机械工程控制基础之系统的数学模型

1. 增量化方程与实际坐标方程形式相同
2. 当平衡点为坐标原点时，二者等价；否则，二者不等价。
非线性方程的线性化
线性化的条件： 1. 非线性函数是连续函数(即不是本质非线性)。 2. 系统在预定工作点附近作小偏差运动 线性化的方法：
1. 确定预定工作点。 2. 在工作点附近将非线性方程展开成Taylor级数形式。 3. 忽略高阶小项。 4. 表示成增量化方程的形式。
f
k
m
组成系统的 物理元件不同
c
x
.. Lq
Rq. C1
q
u
mxcxkx f 数学模型形式相同
相似系统：具有相同形式数学模型的不同物理构成的系统。
相似量：
质量元件
F m dv21 dt
电感元件
v21
L
di dt
阻尼元件 F bv21
弹簧元件 F k v21dt
电阻元件 v21 Ri
电容元件
传递函数： 例1：
T
dxo (t) dt
xo (t)
Kxi
(t)
G(s) K Ts 1
例2：
k(xi xo ) cxo
cxo kxo kxi
G(s) 1 RCs 1
G(s) Xo k 1 1 Xi cs k c s 1 Ts 1 k
特点： 存在储能元件和耗能元件。 阶跃输入时，输出经过一段时间才到稳态值。
1. 比例环节 ——输出正比于输入
动力学方程： xo (t) Kxi (t)
Xi (s)
K
X o (s)
传递函数： G(s) K
特点：输出量与输入量成正比；不失真，不延迟。
例： R2
m
m
N 1
ui (t) R1
uo(t)
L
L
N 2
2. 惯性环节 ——输出的导数与输出之和正比于输入
动力学方程：
注意：负载效应，非线性项的线性化。
3. 消除中间变量，得到只包含输入量和输出量的微分方程。
4. 整理微分方程。输出有关项放在方程左侧，输入有关项 放在方程右侧，各阶导数项降阶排列。
an
xo( n
)
(t
)
an1
x ( n1) o
(t
)
a1xo (t) a0xo (t)
bm
xi(
m
)
(t
)
b x(m1) m1 i
3. 微分环节 ——输出正比于输入的变化率 动力学方程： xo (t) T xi (t)
Xi (s) Ts Xo (s)
传递函数： G(s) Ts
特点：
➢ 一般不能单独存在
➢ 增加阻尼；
➢ 强化噪声。
例1： 微分运算电路
i1 R1
i C dui 0 uo dt R1
iC
uo R1Cui
i2R2
1 C2
i2dt
1 C1
(i1 i2 )dt
1
C2 i2dt u2
i1 C1
3. 消除中间变量 i1、i2，并整理：
R1C1R2C2
d2u2 dt 2
(R1C1
R2C2
R1C2
)
du2 dt
u2
u1
R2 i2 C2 u2
例5 直流电动机
1. 明确输入与输出：
输入ua 和ML，输出
v21
1 C
idt
四、系统传递函数
连续系统的微分方程的一般形式：
an
x (n) o
(t
)
a n1
x ( n1) o
(t
)
...
a1
x o
(t )
a0
xo
(t
)
bm
x
( i
m
)
(
t
)
bm
1
x
( i
m
1
)
(
t
)
...
b1 x i
(t )
b0
xi (t)
在零初始条件下，对方程两边拉氏变换，得：
(n m)
整理得
my '' (c A2 / Kc ) y ' ( AKq / Kc )x
线性化特点：
1. 非线性项线性化后微分方程是增量形式的微分方程。 2. 线性化的结果与系统的预定工作点有关。
如：本例中，不同预定点的kq、kc不同
3. 非线性项线性化必须满足连续性和小偏差条件。
三、相似系统
L
R
u
i
(2) 二元泰勒公式展开
q
q
q( x, p) q( x0 , p0 ) x x0, p0 x p x0, p0 p
已略去高阶小量
例6 液压伺服机构
油池
高压油
油池
my '' cy ' Ap
阀芯
x
q Ay '
q f ( p, ) cd xx p / y
3. 非线性函数线性化：
q p1
G(s)
X o (s)
bm s m
b s m1 m1
...
b1 s
b0
Xi (s)
an s n
a s n1 n1
...
a1 s
a0
(n m) 传递函数
传递函数定义：
零初始条件下，线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉
氏变换之比。
传递函数特点：
传递函数方框
1.传递函数是关于复变量s的复变函数，为复域数学模型；
机械工程控制基础
第二章 系统的数学模型
一、引言
数学模型:描述系统动态特性的数学表达式 时域数学模型： 微分方程(连续系统)
差分方程(离散系统) 状态方程 复域数学模型： 传递函数(连续系统) Z传递函数(离散系统) 频域数学模型： 频率特性
数学建模的一般方法： 1.分析法： 根据系统或元件所遵循的有关定律来建模
,
Cd
1 kd
,
Cm
Tm J
得
TaTm
d 2
dt 2
Tm
d
dt
Cdua
CmTa
dM L dt
CmM L
TaTm
d2
dt 2
Tm
d
dt
Cdua
CmTa
dM L dt
CmM L
设电动机处于平衡态，导数为零，静态模型
Cdua CmM L 设平衡点 (ua0,M L0, )
L
R
即有 Cdua0 CmM L0 ua
电容
v 2
i C v1
v21
1 C
idt
例1：图示机械系统 m-c-k，列写微分方程。
1. 明确：
系统输入 f (t) 系统输出 x(t)
2. 牛顿第二定律 列写原始微分方程：
kx f m
cx
f kx cx mx
3. 整理： mxcxkx f
f
k
m
c
x
例2：图示电网络，列写微分方程。 1. 明确系统的输入与输出：
2.实验法： 根据实验数据整理拟合数模
连续系统的微分方程的一般形式：
an
x (n) o
(t
)
a n1
x ( n1) o
(t
)
...
a1
x o
(t
)
a0
xo
(t
)
bm
x
( i
m
)
(
t
)
bm1
x
( i
m
百度文库
1 )
(
t
)
...
b1 x i
(t )
b0
xi (t)
xo (t)、xi (t) 分别为系统输出和输入; ai (i 0,1,2,..., n)、 bj ( j 0,1,2,..., m) 为微分方程系数
(t
)
b1xi (t) b0xi (t)
一）机械系统
质量 阻尼 弹簧
F v2
F v2
k v2
两端相对速度v21
m
v1 F m dv21
dt
b v1
F bv21
v1 F
F k v21dt
二）电网络 电路元件两端电位差v21
电感
v
2
Li v1
v21
L
di dt
电阻
v 2
Ri v1
v21 Ri
放大系数(增益)： G(0) K (z1)(z2 )...(zm ) b0 ( p1)( p2 )...( pn ) a0
设阶跃信号输入 xi (t) k , Xi (s) k / s
系统的稳态输出
lim
t
xo
(t)
lim
s0
sX
o
(s)
lim
s0
sG(s)
X
i
(s)
lim
s0
sG(s)k
rf
x r
3. 消除中间变量 f、q，并整理：
r
f m k2
..
.
(J mr2)x(B B r2)xk r2x rT
12
2
J B1
x
B2
例4：图示电网络，列写微分方程。
1. 明确系统的输入与输出：
R1
输入u1，输出u2
2. 列写微分方程： 1
u1
i1R1 C1 (i1 i2 )dt u1
1
C2
i2dt u2
3.在零初始条件下，进行拉氏变换：
R1I1
I1 I2 C1s
U1
R2 I2
I2 C2s
I1 I2 C1s
I2 C2 s
U2
3.在零初始条件下，进行拉氏变换：
R1I1
I1 I2 C1s
U1
R2 I2
I2 C2s
I1 I2 C1s
I2 C2 s
U2
R1
i1
u1
输入u(t)，输出电量q
2. 列写原始微分方程：
u
L
di dt
iR
C1
idt
u
i dq dt
3. 消除中间变量，并整理
.. Lq
Rq. C1
q
u
L
R
i
例3：列写微分方程
1. 明确：输入T，输出x(t)
2. 微分方程：
T k1( )
T k1
.. . f mx B xk x
0
2
2
k1(
)
J
B 1
/
s
G(0)
k
对系统的研究可以转化为对系统传递函数零点、极点、放大系数的研究。
例1：求图示系统的传递函数
R1
R2
1.确定系统输入与输出：u1 u2
2.列写原始微分方程：
i1
i1R1
1 C1
(i1 i2 )dt u1
u1
C1
i2 C2 u2
i2R2
1 C2
i2dt
1 C1
(i1 i2 )dt
2.传递函数的分母反映系统本身与外界无关的固有特性， 传递 函数的分子反映系统与外界的联系；
3. 在零初始条件下，当输入确定时，系统的输出完全取决于系 统的传递函数 xo (t) L1[ X o (s)] L1[G(s) X i (s)]
4.物理性质不同的系统，可以具有相同的传递函数(相似系统)
例6 液压伺服机构
1. 明确 输入 x，输出y
2. 列写原始微分方程
设 p p1 p2
my '' cy ' Ap
q Ay '
高压油
油池
x
油池
阀芯
q y
p1
液压油流量
q A
油缸 负载
p2
mc
q f ( p, ) cd xx
3. 非线性函数线性化： (1) 确定系统预定工作点
p/
滑阀特性
q0 q(x0 , p0 )
2. 列写原始微分方程： ua
L
dia dt
ia R
ed
ua
ed kd
d
J dt M M L
ua
M kmia
3.消除中间变量，并整理：
L
R
励磁电流
i2 =const
ia
ML
负载力矩
ML
电动机
电机的反电势ed 反电势常数kd 电磁力矩M
电磁力矩常数km
令 Ta
L R , Tm
RJ kdkm
若所有系数都不是输入、输出及其各阶导数的函数，则微 分方程表示的系统为线性系统；否则，系统为非线性系统。 对线性系统，若系数为常数则为线性定常系统。
xo(t)3xo(t)7xo(t) 4xi(t)5xi(t)
x (t)3x (t)7x (t) 4t2x (t)5x (t)
o
o
o
i
i
线性定常系统 线性时变系统
传递函数的零极点模型 G(s) K (s z1)(s z2 )...(s zm ) (s p1)(s p2 )...(s pn )
极点： p1, p2 ,..., pn 微分方程的特征根
决定系统瞬态响应的收敛性，决定稳定性。
零点：z1, z2 ,..., zm 影响瞬态响应曲线的形状，不影响稳定性。
x (t)3x x (t)7x (t) 4t2x (t)5x (t) 非线性系统
o
oo
o
i
i
线性系统的叠加原理
二、系统微分方程
列写微分方程的一般方法： 1. 确定系统的输入量和输出量。 2. 注意：输入量包括给定输入量和扰动量
2. 按信息传递顺序，从系统输入端出发，根据各变量所遵 循的物理定律，列写系统中各环节的动态微分方程。
C1
R2 i2 C2 u2
4.消除中间变量，并整理得：
[R1C1R2C2s2 (R1C1 R2C2 R1C2 )s 1]U2 U1
5.传递函数
G(s)
R1C1 R2C2 s 2
1 (R1C1
R2C2
R1C2 )s
1
五、典型环节传递函数
系统传递函数往往是高阶的，高阶传递函数可化为比例、惯性、 积分、微分、振荡等低阶典型环节传递函数的组合
i
R2
uo
G(s)
Uo (s) Ui (s)
R1Cs
例2： 机械液压阻尼器 ——缓冲，减小偏移幅度
油缸力平衡 A( p2 p1) kxo
节流阀流量
ia
当偏离平衡点时，有
励磁电流
i2 =const
ML
负载力矩
ua ua0 ua
M L M L0 M L
则 TaTm ( ) '' Tm ( ) ' ( )
Cd (ua0 ua ) CmTa (M L0 M L ) ' Cm (M L0 M L )
TaTm () '' Tm () ' Cdua CmTa (M L ) ' CmM L 增量化
q A
油缸 负载
p2
mc
(1) 确定系统预定工作点 q0 q(x0 , p0 )
(2) 二元泰勒公式展开
q( x,
p)
q( x0 ,
p0 )
q x
x0, p0
x
q p
x0, p0
p
(3) 增量方程 4. 代入原方程
p
1 Kc
(Kqx q)
Kq Kc
x
A Kc
y'
my '' cy ' Ap
(an sn
a s n1 n1
...
a1 s
a0 )XO (s)
(bm s m
b s m1 m1
...
b1 s
b0 ) X i (s)
X o (s)
bm s m
b s m1 m1
... b1s b0
Xi (s)
an s n
a s n1 n1
...
a1 s
a0
(n m) 系统与外界联系 系统固有特性