第10章 波导----TE波、TM波传输系统

得到：
1 X
2 X x2
1 Y
2Y y 2
kc2
0
2 X x2
k
2 x
X
0,
2Y y 2
k y2Y
0
其中： kc2 kx2 ky2
常微分方程的通解为三角函数的形式：
X Acos(kx x) B sin(kx x)
Y C cos(ky y) D sin(ky y)
Hz [Acos(kxx) Bsin(kxx)][C cos(ky y) Dsin(ky y)]e jt z
[
j
Ez x
H z y
]
Ey
1 kc2
[
Ez y
j
H z x
]
用电磁场的纵 向分量可以完 全表示横向分 量-----只要求出 纵向分量，就 可以得出电磁 场的全部分量
Hx
1 kc2
[
j
Ez y
H z x
]
----规则波导中 不存在TEM波
kc2 2 2
（单导体波导）
----kc截止波数
均匀介质、无源区简谐波的Maxell方程
j Ex H y
j Ey H x
v ET
evx
evz
v ET
Ex
evy
j
Ey (evx
H
x
j
evy
(evx H x Hy)
evy H y )
v j HT
ZW (TM )
ET HT
j
同理：ZW (TE)
ET HT
j
波阻抗Zw(TE)、 Zw(TM)
ZW (TM )
ET HT
----波导中的波动方程
T2 ----横向拉普拉斯算子
纵向分量（z分量）的波动方程及其解
vv 矢量方程：T2 E kc2E 0
T2 Ex kc2Ex 0
T2 Ey kc2Ey 0
T2 Ez kc2Ez 0
T2 H z kc2 H z 0
用分离变量法求Ez，或Hz的解2 Ez x22 Nhomakorabea2
( m
a
)2
( n
b
)2
截止波长
0 时，电磁波刚好截止时的临界波长λc
( 2 )2 ( m )2 ( n )2
c
a
b
c
2
2
( m)2 ( n)2 kc
ab
只有当工作波长小于某个模式的截止波 长时，该模式才能在矩形波导中传播
相移常数
2 k 2 kc2 k 2 kc2 k 1 ( / c )2
cos(n y
b
x) sin( n
b
)
e y)
jt z
e jt
z
(m )2 (n )2
a
b
2 (m )2 (n )2 2
a
b
电磁场沿横向坐标（x，y）是驻波分布 m表示场在宽边a分布的驻波的半波数
n表示场在窄边b分布的驻波的半波数
1、一组（m，n）的组合，称为一个模式，即 TEmn模或TMmn模 2、不同模式对应不同的截止波数kcmn 3、相同的m，n组合，TMmn模和TEmn模截止 波数kcmn相同----称为模式简并
Ex Hy
Ey Hx
j
ZW (TE)
ET HT
Ex Hy
Ey Hx
j
代入 j 与 / k / / k
ZW (TM ) 1 ( / c )2 ZW (TE) / 1 ( / c )2
矩形波导中的主模
对于矩形波导（a>b），TE10的截止频率最低， TE10称为矩形波导中的主模
jt
z
v E(x,
y,
z,t)
evx
Exm
(x,
y)e
jt
z
evy Eym (x, y)e jt z evz Ezm (x, y)e jt z
v H
(
x,
y,
z,
t
)
evx
H
xm
(
x,
y)e
jt
z
evyH ym (x, y)e jt z evzHzm (x, y)e jt z
2Ex
k2Ex
e jt z y, z,t)
因子v H(
x,
y)e
jt
z
v E(x,
y,
z,
t)
evxm
Ex
(x,
y)e
jt
z
v H
(
x,
y,
z,
t
)
evx
H
xm
(
x,
y)e
jt
z
evy Eym (x, y)e jt z evz Ezm (x, y)e jt z evy H ym (x, y)e jt z evz Hzm (x, y)e jt z
ZW (TE10 )
Ex Hy
Ey Hx
1 ( / 2a)2
波导的波阻抗----波导中相对于波的传播方向成 右手螺旋关系的横向电场与横向磁场分量复振 幅的比值
TE10模的场分量
Ex 0
Ey
ja
H0
sin(
a
x) e j(t z)
Ez 0
Hx
ja
H0
sin(
a
x) e j(t z)
Hy 0
边界条件 1、Hx=0，2、Hx=0，3、Hy=0，4、Hy=0
1，x 0,0 y b, Hz 0, 左璧 x
B0
2，x a,0 y b, Hz 0, 右璧 x
kx
m
a
,m
0,1, 2...
3，y 0,0 x a, Hz 0, 底璧 y
D0
4，y b,0 x a, Hz 0, 顶璧 y
我们只研究：直的、均匀的波导 •直的：不弯、无分支 •均匀：截面恒定
y
特例：矩形金属波导 b
0
z
a
x
均匀介质Hvv、无j源区Ev简v(1谐) 波的Maxe•llH方vv 程 0 (3) E jH (2) • E 0 (4)
两个旋度方程（1) 、（2)是独立的，可以分别展成三个标量方程
考Ev虑(x到, y电, z磁,t波) 沿zEv方(x向, 传y)播e j，t各 z场量H包v(含x,
第10章 波导----TE波、TM波传输系统
波导：能够引导电磁波的结构或装置，通常 指横截面具有一定形状的金属管
波导分类：
Waveguide
规则波导：截面的几何形状、尺寸和所填 充的介质都不变的直波导
非规则波导：
矩形波导，圆波导 金属波导，介质波导
矩形波导
Rectangular-Plate Waveguide
A0
2，x a,0 y b, Ez 0, 右璧 3，y 0,0 x a, Ez 0, 底璧 4，y b,0 x a, Ez 0, 顶璧
kx
m
a
,m
0,1, 2...
C0
ky
n
b
,n
0,1, 2...
Ez
E0
sin(
m
a
x) sin( n
b
y)e jt z , m, n
0,1, 2...
得到：
z
将Maxell的（1）、（2）方程分解成分量形式
j j
Ex Ey
H z
y
Hx
H y (1) Hz (2) x
j Ez
H y x
H x y
(3)
jHx
Ez y
Ey
(4)
jH y
Ex
Ez x
(5)
j H z
Ey x
Ex y
(6)
Ex
1 kc2
[
Ez x
j
H z y
]
Hy
1 kc2
TM波的场分量
Ex Ey Ez
m
m
n
Ekk0cc22s((innba(m)a)EE00xsc)iosnis(n(m(anabxxy)))cesojisnt((nzbb
y) e jt z y) e jt z
H
H H kc2
x
y z
jkjc2 (
0 kc2
n
b
)
E0
sin(
m
a
x)
m
m
( a )E0 cos( a
4、对于TEmn模，其中m，n可以为0，但不能 同时为0；对于TMmn模，m，n都不能为0，不 存在TMm0或TM0n模
矩形波导中的参量
kc2
( m
a
)2
( n
b
)2
----kc截止波数
2 (m )2 (n )2 2
a
b
( m )2 ( n )2 2
a
b
----γ传播常数
1、Ev(γ为x, 实y, z数, )时，Evk(xc >, yk)，e则z ：Hv(x,
kc
( m )2 ( n )2
a
b
c
2
kc
对于TE模，m，n不能同时为0，否则所有
的场量为0；当 a>b 时，m，n取1，0才能
保证kc最小，TE10是TE模的主模
对于TM模，m，n任一不能为0，否则所
有的场量为0；，m，n取1，1才能保证kc最 小，TM11是TM模的主模
TE10模的特征参数
λ和k分别为TEM波的工作波长和相移常数
波导波长
g
2
k
2
1 ( / c )2
1 ( / c )2
相速度
t1 z1 t2 z2 ... tn zn const.
z2 z1 ... zn zn1 z
t2 t1
tn tn1 t
vp
dz dt
v
1 ( / c )2
vp v 相速度大于真空光速
群速度
包络（波包）的运动速度
A0 cos(t z)e j(t z)
包络
载波
vg
d d
1
d / d
代入
k 2 kc2
( )2 ( 2 )2
v
c
vg v 1 ( / c )2 ----群速度小于光速
vg vp v2
波阻抗Zw(TM)、 Zw(TE)
横向电场与横向磁场的比值----波阻抗 对于TM波
Ex
kc2
Ez x
Hx
j
kc2
Ez y
Ey
kc2
Ez y
Hy
j
kc2
Ez x
Ez Hz 0
2Ez x2
2Ez y 2
kc2 Ez
0
用分量变量法，得到：
Ez [Acos(kxx) Bsin(kxx)][C cos(ky y) Dsin(ky y)]e jt z
边界条件
1，x 0,0 y b, Ez 0, 左璧
Hz
H0
cos( a
x) e j(t z)
TE10模分布特性
TE10波的电场分布
（a）EE′横截面
v
v
Hv j E v(1)
E jH (2)
v • Hv 0 (3) • E 0 (4)
对式（1) 、（2)、取 旋 度，式（3)、(4）代入其中， 有波动方程
vv 2E k2E 0
vv 2H k2H 0
----赫姆霍兹方程
vv 2E k2E 0
vv 2H k2H 0
可以分解为三个标量方程
2Ex k2Ex 0
2Hx k2Hx 0
2Ey k2Ey 0
2Hy k2Hy 0
2Ez k2Ez 0
2Hz k2Hz 0
Ev电(x磁, y,波z,沿t) z方Ev(向x,传y)e播jt， z各场Hv量(x包, y,含z,t
e )
jt
z 因子
v H (x, y)e
2 Ez y 2
kc2Ez
0,
2Hz x2
2Hz y 2
kc2H z
0
令： Ez (x, y, z, t) X (x) Y ( y) e jt z
得到：
1 X
2 X x2
1 Y
2Y y 2
kc2
0
2 X x2
k
2 x
X
0,
2Y y 2
k y2Y
0
其中：
kc2
kx2
k
2 y
令： H z (x, y, z, t) X (x) Y ( y) e jt z
可以得到类似的结果
根据纵向分量的存在与否，对电磁波进行分类
1、TEM波，2、TE波，3、TM波
1、横电波----TE波 （Ez=0）
Ex
j
kc2
H z y
Hx
kc2
H z x
Ey
j
kc2
H z x
Hy
kc2
H z y
Ez 0 Hz
2Hz x2
2Hz y 2
kc2 H z
0
令： H z (x, y, z, t) X (x) Y ( y) e jt z
ky
n
b
,n
0,1, 2...
Hz
m
H0 cos( a
x) cos(n
b
y)e jt z , m, n 0,1, 2...
TE波的场分量
Ex
j
kc2
(
n
b
)
H
0
cos(
m
a
x) sin( n
b
y) e jt z
Ey Ez Hx
j
0
kc2
kc2 (
( m
a
m
a
)H
)H0 sin(
m
0 sin( a
(kc )TE10 a v
( )c TE10
1
2
kc
2a
( fc )TE10 c 2a
( )TE10
2 ( )2 2 a
1 ( )2
2a
(vp )TE10
( )TE10
v/
1 ( )2
2a
V与λ是无界媒质内的相速度与波长
TE10模的特征参数
(vg )TE10 v 1 /(c )TE10 v 1 / 2a
2Ex x2
2Ex y2
2Ex z 2
k2Ex
2Ex x2
2Ex y2
2Ex
k2Ex
0
令：
T2
2 x2
2 y 2
kc2 k 2 2
T2 Ex kc2Ex 0
同理： T2 Ey kc2Ey 0
T2 Ez kc2Ez 0
vv
T2 E kc2E 0 vv
T2 H kc2H 0
y,
z,)
v H (x,
y)e z
表示衰减的场分布，矩形波导中不能传播相应的电磁波
1、γ为虚数时，kc < k，表示沿z正向传播的电磁波
j
k 2 kc2 j
2 ( m )2 ( n )2 j
a
b
波导中能够维持TEmn或TMmn模式的传输
即要求： 2 (m )2 (n )2
a
b
要求波长满足
m
a
x)
x) cos(
cos( n
b