点集拓扑讲义熊金城部分习题参考答案

点集拓扑讲义部分答案

P73 第2.1节

3．设(),X ρ是一个 的度量空间,证明: (1) X 的每一个子集都是开集;

(2) 如果Y 也是一个度量空间,则任何映射:f X Y →都是连续的. 证 (1) 对任意的A X ?和任意顶的x A ∈,取1

4

ε=,则(){},B x x A ε=?,所以A 是开集.

(2) 设:f X Y →为任一映射,U ∈T Y

,由(1)知,()1f U -∈T

X

,所以,f 是连续映

射.

6.从殴氏平面2

到实数空间 的映射2,:m s → 定义为对任何()12,x x x =，

(){}()1212max ,,m x x x s x x x ==+

证明m 和s 都是连续函数。（提示：分别用2

的度量1ρ和2ρ（参见第5题）.）

证 先证m 是连续映射.设()2

12,x x x =∈ 是任意一点,对任意的0ε>,对任意

()212,y y y =∈ ,因为

(){}{}{}()()111221212,max ,max ,max ,x y x y x y x x y y m x m y ρ=--≥-=-

(其中1ρ是习题5中定义的2

的度量),故()()()()

,,m B x B m x εε?,即m 在2

x ∈ 对于

2 的度量1ρ而言是连续的,由于2x ∈ 是任意的,从而对于2 的度量1ρ而言连续.由习

题5的结论知,m 对于2

的度量ρ而言是连续的.

下面再证s 是连续映射.设()2

12,x x x =∈ 是任意一点,对任意的0ε>,对任意

()212,y y y =∈ ,因为

()()()()()211221212,x y x y x y x x y y s x s y ρ=-+-≥+-+=-

(其中2ρ是习题5中定义的2

的度量),故()()()()

,,s B x B s x εε?,即s 在2

x ∈ 对于

2 的度量2ρ而言是连续的,由于2x ∈ 是任意的,从而对于2 的度量2ρ而言连续.由习

题5的结论知,s 对于2

的度量ρ而言是连续的.

P73 第2.2节

2. 对于每一个n +∈ ,令{}n A m m n +=∈≥ ,(1) 证明P ={}

{}n A n +∈?? 是正整数集+ 的一个拓扑;(2) 写出1+∈ 的所有开邻域.

(1) 证 显然1,A +?=∈ P .又n A ??=?∈P ,1,2,n = .任意

,n m A A ∈P

,{}max ,n m m n A A A ?=∈P ,对任意的P 1?P ，{}11

min :n n

n n A TB A TB A A ∈∈=∈ P ， 因此P 为+ 的拓扑.

(2) 1+∈ 的唯一开邻域为1A += .

7. 设P 1和P 2

是集合X 的两个拓扑,证明P

1

?P 2也是X 的一个拓扑.举例说明

P

1

?P 2可以不是X 的拓扑.

证 若P 1和P

2

都是X 的拓扑,,由于,X ?∈P 1,P

2

,所以,X ?∈P

1

?P 2;

任意,A B ∈P 1,P 2

,则A B ?∈P 1,P

2

,所以A B ?∈P

1

?P 2;

对任意的P '?P

1

?P

2

,即P '?P

1

,P

2

,则

'

A T A ∈∈

P 1,P

2

,所以

'

A T A ∈∈

P 1?P 2. 因此P 1?P 2是X 的拓扑.

例,设{},,X a b c =, P {}{}{}{}1,,,,,,a b c a b c =?, P

{}{}{}{}2

,,,,,,b a c a b c =?,显

然, P

1

,P

2

都是X 的拓扑,P

1

?P

2

{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,a b b c a c a b c =?,因{}{},a b ∈P 1?P

2

,{}{}{},a b a b =??P

1

?P 2,因此P 1?P 2不是X 的拓扑.

10. 证明:

(1) 从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续的; (2) 从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续的. 证 (1) 设(X ,P 1)是任意拓扑空间,( ,Y P 2

)是平庸拓扑空间,:f X Y →,对任意

的U ∈P

2

,,U Y =或?,所以()1

,f

U X -=或?,它们都属于P 1,所以f 连续.

(2) 设(X ,P 1)是离散拓扑空间,( ,Y P

2

)是任意拓扑空间,:f X Y →,对任意的

U ∈P

2

,(){}()

1

1

x f

U f

U x --∈=∈ P

1,所以

f 连续.(因为离散拓扑空间的单点集是开

集).

P73 第2.4节

2. 设X 是一个拓扑空间,,A B X ?,证明:

(1) x X ∈是集合A 的凝聚点当且仅当x 是集合{}A x -的凝聚点; (2) 如果()d A B A ??,则B 是一个闭集.

证 (1) 若x X ∈是集合A 的凝聚点, 当且仅当对任意的U ∈U

x

,有

{}()U A x ?-≠?,

由{}{}()

{}A x A x x -=--,从而{}(){}{}U A x x ?--≠?,即x 是集合{}A x -的

凝聚点.

(2) 因为()d A B A ??,所以()()d B d A B ??,即()d B B ?,故B 为闭集. 3. 证明:闭包运算定义中的Kuratovski 公理等价于条件:对任何,A B X ?,

()()()()()*****A c A c c B c A B c ??=?-?.

证 “必要性”若Kuratovski 公理成立，则对任意,A B X ?，

()()()()()()()()********A c A c c B c A c B c A B c A B c ?=?=?=?-?；

“充分性”若对任意,A B X ?，有

()()()()()*****A c A c c B c A B c ??=?-?，则令A B ==?，有

()()()()()()******c c c c c c ?????=?-?=???=?；

令A B =，有

()()()()()()()()()()**********A c A c c A c A c c A A c A c A c c A ??=-?=????，

并且()()()*

*

*

c

c A c A ?，所以()()()*

*

*

c c A c A =。

由以上结果有

()()()()()()()()********c A B c A B c A c A c c B c A c B ?=?-?=??=?，

故Kuratovski 公理成立。

4. 设X 是一个拓扑空间；{}

A γ

γ∈Γ

是X 的一个任意子集簇，其中指标集非空；

,A B X ?。证明以下三个包含关系，并举例说明每一个包含关系都不能改为等号：

(1)

A A γγγ

γ∈Γ

∈Γ? ; (2) A A γγγ

γ∈Γ

∈Γ? ; (3) A B A B -?-.

证 (1) 因为任意γ∈Γ,A A γγγ

∈Γ

? ,从而A A γγγ∈Γ? ,因此A A γγγγ∈Γ∈Γ? ;

(2) 因为任意γ∈Γ,A A γγγ∈Γ

?

,从而A A γγγ∈Γ? ,因此A A γγγγ∈Γ∈Γ? ;

(3) 因为()()A A B A B =-??,所以

()()()()

A B A B A B B A B A B B A B ??-=-??-?-??-=-??

.

例 (1)和(2)的例子可参考本节的补充例题中的例.

(3) 为殴氏度量空间所诱导的拓扑空间,

()1110,1,,10,0,222A B A B ??????

==?-== ? ?????????

,但

[]1110,1,10,0,222A B ??????

-=-=?????????????

.

6. 证明: 拓扑空间中的每一个子集的导集为闭集当且仅当此空间的每一个单点集的导集为闭集(此即为杨忠道定理).

证明: “?”是显然的.

“?”设拓扑空间X 的每一独立点集的导集为闭集,对任意的X A ?,设()()A d d x ∈,对x 的任意开邻域U ,(){}()≠-?x A d U ?.因{})(x d 是闭集,且{}()x d x ?,令

{}()x d U V -=,则V 是x 的开邻域,从而有(){}()x A d V y -?∈.因为{}()x d y V y ?∈,且

x y ≠,于是存在y 的开邻域W ,使得W x ?,因为V 和W 都是y 的开邻域,故W V K ?=也

是y 的开邻域,由()A d y ∈,所以存在{}()≠-?∈y A K z ?.

由x z W K z ≠?∈,,因此{}()x A U z -?∈,故{}()≠-?x A U ?,即()A d x ∈,所以

()()()A d A d d ?,即()A d 是闭集.

“?证法2”任取(),x d A ∈由于()()

()d A A A A d A ?==?,故()x A d A ∈?.若

x A ?,则()x d A ∈;若x A ∈,我们只需证()x d A ∈.

实事上,由于{}()d

x 是闭集,故{}()()G d x '=∈P ?U

x

.对任意的∈U P ?U

x

,令

V U G =?∈P ?U x .由于()x d A ∈,故()V d A ?≠?.取()y V d A ∈?,则y V U

∈?且()y d A ∈.于是{}(

)

U A y ?-≠?,再分两种情况来考虑:

(1) y x =,则已有()x y d A =∈.

(2) ,y x ≠令{}()W x '=,由于{}()(),y V G d x '∈?=故{}{}(){},

y x d x x ??=于是W ∈P ?U

x

,且(){}(

)

U W A y ??-≠?,而,x W ?故

{}(){}(){}().U A x U W A x U W A U W A y ?-???-=?????-≠?

从而()x d A ∈.这就证明了()()d A d A ?,故()d A 为闭集.

注: ()d A 不是闭集的例子:设{}1,2,3,X =P {}{}{}

{},,1,2,3,1,2,X A =?=则

(){}3d A =不是闭集,事实上,{}(){}23d =也不是闭集.

对于度量空间,容易验证每个单点集{}x 的导集{}()d x =?,所以度量空间的每个子集

的导集是闭集.

事实上,设(),X ρ是度量空间,{}x 是(),X ρ的单点集.对任意的{}()y x '∈

,y x ≠,记

(),0x y ερ=>,则{}(),2

B y x ε??

'? ??

?

,即{}()x '是开集,从而{}x 是闭集.

再证(),X ρ的每一子集的导集都是闭集.设P ρ

是由X 的度量ρ诱导出来的拓扑,由

上述结论知,作为拓扑空间(X , P ρ

)的每一单点集都是闭集,即若{}x 是(X , P

ρ

)的独

点集,则{}(){}d

x x ?,又{}()x d x ?,所以{}()d x =?,因此(X , P

ρ

)中每一单点集的

导集都是闭集.

由第6题(即杨忠道定理)的结论知, (X , P

ρ

)中每一子集的导集都是闭集,所以

(),X ρ中的每一子集的导集都是闭集.

8. 证明度量空间的每一独立点集都是闭集,并且每一子集的导集都是闭集.

证明: 设()ρ,X 是度量空间,{}x 是()ρ,X 的独立点集.任意的{}x y x y ≠'

∈,,记

()0,>=y x ρε,则{}'???

? ?

?x y B 2,ε,即{}'

x 是开集,从而{}x 是闭集.

下面证明()ρ,X 的每一子集的导集都是闭集.设ρ?是由X 表及里度量ρ诱导出来的拓扑,由度量空间的每一独立点集都是闭集知,拓扑空间()

ρ?,X 的每一独立点集都是闭集,即若{}x 是()

ρ?,X 的独立点集,则{}(){}x x d ?,又{}()x d x ?,所以{}()=x d ?,因此()

ρ?,X 中每一独立点集的导集都是闭集.

由本节第6题的结论知()

ρ?,X 的每一子集的导集都是闭集. 补充例题

1. 设X 是一个拓扑空间;{}

A γγ∈Γ

是X 中的是个子集簇,证明:

a)

i A A γγγ∈Γ

∈Γ? ．而当，Γ为有限时i A A γγγ∈Γ∈Γ= ,举例说明当Γ为无限时上述包含关系可以是严格的．

b)

A A γγγ

γ∈Γ

∈Γ? ,即使当Γ为有限时,这一包含关系也可能是严格的.

c) 对内核，写出对应的包含关系． 证明 a) A A A A γγγγγ

γ∈Γ

∈Γ?

?? ,此关系对一切γ∈Γ成立，所以

i A A γγ

γ∈Γ

∈Γ? .

现在,如果Γ有限,则(),A A A A γγγγγ

γγ∈Γ

∈Γ?∈Γ??

?

但

A γγ

∈Γ

作为有限个闭集的并是闭的，故A A γγγγ∈Γ∈Γ?

从而它们应该相等．

下面我们给出Γ为无限时严格包含的例子．设2

X R =，并对

p N +∈定义

11,p A q N p q +??????=∈?? ???????

于是有集簇新{}

p

p N A +

∈.现在1,0p p A A p ??

??=???

?????

.而p p N A +∈ 显然包含p p N A +∈ 中的所有元，此外还包含10,q N q +??????∈?? ???????

和()0,0. b) (),A A A A γγγγγ

γγ∈Γ

∈Γ?∈Γ??

? ,但A γγ∈Γ 是闭集,因此A A γγγγ∈Γ∈Γ? .

在R 中,考虑()(){}1212120,1,1,2,1A A A A A A ==??=??=.

c) 对已得的结论取补集,可得

A A γγγ

γ∈Γ

∈Γ?

(但Γ为有限时成为等式).

P78 第2.5节

2. 设X 是一个拓扑空间,X B A ?,,证明:

(1) ()()A A A A A A ?-=??=-0,; (2) ()()()

()A A A A ??????-,0; (3) ()()()()000

,B A B A B A B A ?????????;

(4) ()=?A ?当且仅当A 是一个既开又闭的集;

(5) ()()()A A ????; (6) ()()()()B A B A B A B A ?????=????. 证明: (1) ()()()

------=?='??='??=??A X A A A A A A A A A ;

()()()()()

=???=??='?-=?------0''''A A A A A A A A A A A A ?00A A =?

(2) ()

()A A A A A A A A ?=?=???=?-------'''000

()

()A A A A A A ?=???=?-------''.

(3)

()()()(

)()

(

)(

)(

)()()()()()

B A B

B

A

A

B

A B

B

A A

B A B A B A B A B A ???=?????????=???=???=??-

-

-

-

-

-

-

-----

-

''''

''

'

''

()()()0000000,B A B A B B A A B A ????????.

(4) 若()=?A ?,由(1)()()A A A A A A A A =?-==??=-0,,所以A 是既开又闭的集合.

反之,若A 是既开又闭的集合,即()=?=?=??==-

-

-

-

'

''

',A A A A A A A A A ?.

(5) 因为()--?=?'A A A 为闭集,所以()()()A A ?=?-

,故

()()()()()()()()()A A A A A ?=?????=??-

-

-

'.

(6) ()()()()-

-

-

???=?????=????'

''B A B A B A B A B A B A B A

()()

()()()()()()()

B A B A B B A A B A B B A A B A ?????=

???????=?????=--''

5. 设A 是度量空间()ρ,X 中的一个子集,证明:

(1) ()0,'

>?∈A x A x ρ; (2) ()()0,=??∈A x A x ρ且()

0,'

=A x ρ.

证明: (1) ()0,''

'0=???=∈--A x A x A

A x ρ;

(2) ()-

-

-

∈??=?∈A x A A A x '且?∈-

'A x ()0,=A x ρ且()

0,'=A x ρ.

P86 第2.6节

1. 设X 是一个集合,则X 的子集簇B 和E 是X 的同一个拓扑T 的两个基的充分必要条件是B 和E 满足条件:

(1) 如果x B ∈∈B ,则存在E ∈E,使得x E B ∈?; (2) 如果x E ∈∈E, ,则存在B ∈B ,使得x B E ∈?.

证 “必要性” 设B 和E 为X 的同一个拓扑T 的两个基，任意x B ∈∈B ,即B ∈U x ，因为E 是X 的拓扑T 一个基，由定理2.6.2知, 存在E ∈E,使得x E B ∈?. 同理可证(2)成立.

“充分性”设B 和E 分别是X 的拓扑T ，T *

的基，并且满足条件(1)和(2). 设x E ∈∈E ,由条件(2)存在x B ∈B 使得x x B E ∈?,而

{}x x E x E x E x E x B E E B ∈∈∈=???=

对任意的A ∈T *

存在E 1?E ,使得

()

!!!!

,!!x x E E x E

x E E A E B B ∈∈∈∈∈===∈

T (因在下标中无法输入E 1,故用!!表

示E 1),所以T

*

?T ，由条件(1)类似可证T ?T *.因此T =T *.故B 和E 是X 的

同一拓扑T ,的基.

2. 殴氏平面2

的一个子集叫做一个开矩形,如果存在,,,a b c d ∈ 满足条件a b <和

c d <.使得()(),,D a b c d =?,其中(),a b 和(),c d 都表示开区间.证明:2 中所有的开矩

形构成的集簇是2

的一个基.

证 记B =

()(){},,,,,,,a b c d a b c d a b c d ?∈<< ,则B 是2

的一个开集簇.

任意()2

,P x y ∈ ,任意的U ∈U P

,存在0ε>,使(),B P U ε?.取

,,,2222

a x

b x

c y

d y εεεε

=-=+=-=+

则()()(),,,a b c d B P U ε???,且()(),,a b x d ??B .由定理2.6.2知, B 构成2

的一

个基.

3. 证明实数集合R 有一个拓扑以集族

[){}(]{}R b b R a a ∈∞-?∈∞,,

为它的一个子基,并说明这个拓扑的特点.

证明: 令L =[){}(]{}

R b b R a a ∈∞-?∈∞,,.因为

(][)R a b R S =∞?∞-??∈,,S L

所以 L

S S R ∈=

.由定理2.6.4知,存在R 的唯一拓扑?以L 为子基.

对任意的R x ∈,因为(][)∈∞∞-,,,x x L ??.所以{}(][)?∈∞?∞-=,,x x x ,即R 的每一独立点集都是开集,故?是R 的离散拓扑.

补充例题

设X 为至少包含两点的集合,p X ∈,T {}

{}G X p G =?∈??是X 的拓扑,我们称之为特殊点拓扑.

(1) 判断下述B 是否为T 的基,为什么?

B 1

{}{}{},p x x X p =

∈-; B

2

{}{}x x X =∈;

B

3

{}{},p x x X =∈; B 4

{}G X p G =?∈

(2) 设A X ?,试求()0

,d A A .

解(1) B 1不是T 的基,因为开集{}p 不是B 1中一些元的并. B 2

也不是T 的基,尽

管每个非空开集都是 B 2

中一些元的并,但x p ≠时,{}x ∈ B

2

,即 B

2

中含有不是开

集的元. B 3, B

4

是T 的基,,因为它们符合定义的条件.由此例可知,同一拓扑T 的基不是

唯一的.

注:初学者容易忽略“B ?T ”这个条件。

(2) 当p A ∈时，对任意的{}x X p ∈-，由于T 的基B

2

中包含x 的元只有{},p x ，

即x 有一个邻域基，它只有一个元{},p x ，且{}{}()

,p x A x ?-=?，所以()x d A ∈。

而当p A ?时，对任意的x X ∈，{}{}()

,p x A x ?-=?，所以()x d A ?，因此

(){},X p p A

d A p A ?-∈=?

???

类似可得

0,

A p A

A p A

∈?=?

?

??。 7.设X 是一个度量空间.证明:如果X 有一个基只含有有限个元素,则X 必为只含有有限多个点的离散空间.

证 设B {}12,,,n B B B = 为(),X ρ的基,假定X 无限,取互异的1n +个点

121,,,n x x x X +∈ .令(){}11

min

,i

j

i j n x x δρ≤<≤+=,则(),i B x δ∈U

,1,2,,1x

i n =+ 且

()(),,i j B x B x i j δδ?=?

≠.

因为B 是X 的基,故存在i B ∈B ,使(),,1,2,,1i i i x B B x i n δ∈?=+ ,从而

i j B B ?=?,即B 至少有1n +个元素,此为矛盾.

故X 是只含有有限个点的度量空间.由第一章的习题可知,X 是离散空间.

P92 第2.7节

1. 设X 是一个离散空间,{}+

∈Z i i x 是X 中的一个序列.证明:序列{}+

∈Z i i x 收敛当且仅当

存在+∈Z M ,使当M j i >,时,有j i x x =.

证明: “?”是显然的.

“?”X 是一个离散空间,所以{}x 为x 的开邻域,故存在+∈Z M ,使当M i >时,{}x x i ∈,即当M i >时,有x x i =,因此,当M j i >,时,有j i x x =.

3. 设X 是一个度量空间.证明:

(1) X 中的任何一个收敛序列都只有唯一的极限; (2) 定理2.7.2的逆命题成立;

(3) 对于任何一个映射Y X f →:定理2.7.3的逆命题成立,其中Y 是任何一个拓扑空间.

证明: (1) 设{}+

∈Z i i x 是X 中的收敛序列,y x ,为其极限.若y x ≠,则()0,>y x ρ,取

()0,2

1

>=

y x ρε,存在+∈Z M ,当M i >时,()()εε,,y B x B x i ?∈,所以 ()()()()y x y x x x y x i i ,,,,ρεερρρ=+<+≤

此为矛盾.故y x =,即X 中的收敛序列的极限唯一. (2) 设X A ?,()A d x ∈,则对每一{}()≠-???

?

???∈+x A n x B Z n 1,

?, ,2,1=n .取 {}() ,2,1,1,=-???

?

??∈n x A n x B x n ,则{}+∈Z i i x 是{}x A -中的序列,对x 的任意开邻域U ,

存在+∈Z M ,当M n >时,U n x B ???

? ??1,,即x x U x n n n =?∈∞

→lim .即{}x A -中有收敛于

x 的序列{}+∈Z i i x .

(3) 设映射Y X f →:对任意的X x ∈满足条件

(*) “X 中序列{}+

∈Z i i x 收敛于?x Y 中的序列(){}+

∈Z i i x f 收敛于()x f ”.

若Y X f →:在点X x ∈0处不连续,则存在()()Y x f B ?00,ε,使得对任意的+∈Z n ,都有

()()000,1,εx f B n x B f ????? ????? ?

?.

因而存在??

?

??

∈n x B x n 1,

0,使得()()()00,εx f B x f n ?,即对任意的+∈Z n , ()()()00,ερ≥x f x f n

而{}+

∈Z i i x 是收敛于0x 的序列,由条件(*)得(){}+

∈Z i i x f 收敛于()0x f ,这与()()()0

0,ερ≥x f x f n 矛盾.

因此Y X f →:在X 上连续.