动物集群运动行为模型系列之二

动物集群行为运动模型

摘要

在动物界，存在着大量的集群行为，这种现象在食草动物、鸟、鱼和昆虫中都存在。令人惊奇的是这些动物群在运动过程中具有很明显的凝聚性，方向性和一致性。近一些年，研究动物集群行为已经成为科学界的一项热门课题。通过数学模型来模拟动物群的集群运动行为以及探索动物群中的信息传递机制一直是仿生学领域的重要内容。形成相应的新算法，是有效研究动物间传递信息、抵御天敌、物种迁徙的重要方法，同时对于科学技术的进步、研究信息交换和网络技术、无人机系统（UAV ）有着十分深远的影响。

对于问题一，为了模拟动物的集群运动。我们引入了Boid 模型。通过个体间的距离划分出了排斥区域、一致区域和吸引区域。当相邻个体处于排斥去则保持足够的距离，尽量避免碰撞，当处于一致区域则尽量保持速度矢量的相同，当处于吸引区域则要缩小之间的距离，以免被孤立。通过以上原则确定个体下一时刻的速度方向，从而通过()()()i i i c t t c t vd t t t +∆=++∆∆u r u r u u r 确定下一时刻的位置，通过迭代，模拟出集合N 任意一个体i 的运动方程。最终得到通过一定时间，集群内各个体沿着相同方向运动。

对于问题二，为了刻画鱼群躲避黑鳍礁鲨鱼的运动行为，我们引入了排斥/吸引相互影响作用模型。在不含外界影响的情况下，确立了集群个体间的相互作用的函数。在此基础上引入外界条件，通过外界捕食者与集群间的排斥吸引关系对函数进行修改。最终建立了鱼群躲避黑鳍礁鲨鱼的运动方程。通过Matlab 程序的实现，最终刻画了躲避捕食的运动行为。

对于问题三，对于分析信息丰富着对整体同步性的影响。我们在Boid 模型的基础上通过Agent 算法建立了Leader-Follower 模型。通过对第一问的模型加入少量领导者，对跟随者的运动规律不受影响，对领导者而言，由于受到周围平均方向()i d t t +∆u u r 与一优先方向g u r 的共同影响。通过算式'()(())/|()|i i i d t t d t t g d t t g ωω+∆=+∆++∆+u u r u u r u u r u r u r 确定领导者的下一步速度方向。进一步确立领导者和跟随者的运动方程。通过改变相同集群集合的领导者比例和优先方向影响权重w ，发现得到群体体统越大的集群达到同步所需的领导者比例越小；领导者优先权重越大，系统同步程度越高。

关键字：Boid 模型 排斥/吸引相互影响作用模型 Agent 算法 Leader-Follower 模型

一．问题重述

在动物界，大量集结成群进行移动或者觅食的例子并不少见，这种现象在食草动物、鸟、鱼和昆虫中都存在。这些动物群在运动过程中具有很明显的特征：群中的个体聚集性很强，运动方向、速度具有一致性。通过数学模型来模拟动物群的集群运动行为以及探索动物群中的信息传递机制一直是仿生学领域的一项重要内容。

请观察下面附件中给出的图片和视频资料，或者在网上搜索相关资料观察，思考动物集群运动的机理，建立数学模型刻画动物集群运动、躲避威胁等行为，考虑以下问题的分析建模：

1. 建立数学模型模拟动物的集群运动。

2. 建立数学模型刻画鱼群躲避黑鳍礁鲨鱼的运动行为。

3. 假定动物群中有一部分个体是信息丰富者(如掌握食物源位置信息，掌握迁徙路线信息)，请建模分析它们对于群运动行为的影响，解释群运动方向决策如何达成。

二．模型假设

1.假设不考虑动物集群中个体的大小。

2.假设动物集群中个体的速度大小相等。

3.假设不考虑除热噪音以外的其他环境因素的影响。

4.假设集群中个体运动同步且无时间延迟。

5.假设群体中至少存在两个个体，且每个个体的运动受所有其它所有个体

运动的影响。

6.假设集群中个体的视野角相同且为常数。

三．符号说明

i c u r ：集群中个体i 的位置矢量；

i v u r ：集群中个体i 的速度矢量；

v ：集群中个体运动速度的大小；

α：集群中个体的视野角； ()i d t u u r ：集群中个体i 在第t 时刻的预期运动方向；

a V ：集群中个体运动的同步性系数；

N ：集群中个体数；

()g •：表示个体间的吸引/排斥函数；

1()f •：目标个体对群内个体的排斥函数；

2()f •：目标个体对群内个体的吸引函数

ij W ：集群中个体,i j 之间的作用强度或权值；

ω：优先方向的影响权重；

a V ，r V ：集群中个体间相互作用势函数；

g u r ：集群中领导者个体的优先方向；

F i d u u r ：集群中跟从者i 在时刻t 的预期运动方向；

()L i d t u u r ：集群中领导者i 在时刻t 的预期运动方向；

四． 问题分析

关于问题一，为了模拟出动物如何进行集群运动，我们引入了Boid 模型。通过对鱼的集群的具体分析以定性解决动物集群的运动特点。在问题中，我们通过把动物个体之间的距离远近分排斥区域、一致区域和吸引区域，通过对不同区域个体i 根据周围其他个体的个数确定下一步行进的方向的规则确定。最终在Matlab 中实现物种集群行动的模拟。

关于问题二，为了刻画鱼群躲避黑鳍礁鲨鱼的运动行为，我们引入排斥/吸引相互影响作用模型，通过把捕食者与集群相对当作外界影响，对原有模型进行改进，建立有外界影响的集群中个体的运动方程与捕食者的运动方程。分析鱼群如何通过集群行动躲避捕食。

关于问题三，是在第一问的基础上关于Boid 模型的改进，由于每个个体的地位不再是相等的，各个体之间相对的影响也不相同。因此我们引入了Leader-Follower 模型。通过分别对领导者和跟随者关系的分类。通过相应给出