微积分 第六章练习题答案

第六单练习题

一、选择题

1、在球x 2+y 2+z 2-2z =0内部的点是（ C ）

A 、（0，0，0）

B 、（0，0，-2）

C 、111,,222⎛⎫ ⎪⎝⎭

D 、111,,222⎛⎫

-- ⎪⎝⎭

2、点(1,1,1)关于xy 平面的对称点是（ B ）

A 、(-1,1,1)

B 、(1,1,-1)

C 、(-1,-1,-1)

D 、(1,-1,1)

3、设函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处存在对x ,y 的偏导数，则00(,)x f x y '=（ B ） A 、00000

(2,)(,)lim x f x x y f x y x ∆→-∆-∆ B 、00000(,)(,)

lim x f x y f x x y x ∆→--∆∆

C 、00000

(,)(,)lim

x f x x y y f x y x ∆→+∆+∆-∆ D 、0000

(,)(,)

lim x x f x y f x y x x →--

4、函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处可微的充分条件是（ D ） A 、f (x ,y )在点(x 0,y 0)处连续 B 、f (x ,y )在点(x 0,y 0)处存在偏导数

C 、00000

lim (,)(,)0x y z f x y x f x y y ρ→''⎡⎤∆-∆-∆=⎣⎦

D 、00000(,)(,)lim 0x y z f x y x f x y y ρρ→''∆-∆-∆⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

其中ρ= 5、已知函数22(,)f x y x y x y +-=-，则

(,)(,)

f x y f x y x y

∂∂+=∂∂（ B ） A 、22x y - B 、x y + C 、22x y + D 、x y -

6、平行于z 轴且过点（1，2，3）和（-1，4，5）的平面方程是（ A ）． A 、03=-+y x B 、03=++y x C 、01=+-z y D 、5=z

7、二元函数224),(y x y x f z +==在点（0，0）处（ D ） A 、连续、偏导数不存在 B 、不连续、偏导数存在 C 、连续，偏导数存在但不可微 D 、可微

8、若可微函数),(y x f z =在点),(000y x P 有极值，则（ C ）． A 、两个偏导数都大于零 B 、两个偏导数都小于零

C 、两个偏导数在点),(000y x P 的值都等于零

D 、两个偏导数异号

9、二重积分⎰⎰+=D

dxdy y x I )sin(1，⎰⎰+=D

dxdy y x I )(sin 22，其中Ｄ是由

1,2

1

,0,0=+=

+==y x y x y x 围成，则（ C ）． A 、21I I = B 、21I I < C 、21I I > D 、以上都不对

10、设方程xyz =z =z (x ,y )，则z =z (x ,y )在点 （1，0，-1）处的全微分dz =（ D ）

A 、dx

B 、dx -

C 、dx -

D 、dx 11、二元函数3322339z x y x y x =-++-的极小值点是（ A ） A 、（1，0） B 、（1，2） C 、（-3，0） D 、(-3，2) 12、点00(,)x y 使(,)0x f x y '=且(,)0y f x y '=成立，则（ D ）

A 、00(,)x y 是(,)f x y 的极值点

B 、00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点

C 、00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点

D 、00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点

13、设区域D 是单位圆221x y +≤在第一象限的部分，则二重积分D

xyd σ=⎰⎰

（ C ）

A 、

xydy B 、1

dx ⎰

C 、1

00

dy ⎰ D 、122001sin 22

d r dr π

θθ⎰⎰

14、

1

10

0(,)x

dx f x y dy -=⎰⎰（ D ）

A 、11

(,)x

dy f x y dx -⎰⎰ B 、1

10

0(,)x

dy f x y dx -⎰⎰ C 、1

1

(,)dy f x y dx ⎰⎰ D 、1

10

(,)y

dy f x y dx -⎰⎰

15、若1D

dxdy =⎰⎰，则积分域D 可以是（ C ） A 、由x 轴，y 轴及20x y +-=所围成的区域 B 、由x =1，x =2，及y =2，y =4所围成的区域

C 、由11

,22

x y ==所围成的区域

D 、由1,1x y x y +=-=所围成的区域 二、填空题

1、设)ln(22y x z +=，则

x z ∂∂＝ ．2

22y x x + 2、交换二次积分的次序⎰⎰

1

01),(x

dy y x f dx ＝ ．⎰⎰

1

2),(y dx y x f dy

3、若⎰⎰=--D

dxdy y x a π222，则=a ，其中Ｄ是由222a y x =+围成的区

域．3

2

3

4、⎰⎰D

d y x f σ),(在极坐标系下的二次积分为 ，其中Ｄ是由422=+y x 围成的

区域．⎰⎰πθθθ20

2

)sin ,cos (rdr r r f d

四、计算题

1、.求由方程xyz e z

=所确定的函数),(y x f z =的偏导数x z ∂∂，y

x z

∂∂∂2

解:设xyz e z y x F z -=),,(，则

yz F x -=，xy e F z z -= xy e yz

F F x z z

z x -=-=∂∂ 2

2)()())(()(xy e x y

z

e yz xy e y z y

z xy

e yz

y x z z z z y z --∂∂--∂∂+='-=∂∂∂

3

22322)

(xy e e z y z xy z y e xyz e z e z z

z z z ---+-= 2、设v

u

z arctan

=，其中y x v y x u -=+=,23，求全微分dz 解: x

v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 2

2223v u u v u v +-+⋅+=