高中数学人教版必修直线的两点式方程教案(系列三)

直线的两点式方程

教学目标

1.让学生掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程.培养学生数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础.

2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.

重点难点

教学重点:直线方程两点式和截距式.

教学难点:关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式方程的讨论及变形.

安排

1

教学过程

导入新课

要学生求直线的方程，题目如下：

①A(8，1)，B(2，4)；

②A(6，4)，B(1，2)；

③A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2).

(分别找3个同学说上述题的求解过程和答案，并着重要求说求k及求解过程)

这个答案对我们有何启示？求解过程可不可以简化？我们可不可以把这种直线方程取一个什么名字呢?

推进新课

新知探究

提出问题

①已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)，求通过这两点的直线方程.

②若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有x1=x2或y1=y2，此时这两点的直线方程是什么？

③两点式公式运用时应注意什么？

④已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a≠0,b≠0，求直线l的方程.

⑤a、b表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？

⑥截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？

活动:①教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程.师生共同归纳：

已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤：

a.利用直线的斜率公式求出斜率k

b.利用点斜式写出直线的方程.

∵x 1≠x 2,k=1

212x x y y --, ∴直线的方程为yy 1=

1212x x y y --(xx 1). ∴l 的方程为yy 1=1

212x x y y --(xx 1).① 当y 1≠y 2时,方程①可以写成

121121x x x x y y y y --=--.② 由于②这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式.

注意：②式是由①式导出的，它们表示的直线范围不同.①式中只需x 1≠x 2，它不能表示倾斜角为90°的直线的方程；②式中x 1≠x 2且y 1≠y 2，它不能表示倾斜角为0°或90°的直线的方程，但②式相对于①式更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆.如果把两点式变成

(yy 1)(x 2x 1)=(xx 1)(y 2y 1)，那么就可以用它来求过平面上任意两已知点的直线方程.

②使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式.教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x 1=x 2时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为x=x 1；当y 1=y 2时，直线与y 轴垂直，直线方程为y=y 1.

③引导学生注意分式的分母需满足的条件.

④使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形.教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l 的方程？哪种方法更为简捷？然后求出直线方程.

因为直线l 经过(a ，0)和(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得

a a x

b y --=--000.① 就是b

y a x +=1.②

注意：②这个方程形式对称、美观,其中a 是直线与x 轴交点的横坐标，称a 为直线在x 轴上的截距，简称横截距；b 是直线与y 轴交点的纵坐标，称b 为直线在y 轴上的截距，简称纵截距.

因为方程②是由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的，所以方程②式叫做直线方程的截距式. ⑤注意到截距的定义，易知a 、b 表示的截距分别是直线与坐标轴x 轴交点的横坐标，与y 轴交点的纵坐标，而不是距离.

⑥考虑到分母的原因，截距式不能表示平面坐标系下在x 轴上或y 轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.

讨论结果：①若x 1≠x 2且y 1≠y 2,则直线l 方程为1

21121x x x x y y y y --=--. ②当x 1=x 2时，直线与x 轴垂直，直线方程为x=x 1；当y 1=y 2时，直线与y 轴垂直，直线方程为y=y 1.

③倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示(因为x 1≠x 2,y 1≠y 2). ④b

y a x +=1. ⑤a 、b 表示的截距分别是直线与坐标轴x 轴交点的横坐标，与y 轴交点的纵坐标，而不是距离.

⑥截距式不能表示平面坐标系下在x 轴上或y 轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.

应用示例

例1 求出下列直线的截距式方程：

（1)横截距是3，纵截距是5；

（2)横截距是10，纵截距是7；

（3)横截距是4，纵截距是8.

答案：（1）5x3y15=0；（2)7x10y70=0；（3）3x4y12=0.

变式训练

已知Rt △ABC 的两直角边AC=3，BC=4，直角顶点C 在原点，直角边AC 在x 轴负方向上，BC 在y 轴正方向上，求斜边AB 所在的直线方程.

答案：4x3y12=0.

例2 如图1,已知三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程.

图1

活动:根据A 、B 、C 三点坐标的特征，求AB 所在的直线的方程应选用两点式；求BC 所在的直线的方程应选用斜截式；求AC 所在的直线的方程应选用截距式.

解：AB 所在直线的方程，由两点式,得

)

5(3)5(030----=---x y ,即3x8y15=0. BC 所在直线的方程，由斜截式,得y=

35x2,即5x3y6=0. AC 所在直线的方程，由截距式,得25y x +-=1,即2x5y10=0. 变式训练

如图2,已知正方形的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线的方程.

图2

活动:由于正方形的顶点在坐标轴上，所以可用截距式求正方形各边所在直线的方程.而正方形的对称轴PQ ，MN ，x 轴，y 轴则不能用截距式，其中PQ ，MN 应选用斜截式；x 轴，y 轴的方程可以直接写出.

解:因为|AB|=4，所以|OA|=|OB|=2224

=.

因此A 、B 、C 、D 的坐标分别为(22,0)、(0,22)、(22,0)、(0,22).