(北师大版)初中数学《三角形的中位线》教学案

《三角形的中位线》

教学目标：

1．理解三角形中位线的概念． 2．会证明三角形的中位线定理．

3．能应用三角形中位线定理解决相关的问题．

教学重点：三角形中位线的性质和应用．

教学难点：正确的理解题意，发现证明三角形中位线性质定理时辅助线的添法和性质的灵活应用．

教法及学法指导：对于三角形中位线定理的引入采用发现法，在教师的引导下，学生通过探索、猜测等自主探究的方法，先获得结论再去证明．在此过程中，注重对证明思路的启发和数学思想方法的渗透，提倡证明方法的多样性．本课时的学习内容，关键是真正让学生交流讨论起来，发挥集体智慧，通过相互间的合作与交流，发展学生合作交流的能力和数学表达能力；教师通过组织、点拨、引导，促进学生主动探索，积极思考，总结规律，充分发挥学生的主体作用.

课前准备：教师：多媒体课件，若干个一般三角形，作图工具一套；

学生：若干个一般三角形，剪刀，作图工具一套．

教学流程

教学过程：

一、创设情境，提出问题

师：同学们先看一组图片，这些图片给你留下了怎样的印象？

教学流程图

创设情境，提出问题

合作交流，尝试探究

拓展创新，智海扬帆 梳理回放，反思提高

当堂达标，巩固拓展

生:观察得出：三角形的中位线的形象. 师：板书课题.

设计意图：教师通过多媒体展示现实生活中的三角形中位线形象,让学生初步认识三角形的中位线，建立与实际问题的联系,提高学生的学习兴趣. 二、合作交流，尝试探究

师：提出问题 1.（大比拼）你能把任意一个三角形剪一刀，分成两部分，再拼成个一平行四边形吗？ 生:操作

（1）剪的一个三角形，记为△ABC （2）分别取AB ,AC 中点D ,E ，连接DE

(3)沿DE 将△ABC 剪成两部分，并将△ABC 绕点E 旋转180°，得四边形BCFD

师： 2．思考：四边形ABCD 是平行四边形吗？ 生:是．

师： 3．探索新结论：若四边形ABCD 是平行四边形，那么DE 与BC 有什么位置和数量关系呢？启发学生逆向类比猜想：DE∥BC，DE ＝2

1

BC ． 由此引出：三角形中位线的定义和性质.

师：三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线.

生：请画出三角形的中线和中位线，并说出它们的不同（三角形中位线的两个端点是三角形两边的中点，而三角形中线一端点是三角形的顶点、另一端点是三角形这个顶点所对的边的中点．）

师：三角形的中位线定义的两层含义

①∵D 、E 分别为AB 、AC 的中点∴DE 为△ABC 的中位线．

②∵ DE 为△ABC 的中位线 ∴ D 、E 分别为AB 、AC 的中点．

师： 问题：学生观测前面画出的三角形的中位线，并回答问题：一个三角形共有几条中位线？

师：提出问题：假若刚才操作能成功，那么三角形的中位线与第三边有怎样的关系？能证明你的猜想吗？

学生活动：用拼图来辅助思考和观察，得出初步结论.

教师活动：根据学生结论，操作几何画板，观察结论是否正确；最后得出一个命题：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 师：这个结论是否具有普遍性，还得从理论上加以证明。 证明这个命题：

命题：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 已知：如图，DE 是△ABC 的中位线． 求证：DE //BC ，DE ＝2

1BC ．

(教师活动：利用多媒体显示引导学生分析，得出证明思路，后由学生口述出定理的证

明过程，教师板书出证明格式．)

证明：延长DE 至F ，使EF ＝DE ，连接CF

∵AE ＝CE ，∠AED ＝∠CEF ， ∴△ADE ≌△CFE ∴AD ＝CF ，∠ADE ＝∠F ∴BD ∥CF ∵AD ＝BD ∴BD ＝CF

∴四边形BCFD 是平行四边形 ∴DF ∥BC ，DF ＝BC ∴DE ∥BC ，DE ＝

21

BC 定理：三角形的中位线平行于第三边．且等于第三边的一半． 应用时书写：∵DE 是△ABC 的中位线，

∴ DE //BC ，DE ＝

2

1BC ．

师：还有其他方法进行证明吗？多种思路来探索．

生:思路1如图1，过点C 作AB 的平行线交DE 的延长线于F ，去证△ADE ≌△CFE ．

生:思路2如图2，过点C 作AB 的平行线交DE 的延长线于F ，连结AF 、DC ，去证，四边形ADCF 是平行四边形．

生:思路3如图2，延长DE 到F ，使EF =DE ，连结CF 、CD 、FA ，去证，四边形ADCF 是平行四边形．

生:以上三种思路，关键是证明四边形BCFD 是平行四边形．

师小结：以上各种证明方法，都是将问题转化到平行四边形中去解决．不同的转化方法引出了不同的证明方法，这体现了数学中的转化归纳的重要思想． 师拓展：利用这一定理，你能证明出分割出来的四个小三角形全等吗？

生:（口述理由）

设计意图：由通过学生探究教学，自然顺畅地引出三角形中位线的概念．通过画图，让学生熟悉图形特征，加强对三角形中位线的感知，并通过与已学的三角形中线概念作比较，以及对定义的两层含义的分析加强对三角形中位线概念的理解．鼓励学生，积极思考、大胆猜想，证明完善后提出三角形中位线定理，这符合定理产生的过程，让学生学会科学地研究问题和解决问题，培养学生严谨的学习作风． 三、拓展创新，智海扬帆

师：同学们请看下面这个图形：任意作一个四边形，并将其四边的中点依次连接起来，得到一个新的四边形，这个新的四边形的形状有什么特征？请证明你的结论，并与同伴交流 生:已知：在四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、 CD 、DA 的中点. 求证：四边形EFGH 是平行四边形

生一：连结AC ，证：EF ∥GH ，EF ＝GH 生二：连结BD ，证：EH ∥FG ，EH ＝FG 生三::连结AC 、BD 证:EF ∥HG ， EH ∥FG 生四：连结AC 、BD 证：EF =HG ， EH =FG

师生小结：以上各种证法，关键在于添加适当的辅助线，构造出三角形中位线定理的条件，结合平行四边形的各种判定方法，形成不

同的证明方法。这里把四边形问题转化为三角形的问题来解决，运用了化归思想。 生证明：连接AC

∵ E 、F 分别是AB 、BC 边的中点

G 、H 分别是CD 、AD 边的中点

∴ EF ∥AC ， EF ＝

21AC ，GH ∥AC ,GH ＝

21AC B

D

G E H A B D

G E H A