变量Yi 的简化方程应用普通最小二乘 ˆ 估计得估计量 Yi ˆ 将 Yi = Yi + ei 代入被估计的结构方程右边，代替作为解释变量 的内生变量 Yi ，再次运用普通最小二乘法，得到结构参数的 估计值