聚合物流变学全套公式

1克罗内克尔符号

九个分量

2、哈密顿算符

用于矢量运算时

3、应力张量

应力张量是应力状态的数学表示。数学上应力为二阶张量，三维空间中需九个分量（三个正应力分量和六个剪应力分量）来确定。

用应力张量形式表示为

其中， 第一个下标表示力的作用面的法线方向，第二个下标表示力作用的方向，如σxy 表示作用在与x 垂直的平面上的应力分量，方向指向y 。当i=j 时，表示应力方向与外法线方向相同，称为应力张量的法向分量， σxx σyy σzz 分别垂直于与x 、y 、z 垂直的平面上。当i≠j 时，表示应力分量作用在相应面的切线方向上，称为剪切分量，如σxy σyz σzx 。

按照Caucky 应力定律，在平衡时物体受的合外力和合外力矩等于0，所以平衡时应力张量为对称张量，只有6个独立分量。三个法向应力分量和三个剪切应力分量。

1()0()ij i j i j e e i j δ=⎧==⎨≠⎩ 111213212223313233100010001δδδδδδδδδ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

123123i i e e e e x x x x ∂∂∂∂∇=++=∂∂∂∂ i i i i e x ∇=∇∂∇=∂ 其中，0lim s F

s δδσδ→=xx xy xz yx yy yz zx zy zz σσσσσσσσσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦......xx xy xz yy yz zz σσσσσσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

4、全导数形式的连续性方程

5、 为全微分-偏微分关系算符,也叫实质微分算符.

其中, 左边表示的函数称:随体导数,指物理量随着流体质元一起运动时所发生的变化率,或者是当流体的微元体积上的一点在dt 时间内从进入微元体积的空间位置(x,y,z)移动到离开微元体积的的空间位置(x+dx,y+dy,z+dz)时,物理量随时间的变化率. 它由两部分组成,一是物理量的局部变化,即在空间一个固定点上随时间的变化,由场的不稳定性引起;二是物理量的对流变化,即由于流体质点的运动,从一点转移到另一点时所发生的变化,由空间位置变化引起的变化,为对流导数,由场的不均匀性引起. 适用于牛顿或非牛顿\可压缩或不可压缩流体

6、动量方程

其他形式的动量方程

（1）

（2）

....d V V V V divV dt ρρρρρρ=-∇-∇+∇=-∇=- 流体的质量散度，反映了流动场中某一瞬间区的流量发散程度 (410)

x y z D v v v Dt t x y z ∂∂∂∂=+++-∂∂∂∂.(228)dv g dt

ρσρ=∇+-.()..(229)dv P g dt P g

gradP div g ρδτρδτρτρ=∇-++=-∇+∇+=-++-yx x xx zx x dv P g dt x x y z τττρρ∂⎛⎫∂∂∂=-++++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭

y xy yy zy y dv P g dt y x y z τττρρ∂∂∂⎛⎫∂=-++++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭

yz xz z zz z dv P g dt z x y z τττρρ∂⎛⎫∂∂∂=-++++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭

（3）

在x 方向

在y 方向

在z 方向

式中左边括号中是流场中某微团的加速度,即随流导数,由两部分组成,第一项是表示速度随时间的变化率,是局部加速度,其余三项是随空间坐标变化,是迁移加速度. 由于ρ是单位体积的质量,所以左边相当于力,是惯性力项,反映单位时间单位体积内流体动量的增量.

• 右边第一项是静压力项,反映静压力对动量的影响;

• 第二项是粘性力项,反映流体粘性对动量的影响;

• 第三项是重力项,反映重力对动量的影响.

• 可见, 惯性力=静压力+粘性力+重力.

• 任何流体都适用.

• 由于高分子流体的粘度很大,重力常忽略不计.影响流体的流动主要是压力和粘弹力.流动形式可区分为:压力流和拖曳流.

7、能量方程

流动场中普通的能量守恒方程

yx x x x x xx zx x y z x v v v v P v v v g t x y z x x y z τττρρ∂⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂+++=-++++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭

y y y y xy yt zy x y z y v v v v P v v v g t x y z y x y z τττρρ∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫∂+++=-++++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝

⎭⎝⎭yz xz z z z z zz x y z z v v v v P v v v g t x y z z x y z τττρρ∂⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂+++=-++++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝

⎭⎝⎭...(.).E Ev q v g v t

ρρσρ∂=-∇-∇+∇+∂()()().....(232)v dT P c T P v q v P v dt T P T v q v T ρρρττ⎡⎤∂⎛⎫=--∇-∇+∇-∇⎢⎥ ⎪∂⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤∂⎛⎫=-∇-∇+∇-⎢⎥ ⎪∂⎝⎭⎢⎥⎣⎦：：

用于求温度分布的能量守恒方程

式中左边是单位时间内某一点温度的变化,对于不可压缩高聚物流体,此项可忽略不计.第二项是由热传导引起的温度变化,第三项是由机械功变为热能引起的温度变化.

8、牛顿流体的本构方程

9、幂律流体的本构方程 y x z v x y z y y x x z xx yy zz xy y x z y x z z xz yz q q q T T T T P c v v v T t x y z x y z T v v v v v x y z y x v v v x y z v v v v z x z y ρρττττττ⎡⎤∂⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫+++=-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦

⎧∂∂⎡⎤⎛⎫∂∂∂+++++ ⎪⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎛⎫∂∂⎣⎦⎝⎭+++ ⎪∂∂∂∂⎛⎫∂∂∂⎝⎭⎛⎫+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭(454)⎫⎪⎪⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭x yx v r y τηη∂==∂ {}1n kr r τ-=-