高二数学 解三角形小题专项训练

高二数学：解三角形小题专题训练

1.【A 】在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝22

3，a ＝3，S △ABC ＝22，则b 的值为( )

A ．6

B ．3

C ．2

D ．2或3

解析：选D 因为S △ABC ＝1

2bc sin A ＝22，

所以bc ＝6，又因为sin A ＝223，所以cos A ＝1

3，又a ＝3，由余弦定理得9＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－4，b 2＋c 2＝13，可得b ＝2或b ＝3. 1.【B 】在△ABC 中，已知045,1,2===B c b ，则a 的值为 （ ）

Ａ．

226- Ｂ．2

2

6+ Ｃ．12+ Ｄ．23- 解析：B

2.【A 】△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( ) A.3π4B.π3C.π4D.π

6

【解析】在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∵b ＝c ，∴a 2＝2b 2(1－cos A )，又∵a 2＝2b 2(1－sin A )， ∴cos A ＝sin A ，∴tan A ＝1， ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π

4，故选C.

2.【B 】在△ABC 中，若sin A a ＝cos B

b ，则B 的大小为( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

解析：选B 由正弦定理知，sin A sin A ＝cos B

sin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°. 3．【AB 】在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )

A ．有一解

B ．有两解

C ．无解

D ．有解但解的个数不确定

解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝c

sin C ，

∴sin B ＝

b sin C

c ＝40×32

20＝3>1.

∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．

4.【A 】在△ABC 中，已知2a b c =+，2

sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状

A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．等腰直角三角形

D ．正三角形 解：由正弦定理2sin sin sin a b c R A

B

C

===得：sin 2a A R

=，sin 2b B R

=

，sin 2c C R

=

。

所以由2

sin sin sin A B C =可得：2(

)222a b c R R R

=⋅，即：2a bc =。

又已知2a b c =+，所以224()a b c =+，所以24()bc b c =+，即2()0b c -=， 因而b c =。故由2a b c =+得：22a b b b =+=，a b =。所以a b c ==，△ABC 为等边三角形。

4.【B 】在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )

A ．等腰直角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．等腰三角形或直角三角形

解析：选C 正弦定理可得sin A ＝2sin Bcos C ，

因此sin(B ＋C )＝2sin Bcos C ，

即sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝2sin Bcos C ， 于是sin(B －C )＝0，因此B －C ＝0，即B ＝C ，

5.【AB 】已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝22

3，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( )

A ．4π

B ．8π

C ．9π

D ．36π

解析：选C 由余弦定理得b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 2

2ac ＝2.即

b 2＋

c 2－a 2＋a 2＋c 2－b 22c ＝2，整理得c ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝

1

3，再由正弦定理可得2R ＝c

sin C ＝6，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π.

6.【A 】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π

3，则△ABC 的面积是( )

A ．3 B.932 C.332

D ．3 3

解析：选C ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab －6， 又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2ab －62ab ＝1

2，∴ab ＝6， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝33

2.

6.【B 】故△ABC 为等腰三角形3．(2018·南昌模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所

对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为( )

A.12

B.14 C ．1

D ．2

解析：选A 由cos 2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝1

2(负值舍去)，由bc ＝2，可得△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×

12＝1

2.

7.【AB 】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )

A ．a ＝2b

B ．b ＝2a

C ．A ＝2B

D ．B ＝2A

解析：选A 由题意可知sin B ＋2sin Bcos C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )，即2sin Bcos C ＝sin A cos C ，又cos C ≠0，故2sin B ＝sin A ，由正弦定理可知a ＝2b . 8.【A 】已知△ABC 中，AC ＝4，BC ＝27，∠BAC ＝60°，AD ⊥BC 于点D ，则BD CD 的值为________．

解析：在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ，即28＝16＋AB 2－4AB ，解得AB ＝6(AB ＝－2，舍去)，则cos ∠ABC ＝

28＋36－162×27×6＝277，BD ＝AB ·cos ∠ABC ＝6×277＝1277，CD ＝BC －BD ＝27－1277＝27

7，所以BD

CD ＝6.

答案：6