理论力学哈密顿理论在物理学中的应用

刘维尔定理：相空间中统计系综的分布密度在运
动过程中不变，即 =dN1/d1=dN2/d2=常数。 因为dN1=dN2 ，所以要证明上式，只要证明d1 = d2。分两步证明： 1、证明一个粒子的一对正则变量q、p 从t 到
t+dt 的变化可看成是一种正则变换。
证：只要找到一个适当的母函数，使变换后的新
向 。 由 于是 任 意 的 ， 因 此 要 使 （2） 式 恒 成 立 ，
可 取 这 样 的 条 件 ： 当 曲面f 取 得 足 够 大 时 ， 在 这
个 曲 面 上 0和 0， 它 们 可 看 作 是 解 偏 微分 n
方 程 （1） 式 的 一 组 边 界 条 件 。
（1） 式 可改 写 为：Hˆ E
S Ldx1dx2dx3dt 0
注 意 变分 运 算 ：xj 0，t 0。
L
L
L
3 j1
L
x j
x j
L
L
3
L
j1 / xj
x j
dx
1dx
2dx
3dt
0
1
2
0,
2 L dt 1
2d 1 dt
Ldt
2 L
1 / xj
U k(i1 i )2 / 2
a
i
于是体系的拉格朗日：
L 1
2
i
[mi2 k(i1 i )2 ]
un -2 un -1 un
un+1
分 离 体 系 的 拉 氏 函 数 ：L 1 2
i
[mi2 k(i1 i )2 ]
改 写 为L 1 2
i
a
m
a
i2
k
a
i1 a
i
2
t1
t1
即L L(x, y, z)dxdydz 0， 这 就 是(1)式 。
作 这 样 的 理 解 ，(1)式 中 的 函 数F(x, y, z)就 是 电 子
的拉格朗日密度。
对 于 波 动 ， 体 系 的 平 均动 能T 恒 等 于 平 均 势 能V。 因 此 若 把F(x, y, z)看 作 是 电 子 波 的 拉 格 朗日 密 度, 那 么 由 于L T - V 0, 所 以F(x, y, z)应 是 一 个 恒 等于零的函数。
0
广
义
坐
标
为
矢
势A和
标
势
A 0， 0
B 0 B ooE
/
t
o j
E A / t B A
拉格朗日密度
L
(oE2
B2
/
o
)
/
2
j
A
[o ( A / t)2 ( A)2 / o ]/ 2 j A
d
dt
L k
3 i1
d dx j
(k
L
/ xi )k
(2)
Qp
F2 F2
/ q / P
P ，或 q
QP
q。 p
(3)
1
m2x2
E 2
0
2m x 2
J
2 2
2
1
m2x2
E 2
dx
0
1 2m x 2
2 2 2 dx 2 2 d dx 2 2 d d dx
1 2m x
m 1 dx x m 1 dx dx
2
m
2 d
1
dx
d dx
d dx
i
aLi
令 弹 性 棒 单 位 长 度 的 质量 为， 则m / a ，a dx
胡 克 定 律 ：F E ， 其 中 ：E为 弹 性 模 量 ，为 单 位 棒
长 的 伸 长 i1 i 。
x
a
而 分 离 体 系 的 胡 克 定 律为F k ai1 i a
比 较 可 得 ：k a E， i1 i ， 且 a dx 。
x
2
y
2
z
2
2m 2
E
x2
e2 y2
z2
2
0
把 电 子 看 作"物 质 波", 假 设 一 个 适 当 的 拉 格 朗日 密 度, 用 最 小 作 用 量 原 理 来 导出 电 子 的 波 动 力 学 方 程。
薛 定 谔 的 具 体 做 法 是 ，取
dJ F(x, y, z)dxdydz 0
第八章 哈密顿理论在物理学中的应用
§8.1 连续体系的拉格朗日方程
设i是 第i个 质 点 偏 离 平 衡 位 置 的位 移 ， 则
体 系 的 动 能 ：T mi2 / 2
i
第i个 质 点 所 受 的 力 ：
m mm m m
Fi k(i1 i ) k(i i1 ) 体系的势能：
k kk k
（1 ）
两 种 理 解:
1、 把(1)式 看 作 是 莫 培 督 最 小 作用 量 原 理 ， 它 是
和 时 间 无 关 ，F(x, y, z)就 是 莫 培 督 作 用 函 数 。
2、 把(1)式 看 作 是 哈 密 顿 原 理 变形 而 来 。
S t2 Ldt 0 t2 Ldt 0 L 0
对 于 每 个x，(x, t)是 广 义 坐 标 ， 对 于 三 维的 连 续
体 系 ， 广 义 坐 标 为(x1 , x2 , x3 , t)，L Ldx1dx 2dx 3 。
对 于 弹性 棒 ， 拉 格 朗日密 度 只是 / t和 / x的 函 数， 而x和t参 数 。 在 某 些问 题 中L还 可 以 是或x、t的 显 函数 ， 因 此 三维L的 一 般形 式 为 L L( / xj, / t, , x, t), ( j 1，2，3 ) 由 哈 密顿 原 理 ， 体 系 的拉 格 朗日 方 程 由下 式 给出
H
(p
2 x
p
2 y
p
2 z
)
/
2m
e2
/
r
哈 密 顿 雅 可 比 方 程:
1 2m
W x
2
W y
2
W z
2
e2 E (1)
x2 y2 z2
薛 定 谔 对 函 数 作 了 一 个变 换: W lg
W ，W ，W ,代 入(1)式 得: x x y y z z
E
B oo t o j
这 就 证 明 了 电 磁 场 的 运动 方 程 确 定 可 纳 入 到
拉 格 朗 日 方 程 的 理 论 体系 中 去 。
§8.3 薛定谔波动力学方程的建立
采用经典力学的哈密顿理论，加上电子具有波粒 二象性的假设，以氢原子为例，建立定态波动力学方 程。氢原子哈密顿函数为
x j
dx
j
2 L 1 / xj
d( ) dx j
dx
j
2d 1 dx j
L / xj
dx j
L
d dt
L
3 j1
d dx j
L / xj
dx1dx 2dx 3dt
0
由 于是 任 意 的 ， 要 使 上 式 恒为 零 ， 必 须的 系 数 为 零 ，
d dx
dx
2 m
d dx
2 1
2 d2 1 dx 2 dx
2 1
m2 2
x2
E2dx
2 1
2
m2 2
x2
E dx
（5）
将(4)和(5)代 入(3)式 得:
J
2 m
d dx
2 1
2 2
1
m
d2 dx 2
2
m2 2
x2
E dx
0
由 此 可 得 ：
2 2m
d2 dx 2
,
d dx
L ( / x)
E
2 x2
L 0
代
入
:
d dt
L
3d j1 dx j
L / xj
L
0， 得
波 动 方 程 ：
2 t 2
E
2 x2
0， 波 速v
E。
§8.2 电磁场的拉格朗日方程
真 空 中 的 电 磁 场 规 律 由麦 克 斯 韦 方 程 给 出 ：
E /o E B / t
m2 2
x
2
E，
d dx
0。
pˆ
i x
代 入H
1 2m
p
2 x
m2 2
x2得
哈 密 顿 算 符 ：Hˆ
2 2m
d2 dx 2
m2 2
x2
Hˆ
E。
§8.4 刘维尔定理
相空间中统计系综的分布密度在运动过程中不变。
证明：统计系综的一个“样本”：力学体系有N 个相同的粒子，每个粒子的坐标和动量为q、p 。 统计系综是由与这个力学体系的组成完全相同， 但初始条件不同的许多个“样本”组成。
B3 o
，
L
B2 ，
(A1 / x3 ) o
代 入 拉 格 朗 日 方 程 得1：o
B3 x2
B2 x3
o
E1 t
j1
0
1 o
B3 x2
B2 x3
Leabharlann Baidu
o
E1 t
j1
0
1 o
B1 x3
B3 x1
o
E2 t
j2
0
1 o
B2 x1
B1 x2
o
E3 t
j3
0
将 它 们 结 合 起 来 写 成 矢量 形 式:
设在d 1 内，代表点 p
的/中d数 的1 目密就度为代。d表N经点1，过在则时d间1 =区td域后N1，
d2
原动来 到在 d空间1中的的d代2表的点位运置， 如图所示，这两个体积元
d1
代表点的数目是相同的，
即dN1 = dN2 。
q
这是因为代表点的相轨迹是不会相交的。若相交，
则表明相同力学体系在相同初始条件下有不同的 运动规律，这和经典力学的基本假设相矛盾。
d
dt
L k
3 j1
d dx j
L (k /
x
j
)
L k
0
L (oE2 B2 / o ) / 2 j A
1、 考 虑 广 义 坐 标A1所 对 应 的 拉 格 朗 日 方 程
L A1
j1，
L A1
oE1
E1 A1
oE1 ,
L (A1 /
x2 )
1 o
B3
B3 (A1 / x2 )
即
：d dt
L k
3 j1
d dx j
L k / xj
L
k
0
(k 1,2, )
例 ： 弹 性 棒 纵 振 动 的 运动 方 程 。
解 ： 弹 性 棒 的 拉 格 朗 日密 度 为
L 1 2 1 E 2
2
2 x
L
， d dt
L
2 t 2
因
此
得
： (L/
x)
E
x
例 ： 用 薛 定 谔 方 法 导 出一 维 谐 振 子 的 波 动 力 学方 程 。
解 ： 一 维 谐 振 子 的 哈 密顿 函 数 为
H
1 2m
p
2 x
1 k x2 2
1 2m
W x
2
1 m2x2 2
作W lg 变 换 后 得 谐 振 子 的 经 典哈 密 顿 雅 可 比 方 程
2
2
x
2
y
2
z
2
2m 2
E
e2 r
2
dxdydz
0
通过变分运算，可得
2 2m
2 x2
2 y 2
2 z 2
e2 r
E
（1 ）
和
f df
n
0
（2）
（2） 式 是 一 个 面 积 分 为 零的 表 达 式 ，f 是 包 围 氢
原 子 的 一 个 封 闭 曲 面 ，n是 为 这 个 曲 面 的 法 线 方
a
x
i
分 离 体 系 的 拉 氏 函 数 为：
L 1 2
i
m a
a
i2
k a
i1 a
i
2
i
aLi
因 此 弹 性 棒 的 拉 格 朗 日函 数 为
L
1 2
2
E
x
2
dx
Ldx
其 中 ：L
T
-V
1 2
1
E
2
。L、T、V分
别
2
2 x
称 为 体 系 的 拉 格 朗 日 密度 、 动 能 密 度 、 势 能 密度 。
/ xi
L k
0
L [o ( A / t)2 ( A)2 / o ]/ 2 j A
1、 考 虑 广 义 坐 标所 对 应 的 拉 格 朗 日 方 程
L
,
L
/ xi
o
(
A
/
t)
i
oE
，
j
L
0，
代
入
拉
格
朗
日
方
程
得：
o
i
Ei 0 xi
将 上 式 写 成 矢 量 形 式 就是 E / o
单个粒子相空间( 6 维空间)：
3个坐标分量q， 3个动量分量p。
N个粒子构成 空间( 6 维空间).
t 时刻，每个“样本”的q、p 确定，因此 空间中的每一个点表示一个“样本”在某一时刻 的状态，这样的点称为“代表点”。因此统计系 综就是 空间中的一群代表点。
这群代表点在 空间中的分布一般是不均匀 的，因此可引入代表点密度的概念。
对 于 粒 子 性 ， 氢 原 子 中的 电 子 满 足 下 式 ：
x
2
y
2
z
2
2m 2
E
e2 r
2
0
这 是 一 个 恒 等 于 零 的 表达 式 。
因 此 要 把 波 粒 二 象 性 结合 起 来 ， 最 自 然 的 选 择是 取
上 式 作 为F(x, y, z)， 即
（3）
其 中：Hˆ
2 2m
2 x2
2 y 2
2 z 2
e2 r
2 2 2m
V
Hˆ 称 为哈 密 顿算 符 ， 可 由经 典哈 密 顿函 数
H
1 （p 2m
2 x
p
2 y
p 2z）
V中 的动 量 改换 为 微分 算符
p pˆ i
（4）
得 到。 （3） 式 和（4） 式 具有 普 遍性 ， 对 任意 的H E 的保守体系都适用。
正则变量Q、P 为
Q= q+ dq ， P= p+ dp ， =1,2, … ,N (1)
若取第二类正则变换母函数 F2 (q, P) = qP (2)
则:
Qp
F2 F2
/ q / P
P ，或 q
QP
q。 p
(3)
这是全同正则变换。
Q= q+ dq ， P= p+ dp ， =1,2, … ,N (1) F2 (q, P) = qP