自相关函数1

自相关函数

自相关函数，信号处理、时间序列分析中常用的数学工具，反映了同一序列在不同时刻的取值之间的相关程度。

目录

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1 定义1.1 统计学

1.2 信号处理

2 自相关函数的性质

3 自相关函数举例

4 参考文献

定义[编辑]

自相关函数在不同的领域，定义不完全等效。在某些领域，自相关函数等同于自协方差。

统计学[编辑]

将一个有序的随机变量系列与其自身相比较，这就是自相关函数在统计学中的定义。每个不存在相位差的系列，都与其自身相似，即在此情况下，自相关函数值最大。如果系列中的组成部分相互之间存在相关性（不再是随机的），则由以下相关值方程所计算的值不再为零，这样的组成部分为自相关。

......... 期望值。

........ 在t(i)时的随机变量值。

........ 在t(i)时的预期值。

.... 在t(i+k)时的随机变量值。

.... 在t(i+k)时的预期值。

......... 为方差。

所得的自相关值R的取值范围为[-1,1],1为最大正相关值，-1则为最大负相关值，0为不相关。

信号处理[编辑]

在信息分析中，通常将自相关函数称之为自协方差方程。用来描述信息在不同时间

的，信息函数值的相关性。

，其中“

”是卷积算符，

为取共轭。

自相关函数的性质[编辑]

以下以一维自相关函数为例说明其性质，多维的情况可方便地从一维情况推广得到。

对称性：从定义显然可以看出R(i) = R(?i)。连续型自相关函数为偶函数

当f为实函数时，有：

当f是复函数时，该自相关函数是厄米函数，满足：

其中星号表示共轭。

连续型实自相关函数的峰值在原点取得，即对于任何延时τ，均有

。该结论可直接有柯西-施瓦茨不等式得到。离散型自相关函数亦有此结论。

周期函数的自相关函数是具有与原函数相同周期的函数。

两个相互无关的函数（即对于所有τ，两函数的互相关均为0）之和的自相关函数等于各自自相关函数之和。

由于自相关函数是一种特殊的互相关函数，所以它具有后者的所有性质。

连续时间白噪声信号的自相关函数是一个δ函数，在除τ= 0 之外的所有点均为0。

维纳-辛钦定理（Wiener–Khinchin theorem）表明，自相关函数和功率谱密度函数是一对傅里叶变换对：

实值、对称的自相关函数具有实对称的变换函数，因此此时维纳-辛钦定理中的复指数项可以写成如下的余弦形式：

自相关函数举例[编辑]

白噪声的自相关函数为δ函数：

参考文献[编辑]