联立方程计量经济模型

第十章联立方程计量经济模型教学要求及目的：1、了解联立方程模型产生的背景2、识记联立方程模型的基本概念及类型3、理解联立方程模型的识别条件4、重点掌握联立方程模型的参数估计第一节联立方程模型的概念一、联立方程模型的问题提出我们在研究经济问题时，经常用到经济数学模型，即用数学表达式来模拟、描述经济活动，揭示其本质的规律。

计量经济学模型就是我们常用的一种经济数学模型。

在前面的学习中，讨论了单方程计量经济学模型，只能描述经济变量之间的单向因果关系，即若干解释变量的变化引起被解释变量的变化。

但经济现象是错综复杂的，其中诸因素之间的关系在很多情况下，不是单一方程模型所描述的简单的单向因果关系，而是相互依存的交错的双向或多向因果关系。

如某一农产品的价格，影响着对该农产品的需求和供给；同时，市场对该农产品的需求和供给又影响着该农产品的价格。

为了描述变量之间的多向因果关系，就需要建立由多个方程组成的联立方程模型。

又如，研究消费函数时，一般认为消费是由收入决定的；但从社会再生产的动态过程来看，消费水平的改变又会导致生产规模的变化，进而影响收入，所以消费又决定收入。

因此利用单方程模型很难完整、准确地反映经济系统内的这种复杂关系，只有将多个方程有机地组合起来才能合理地进行经济问题的描述。

联立方程模型就是由多个相互联系得单一方程组成的方程组。

由于其包含的变量和描述的经济关系较多，所以能够较为全面地反映经济系统的运行规律。

在联立方程模型中，每个都描述了变量间的一个因果关系，所描述的经济系统中有多少个因果关系，联立方程模型中就对应有多少个方程。

从上面分析来看，就提出了这样一个问题：必须发展新的方法来估计联立方程计量经济学模型，这就从计量经济学方法上提出了联立方程模型问题。

二、联立方程模型中的几个基本概念（一）变量在联立方程模型中，某些变量可能是一个方程中的解释变量，同时又是另一个方程中的被解释变量。

为了明确起见，需要对变量重新进行分类。

1． 内生变量内生变量是具有某种概率分布的随机变量，它的参数是联立方程系统估计的元素。

内生变量受模型系统中其他变量的影响，也可能影响其他变量。

它一般是被解释变量（在其他方程中也可作为解释变量），且是模型求解的结果。

建模时往往要求模型中的方程个数等于内生变量的个数。

一般情况下，因为0),(≠i i Y COV μ，内生变量Y 变量满足：0),(≠i i Y E μ。

由于内生变量是随机变量，如果它在某个方程中作为解释变量，则该方程就存在随机解释变量问题，方程中参数的最小二乘估计量一般是有偏的和不一致的，此时最小二乘法不是一个好的参数估计方法。

2． 外生变量由模型系统以外的因素决定其取值的变量称为外生变量，或者是没有概率分布的确定变量，或者是具有临界概率分布的随机变量，它不受模型系统的影响，但它对模型系统有影响。

在联立方程组模型中，必须事先给定外生变量值，才能求出内生变量的值。

外生变量可分为政策性外生变量和非政策性外生变量。

政策性外生变量，如税率、利率、货币供给量、政府支出等；非政策性外生变量，如时间趋势、自然条件等。

一般情况下，外生变量X 满足0),(≠i i Y E μ。

3． 预定变量（前定变量）外生变量和滞后变量统称为预定变量。

滞后变量包括内生滞后变量和外生滞后变量。

在联立方程模型中由于外生变量的值在模型求解之前给定，滞后变量则取前期的历史值，所以前定变量都作为解释变量。

如果某个方程中只有预定变量作为解释变量，解释变量中没有内生变量，则该方程中参数的最小二乘估计量具有无偏性和最小方差性。

（二）方程联立方程模型中的方程按照时否包含随机项可分为两类。

方程中含有随机项和未知参数的称为随机方程式，随机方程式中的参数需要估计；方程中不含有随机项和未知参数的称为非随机方程式，非随机方程式不需要估计参数。

1． 技术方程技术方程是根据客观经济技术关系建立的方程，它也称为随机方程。

比如：生产函数方程就是反映在一定生产技术条件下，生产要素投入量与产出量之间技术关系的方程。

2． 行为方程行为方程是解释或描述居民、企业团体和政府的经济行为的方程。

这类方程都带有随机误差项，也称为随机方程。

3． 定义方程由它定义某一经济变量与其他经济变量的恒等关系。

这类方程中既没有未知参数，也没有随机误差项。

4． 平衡方程平衡方程表示经济系统均衡或平衡状态的恒等关系式。

与定义方程一样，它不含未知参数和随机误差项。

5． 制度方程式制度方程式是指与法律、法令、规章制度有直接关系的经济数量关系式，有随机项，含有未知参数，如税收方程式。

例如，在一个由国民收入Y 、消费C 、投资I 、政府支出G 等变量构成的简单的宏观经济系统中，对这些变量之间的关系用经济数学模型来进行描述。

⎪⎩⎪⎨⎧++=+++=++=-t t t tt t t t t t t G I C Y u Y b Y b b I u Y a a C 21210110 （10-1） 从上面的模型来看，内生变量包括：国民收入Y 、消费C 、投资I ；外生变量包括：前期国民收入1-t Y 和政府支出G 。

消费方程和投资方程为随机方程式，而收入方程为非随机方程式。

三、联立方程模型的分类（一）模型的结构式1、定义依据经济理论直接设定的描述经济变量关系结构的联立方程组模型形式称为结构式模型。

结构模型是在对经济变量的影响关系进行理论分析基础上建立的，反映了内生变量直接受预定变量、其他内生变量和随机项影响的因果关系。

模型中的每个随机方程的被解释变量不仅是内生变量，而且还是由其他变内生变量、前定变量和随机误差项所表示的变量，这种方程称为结构方程，各结构方程的参数称为结构参数。

在结构模型中，结构参数表示每个解释变量对被解释变量的直接影响，参数的符号表示影响的方向，其绝对值表示这种直接影响的大小程度。

式（10-1）就是结构模型。

现在我们学习联立方程模型结构式的一般形式。

把结构方程中所有观测变量的项移到左边，用Y 表示内生变量，β表示内生变量的结构参数，X 表示预定变量，γ表示预定变量的结构参数，结构模型的一般形式可写作：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++++=++++++gt gt gk t g t g gt gk t g t g t kt k t t ht h t t t kt k t t ht h t t u X X X Y Y Y u X X X Y Y Y u X X X Y Y Y γγγβββγγγβββγγγβββΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ22112211222221212222121112121111212111 （10-2） 模型(10-2)中有g 个内生变量t Y 1,t Y 2，…，gt Y ；k 个预定变量t X 1,t X 2，…，kt X ；g 个结构方程。

it u ，i=1，2，…，g 表示随机项。

对独立结构方程的个数等于内生变量的数目的模型被称为完备结构式模型。

（10-2）的矩阵形式为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡gt t t kt t t gk g g k k gt t t gg g g g g u u u X X X Y Y Y ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ212121222211121121212222111211γγγγγγγγγβββββββββ （10-3） (t=1,2,……n)。

亦即t t t U X BY =Γ+ （10-4）其中()g g ij B ⨯=β ()k g ij ⨯=Γγ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=gt t t t Y Y Y Y Λ21 ， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=kt t t t X X X X Λ21 ， ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=gt t t t u u u u Λ21 2、结构式模型的特点结构式模型具有以下特点：1）模型直观地描述了经济变量之间的关系结构，模型的经济意义明确。

例如，在式（10-1）中，第一个方程是依据凯恩斯的绝对收入假说建立的消费函数；第二个方程是投资函数，表示投资额的变化主要取决于当期和前期的国内生产总值；第三个方程是定义方程，反映了国内生产总值包括消费、投资和政府支出。

2）.模型只反映了各变量之间的直接影响，却无法直观地反映各变量之间的间接影响和总影响。

例如，政府支出G 的增加将会引起收入Y 的变化，进而引起居民消费C 的变化，但这种间接影响却无法通过结构方程（或结构参数）直接反映出来。

同样地，上期收入Y t-1通过投资I 、收入Y 等变量对居民消费C 的间接影响也没有直观地反映出来。

3）无法直接运用结构是模型进行预测。

联立方程模型预测就是根据预定变量的值，预测模型之能够内生变量。

但是结构式中的解释变量中间，往往还包含着需要预测的内生变量，所以无法进行预测。

（二）模型的简化式1、定义模型的简化式是指将结构式模型中的每个内生变量都只表示为前定变量和随机扰动项的函数，所构成的模型称为简化型模型。

习惯上用π表示简化式模型中每一个方程的简化型参数。

2、求得简化式的方法有两种：第一种方法是直接估计法，即直接把模型中的每一个内生变量表示成前定变量和随机扰动项的线性函数，如：简化式一般形式为i k ik i i i u X X X Y ++++=πππ.......2211 （i =1,2,……n ） （10-5）用矩阵形式表示为U X Y +=π，并用普通最小二乘法估计上述的πij 值，就得到用直接估计法建立的简化式模式。

对于（10.4）所表示的模型，其简化式模型为⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=---t t t tt t t t t t t t u G Y Y u G Y I u G Y C 332131222121112111ππππππ （10-6）第二种方法是间接估计法。

即在一定条件下通过推导，将每个内生变量表示成前定变量和随机误差项的函数。

其中每个前定变量的系数称为简化式参数。

例如：对于简单Keynesian 模型（10-1）通过变量连续代换的方法，把内生变量C t ，I t ，Y t 表示为前定变量G t ，Y t -1与随机项u t 的函数。

111121111111111111b a u b u a u G b a a Y b a b a C t t t t t t ---++--+--=- 112111************)1(b a u a u b u G b a b Y b a a b I t t t t t t ---++--+---=- 11211111121111b a u u G b a Y b a b Y t tt t t --++--+--=- 从简化型中得出参数关系式体系1121111b a b a --=π 111121b a a --=π ()11122111b a a b ---=π 111221b a b --=π 112311b a b --=π 113211b a --=π 由本例的简化型中容易看出，简化式参数是度量前定变量变化时对内生变量的总影响，而结构式参数只表明一个单一方程内前定变量对内生变量的直接影响。