高中数学椭圆性质92条二级结论大全

椭圆性质92条二级结论大全
1.12
2PF PF a += 2.标准方程22
221x y a b += 3.11
1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.
5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长
轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.
9．椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时
A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22
221x y a b
-=.
10．若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.
11．若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线
方程是00221x x y y a b
+=.
12．AB 是椭圆22
221x y a b
+=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-.
13．若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.
14．若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.
15．若PQ 是椭圆22
221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==.
16．若椭圆22
221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1)
22
22
11A B a b +=+
;(2) L =
17．给定椭圆1C ：2
2
2
2
22
b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222
2
22
()a b b x a y ab a b
-+=+,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 2222
002
222(,)a b a b x y a b a b
---++. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'
P 点.
18．设00(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22
221x y a b
+= (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2
斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是2
12211m b k k m a
+⋅=-
⋅-.
19．过椭圆22
221x y a b
+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，
则直线BC 有定向且20
20BC b x k a y =（常数）.
20．椭圆22
221x y a b
+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的
焦点三角形的面积为122
tan 2
F PF S b γ∆=，2(tan )2b P c γ± . 21．若P 为椭圆22
221x y a b +=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,
21PF F β∠=，则tan tan 22
a c a c αβ
-=+.
22．椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c ，
00(,)M x y ).
23．若椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当
11e ≤<时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.
24．P 为椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则
2122||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.
25．椭圆22221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是2222
0222
()a b x a b k -≤+. 26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切
线垂直.
27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 28．P 是椭圆cos sin x a y b ϕϕ
=⎧⎨
=⎩（a ＞b ＞0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是2
2
11sin e ϕ=+. 29．设A,B 为椭圆2222(0,1)x y k k k a b +=>≠上两点，其直线AB 与椭圆22
221x y a b
+=相交于,P Q ,则
AP BQ =.
30．在椭圆22
221x y a b
+=中，定长为2m （o ＜m≤a ）的弦中点轨迹方程为
()222
2222221()cos sin x y m a b a b αα⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦,其中tan bx ay α=-,当0y =时, 90α=o .
31．设S 为椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在椭圆上移动，记|AB|=l ，
00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20max ()2a l x c e =
-222(c a b =-,c
e a
=);当l S <Φ时，有
0max ()x =0min ()0x =.
32．椭圆22221x y a b
+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222
A a
B b
C +≥.
33．椭圆
22
0022
()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.
34．设椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2
中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有
sin sin sin c
e a
αβγ==+. 35．经过椭圆222222
b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相
交于P 1和P 2，则2
1122||||P A P A b ⋅=.
36．已知椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）
2222
1111||||OP OQ a b
+=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +. 37．MN 是经过椭圆222222
b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN
的弦，则2
||2||AB a MN =.
38．MN 是经过椭圆2
2
2
2
22
b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥，则
222
2111
||||a MN OP a b +=+.
39．设椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条
直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：2
a x m
=(或
2
b y m
=)上.
40．设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
41．过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
42．设椭圆方程22221x y a b +=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'
y k x =上,而
且2'
2b kk a
=-.
43．设A 、B 、C 、D 为椭圆22
221x y a b
+=上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD
相交于P,且P 不在椭圆上,则22222222cos sin cos sin PA PB b a PC PD b a ββ
αα⋅+=
⋅+. 44．已知椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为椭圆的焦点，12F PF ∠的外（内）角平分线
为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个椭圆时，R 、S 形成的轨迹方程是
222x y a +=(()()
2
22222
2
222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤+±⎣⎦=+±). 45．设△ABC 内接于椭圆Γ，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与椭圆Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.
46．过椭圆22
221x y a b +=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交
x 轴于P ，则
||||2PF e
MN =. 47．设A （x 1 ,y 1）是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为21
21
b x a y -的直线L ，又设d
是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是A
ab =.
48．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）和22
22x y a b
λ+=（01λ<< ），一直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、
D 四点，则│AB│=|CD│.
49．已知椭圆22
221x y a b +=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点
0(,0)P x , 则2222
0a b a b x a a ---<<.
50．设P 点是椭圆22
221x y a b +=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则
(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122
tan 2
PF F S b θ∆=.
51．设过椭圆的长轴上一点B （m,o ）作直线与椭圆相交于P 、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结AP
和AQ 分别交相应于过H 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则()2
2
22
90()a n m a m MBN a m b n a --∠=⇔=
++o
. 52．L 是经过椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）长轴顶点A 且与长轴垂直的直线，E 、F 是椭圆两个焦点，e 是
离心率,点P L ∈，若EPF α∠=，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||PH b =时取等号）.
53．L 是椭圆22221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）的准线，A 、B 是椭圆的长轴两顶点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，
H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||ab
PH c
=时取等号）.
54．L 是椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）的准线，E 、F 是两个焦点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,
离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且2sin e α≤或2
sin arc e α≤
（当且仅当||PH =号）.
55．已知椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与椭圆相交于A 、B 两点，将A 、B 与
椭圆左焦点F 1连结起来，则2222
112
(2)||||a b b F A F B a -≤⋅≤（当且仅当AB ⊥x 轴时右边不等式取等号，当
且仅当A 、F 1、B 三点共线时左边不等式取等号）.
56．设A 、B 是椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,
PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)222
22|cos |
||s ab PA a c co αα
=-.(2) 2
tan tan 1e αβ=-.(3) 2222
2cot PAB a b S b a γ∆=-.
57．设A 、B 是椭圆22
221x y a b +=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且A x 、B
x 的横坐标2
A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B
引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则180PAB QAB ∠+∠=o
.
58．设A 、B 是椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过
A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，（若
B P 交椭圆于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，
则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2
A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，且180PAB QAB ∠+∠=o ,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.
59．设'
,A A 是椭圆22221x y a b +=的长轴的两个端点，'QQ 是与'
AA 垂直的弦，则直线AQ 与''AQ 的交点P
的轨迹是双曲线22
221x y a b -=.
60．过椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）的左焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD 则
22222
82()
||||ab a b AB CD a b a
+≤+≤+. 61．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）两焦点的距离之比等于a c
b -（
c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹
圆222
()x a y b ±+=.
62．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点的距离之比等于a c
b -（
c 为半焦距）的动点M 的轨迹
是姊妹圆22
2()()a b x y e e ±+=.
63．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为a c
b
-（c 为半焦距）的动点的轨
迹是姊妹圆22
222()()a b x y e e
±+=（e 为离心率）.
64．已知P 是椭圆22221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）上一个动点，'
,A A 是它长轴的两个端点,且
AQ AP ⊥,''
AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a
+=.
65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.
66．设椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）长轴的端点为'
,A A ,11(,)P x y 是椭圆上的点过P 作斜率为2121
b x a y -的直
线l ，过'
,A A 分别作垂直于长轴的直线交l 于'
,M M ,则（1）'
'
2
||||AM A M b =.（2）四边形''MAA M 面积
的最小值是2ab .
67．已知椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交
于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且//BC x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.
68．OA 、OB 是椭圆
22
22()1x a y a b -+=（ a ＞0,b ＞0）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2
2
2
2(,0)ab a b
+.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是22222
2222()()ab ab x y a b a b
-+=++(0)x ≠. 69．(,)P m n 是椭圆
22
22()1x a y a b
-+=（a ＞b ＞0）上一个定点，P A 、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点222222222
2()()
(,)ab m a b n b a a b a b
+--++.（2）以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是
22224222222222222
[()]
()()()
ab a m b n a b n a b x y a b a b a b ++--+-=+++(x m ≠且y n ≠). 70．如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么（1）2
12d d b =，且F 1、
F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相切.（2）212d d b >，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相离，（3）
212d d b <，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和椭圆相交.
71．AB 是椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、
D 两点，则梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是22
2241(0)x y y a b
+=≠.
72．设点00(,)P x y 为椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的内部一定点，AB 是椭圆22
221x y a b
+=过定点00(,)
P x y 的任一弦，当弦AB 平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时22222200max 2
()
(||||)a b a y b x PA PB b -+⋅=.当弦
AB 垂直于长轴所在直线时, 22222200min 2
()
(||||)a b a y b x PA PB a
-+⋅=. 73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a-c. 76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c. 77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成
比例.
81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.
82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.
83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.
84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.
85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e. 86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线. 88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.
89. 已知椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>(包括圆在内)上有一点P ,过点P 分别作直线b y x a =及b y x a
=-的
平行线，与x 轴于,M N ，与y 轴交于,R Q .,O 为原点，则：（1）222
||||2OM ON a +=；（2）222||||2OQ OR b +=.
90. 过平面上的P 点作直线1:b l y x a =
及2:b
l y x a
=-的平行线，
分别交x 轴于,M N ，交y 轴于,R Q .（1）若222||||2OM ON a +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b
+=>>.(2)若222
||||2OQ OR b +=，则P
的轨迹方程是22
221(0,0)x y a b a b +=>>.
91. 点P 为椭圆22
221(0,0)x y a b a b
+=>>(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的
平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线b
y x a
=-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，则：
122
ab S S +=. 92. 点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线b
y x a
=-于,Q R ，
记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，已知122
ab
S S +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b +=>>.
椭圆性质92条证明
1.椭圆第一定义。

2.由定义即可得椭圆标准方程。

3.椭圆第二定义。

4. 如图，设00(,)P x y ，切线PT （即l ）的斜率为k ，1PF 所在直线1l 斜率为1k ，2PF 所在直线2l 斜率为2k 。

4图
5图
由两直线夹角公式12
12
tan 1k k k k θ-=
+得：
()()200
222222222222
00000001222222200100000000000200tan 11b x y b a cx a y x c b x a y b x c a b b cx k k b b x y kk a x y a cy b x y c x y a cy c y cy a cx a y x c
α++++++-======
++-++-⋅
+
()()200
222222222222
000000022222222
00
200000000000200tan 11b x y b a cx a y x c b x a y b x c a b b cx k k b b x y kk a x y a cy b x y c x y a cy c y cy a cx a y x c
β+--+---======+-----⋅-
,0,2παβαβ⎛⎫
∈∴= ⎪⎝⎭
Q 同理可证其它情况。

故切线PT 平分点P 处的外角。

5.如图，延长F 1P 至A ，使PA=PF 2，则2PAF ∆是等腰三角形，AF 2中点即为射影H 2。

则122
F A
OH a ==，同理可得1OH a =，所以射影H 1，H 2的轨迹是以长轴为直径的圆除去两端点。

6.设P ，Q 两点到与焦点对应的准线的距离分别为12,d d ，以PQ 中点到准线的距离为d ，以PQ 为直径的圆的半径为r ，则1222d d PF FQ r
d r
e e
++=
==>，故以PQ 为直径的圆与对应准线相离。

7图
8图
7.如图，两圆圆心距为122
2222
PF a PF PF d OM a a r -==
==-=-，故两圆内切。

8.如图，由切线长定理：11121222FS FT PF PF F F a c +=++=+，11
F S FT a c ==+ 而112FT a c F A =+=，T 与2A 重合，故旁切圆与x 轴切于右顶点，同理可证P 在其他位置情况。

9.
()()()()22
001210020022
,0,0,,,1x y A a A a P x y P x y a b
--+=易知,设,则
()()00112200
:,:y y
A P y x a A P y x a a x a x =
+=-+- 2222222222222
0002222222
22000000,11P P P ay a y a b a y x y a a a x y x P P x x x a b x b x b x a b ⎛⎫-=⇒∴-=-==∴-= ⎪⎝⎭
则点的轨迹方程为
10. Q 000(,)P x y 在椭圆
22221x y a b +=上22
00221x y a b ∴+=，对22
221x y a b
+=求导得：'22220x yy a b +=2'
020b x y a y ∴=- ∴切线方程为()20
0020
b x y y x x a y -=--即22
000022221x x y y x y a b a b +=+=
11.设()()111222,,,P x y P x y ，由10得：01010202
222
21,1x x y y x x y y a b a b
+=+=，因为点12,P P 在直线12P P 上，且同时满足方程00221x x y y a b +=，所以002
1221:P x y a P x y
b
+= 12.()()()112200,,,,,A x y B x y M x y 设2222112222221,1x y x y a b a b +=+=则有作差得：2222
1212
22
0x x y y a b
--+= ()()()()1212121
2220x x x x y y y y a b
-+-+⇒+=()()2222
12012222212120AB AB OM OM b x x b x y y b b k k k x x a y y a y a k a
+-⇒==-=-=-⇒⋅=--+
13.由12可得：()202000
b x x x a y y y ---=222222
00000a y y a y b x x b x ⇒-+-=
2
2
22
2
2000
b x x a y y b x a y ⇒+=+22
0000
2222x x y y x y a b a b
+=+⇒
14. .由12可得：2
200b x x y y y x a
-⋅-=-222222000a y a y y b x b x x ⇒-+-=
2
2
2
2
2
2
00b x a y b x x a y y ⇒+=+22002222x x y y
x y a b a b
++⇒=
15.设()()'
'
cos ,sin ,cos ,sin P a t b t Q a t b t ，则''
sin sin 1cos cos OP OQ b t b t k k a t a t ⋅=⋅=-2'
2tan tan a t t b
∴⋅=- ()()()()
()()
()()222'222'22
122222222222'22'12122'22
2222'222'222'22'222222'
cos cos sin sin 11cos sin cos sin 11tan tan 2tan tan tan tan 2tan cos cos cos cos tan tan a t t b t t r r r r r r a t b t a t b t t t a b a t t b t t b t t t t a b t a b t +++++==++⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭==++()22'42222'422'tan tan tan tan tan t t a a b t t b t t +++
()()()()()2
2222'2222'2222222242222'22'211tan tan 2tan tan 2112tan tan 2tan tan a a b t t a b t t a a b b b a a b a a b t t t t b
⎡⎤⎛⎫++++ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦==
=+++++
16.将直线AB 代入椭圆方程中得：()()222222222210A a B b x Aa x a B b +-+-=
(
)
222
2
2
22
41a B b
A a
B b ∆=+-
，AB =设()()
1122,,,A x y B x y 则2
1222222Aa x x A a B b +=+，()2221222221a B b x x A a B b -=+，()
222122222
1b A a y y A a B b
-=+ OA OB ⊥Q
()22222222121222
11
0x x y y a b a b A B A B
∴+=⇒+=+⇒
+=+
2222
AB A a B b =
=
==
+
17.()I 设椭圆内直角弦AB 的方程为：()y x m k n -=-即y kx m kn =+-。

当斜率k 存在时，代入椭圆C 1方程中得：()()()2
2
2
2
2
22220a k b
x
a k m kn x a m kn
b ⎡⎤++-+--=⎣⎦
设()()1122,,,A x y B x y 得()1222222a k m x x kn a k b +=+--，()2212
2222
a m kn
b a k b x x ⎡⎤--=⎣⎦+
则()()()()01020102PA PB x x x x y y y y ⋅=--+--u u u r u u u r
()()()()2
222
1200120010k x x k n ky x mk x m x k x y n =+-++-+++-=⎡⎤⎦
-⎣ ()()()()()()()()()()()()()()
()()()()()()()22
222222
220000222222222
2
2222222222222
22222222
2200202002222220
1111a m kn b a k m kn a k b a k b m kn a m k k n ky x m kn a b a k b a k b a k b m kn m kn k x y a k b a m kn a k m kn a k m kn a m kn a k k x y k x y k a y b ⎡⎤---++-⎣⎦
--++++--+--+-=⇒⇒++++-++-=⎡⎤⎣⎦⇒++++---++-+()()()()()()()()()()()()2200002222
2222222222
2222222000202220
21k b a k b b m kn m kn b a k m kn a x y y x x y k k b a b m kn a b m kn a k b x y ++++++++----=
⇒++----=+
()()()()()222222220000002222222222222
202222
0222220
a k
b a b a b kmn a b x y x y m a b a b ma k mb k na kn k n k x y x y b ⇒+++++++--+-+--+=
()()()2222222022222222222222
00220200022200020202x n x x x y y m a a b b na b a m y a b ma nb mn a b a b n x b a b a mb a b y y ⎧⎧+-=-=⎪⎪⎪⎪+⇒++⇒⎨⎨-⎪⎪=++-=+=--⎪⎪
+⎩⎩ 即直线AB 过定点2222002
222,a b b a x y a b a b ⎛⎫
-- ⎪++⎝⎭
，此点在C 2上。

当直线斜率不存在时，直线AB 也过C 2上的定
点。

()II 由上可知C 1和C 2上点由此建立起一种一一对应的关系，即证。

18.必要性：设P 1P 2：()00k x m m y y x =-+。

k 存在时，代入椭圆方程中得：
()()()22222222
220000
20a k b x a km y kx x a m y kx a b +-+++-= 设()()111222,,,P x y P x y 得()202222
102a km y kx b x a x k +++=，()2
2222
0012222
a m y kx a
b a k b
x x +-+= ()()()()()()()()()()()()()()()
()
2
201021212122
010212012000002
22
22
000
2
2222
0000001211111211y y y y k x x k m x x m k k x x x x x x x x x x b m kmx y k x m y m b m a m a m kmx y k x y mk m y x y x y m y mk ++---++⋅==---++⎡⎤++-+++⎣⎦
==-⎡⎤-+-++++⎣⎦
k 不存在时，P 1P 2：x=mx 0
则y =
()()()()()()()
2222222220000201222222222
000111111b y y y a m x b x m b m a k k a m x m x m a x m ⎛-- -+⎝⎭⎝⎭⋅====---- 必要性得证。

充分性：设P 1P 2过定点(),q p ，则P 1P 2：y kx p kq =+-。

代入椭圆方程得：
()()()2
2222222220a k b x a k p kq x a p kq a b ++-+--=
设()()111222,,,P x y P x y 得()1222222a k p x x kq a k b +=+--，()2
2222
1222a p kq a x b a b
x k --+= 则()()()()
()()()()2
21020120120122
1020120120y y y y k x x k p kq y x x p kq y k k x x x x x x x x x x --+--++--⋅==---++ ()()()()()()()()
()()()()()()2222222222222222
22002
0022
2222
0002
2222200022211222k k p kq y p kq y x x b a p kq a b a k p kq a k b p kq y p kq y a p kq a b a k p k x m b m a a p kq kx p kq k x y kq a k b ---+--=++⎡⎤---+-+⎣⎦==⋅-⎡⎤---+---+-+-+-⎣⎦
()()()()()()()()()()()()2
2220002222
00022222
00000000002
200000000022000211
220010
200p kq y p kq y k x m m p kq kx p kq k x y k mx q mqx qx k mpx px mqy qy pq mpy py p my q x q mx mx q mqx qx mpx px mqy qy pq mpy py p my ---+-+⇒=--+-+-⇒+--++-+-+-+-=--=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎧+--=⎪
⇒+-+-=⇒⎨⎪-+-=⎩()()()()()()
0000112203px m qy m pq p y my p ⎧⎪++-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎨⎪-+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎩ 注意到m≠1，解（1）（3）得00,p my q mx =-=，代入（2）式，成立。

验证k 不存在的情况，也得到此结论。

故l 过定点()()00,1mx my m -≠，充分性得证。

19. 设AB ：()00k y x y x =--即00y kx y kx =+-
()()()00
222222222
2
000022201
y kx y kx a k b x a k y kx x a y kx b x y a
b =+-⎧⎪⎡⎤⇒++-+--=⎨⎣⎦
+=⎪⎩ ()222222222222200000
0000000222222222
2222222,B B a k kx y a k x a ky b x a k x a ky b x b y a k y b kx x x x B a k b a k b a k b a k b -⎛⎫------⇒+=⇒=⇒ ⎪++++⎝⎭
222222222200000000
222222
2200224,4BC a k x a ky b x b y a k y b kx b kx b x C k a k b a k b a ky a y ⎛⎫+--+∴== ⎪++⎝⎭
同理 20.
由余
弦定理：
()()
()2
2
2
2
2121212
122cos 242cos 1PF PF PF PF c PF PF c PF PF γγ+-=⇒+=++
()22
2
2
121222442cos 1cos 1cos 2
b b a
c PF PF PF PF γγ
γ⇒=++⇒==+
1222
2122222sin cos
1sin 22sin tan 2cos 122cos 2
tan ,tan 22F PF P P P b b S PF PF b c y b b y x P c c γγ
γγγγγγγ∆=====+⎛⎫⇒===± ⎪ ⎪⎝⎭
21.由34：()()
sin sin sin 1sin sin sin 1sin sin sin sin sin sin a c e a c e βααββαγβαγβααβ+-+--+-===
+++++++ ()()()()
2
2
22sin 1cos sin 1cos sin sin sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin 1cos sin 1cos sin
sin
cos sin c 2sin cos 2sin 2sin cos 2sin 22222222222sin cos 2cos 2sin cos 2cos 222222βααββααββαβααββαβααβα
ββαβ
β
ααα
β
ββαααβ-+-+--=
=
+++++++⋅+⋅=
=⋅+⋅os sin 22cos cos sin cos sin cos 222222αββαβααβ⎛
⎫ ⎪
⎝⎭⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
sin
sin
2
2tan tan 22cos cos 22
α
β
αββα=
= 22.由第二定义得：22100200,a a MF e x a ex MF e x a ex c c ⎛⎫
⎛⎫=+=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
23.()1221000211PF PF e
e PF e PF a ex e a ex x a d PF e e
-==⇒=⋅⇒-=+⇒=+ (
](
))
20210,1210110,11,1e
x a e e e e e e e e
-∈∴≤⇒+-≥⇒≥≤--∈∴∈+Q 或
24.22222APF PF AF PA PF AF ∆-≤≤+在中,有
112221122222,2PF PA PF PF AF a AF PF PA PF PF AF a AF A P F ∴+≤++=++≥+-=-都当且仅当、、三点共线时取等号。

25.设椭圆上的点()()1122,,,A x y B x y 关于:l y kx m =+对称，()
''00,M x y 。

由12得：()2'
2'2'220''00002'2'2'
220001,AB
a kx m
b x a y a m b m k k x y a y k b x b x
c k c
+=-=-⇒==⇒=-=- 又M Q 在椭圆内，()2222
2222422
42442
2221a b k m a m b m c k m c k c c k a b k
<+∴+=<⇒+若0m kx =-，则()2
2
24
20
2222
22
a b c
x a b k a b k
<-=++ 26.由5即可得证。

27.设P ()cos ,sin a b ϕϕ，则切线cos sin :1l x y a b ϕϕ
+=，A 2cos ,1sin a b a c c ϕϕ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
27图
30图
()22222cos cos cos cos ,sin ,10sin b b a ab ab FP FA a c b b b FP FA c c c c ϕϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅-=
-+-=∴⊥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭u u u r u u u r
28.()()()22222cos ,sin ,:sin cos cos cos P a b b c a c a c a ϕϕϕϕϕϕ=-+=-设由射影定理有
()()()22222222222
2
2
2
2
2cos sin cos 1sin 1
1sin sin cos 11sin c a a c e e e e ϕϕϕϕϕϕϕϕ
⇒=+-⇒=+-⇒+=+=⇒=
+
29.设()()2222
122222:1,:1,:0x y x y C C k k AB l Ax By C a b a b
+=+=>++=。

联立1,C l 得：
()22222222222
20A a B b x Aa Cx a C a b B +++-=，由韦达定理：222222A B Aa C x x A a B b +=-+
同理22222
2P Q Aa C
x x
B b
+=-+。

则
AP -)
A P
B Q A P B Q x x x x x x --=---
而,A P B Q x x x x --的符号一定相反，故A P B Q x x x x ---=()A B P Q x x x x +-+=0。

所以AP=BQ
30.设()()cos ,sin ,cos ,sin A a b B a b θθϕϕ，()00,M x y 为AB 中点。

则
()()222
2222
2
22
2
2
cos cos sin sin 4sin sin 4cos sin 42
2
2
2
AB a b a b m θϕ
θϕ
θϕ
θϕ
θϕθϕ+-+-=-+-=+=
22
2
22
2
2sin sin cos sin 2
2
2
2
a b m θϕ
θϕ
θϕ
θϕ
+-+-⇒+=
而00cos cos sin sin cos cos ,sin cos
222222
a a
b b x a y b θϕθϕθϕθϕθϕθϕ
++-++-=
=== 设22
sin ,sin 22
A B θϕθϕ-+==，则()()()()2222222
0011,1,1x a A B y b A B m a AB b A B =--=-=+- 解得2022200222200221,y x y b A B x y a b a b ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭+，代入m 2得：2222
00
22222002222220000222
21a y b x x y b a m x y x y a b a
b a b ⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫=-++ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎣⎦++ ⎪⎝⎭ 令00
tan bx
ay α=-得：
()2222
222
220000222
22222
2tan cos sin tan tan 1111x y x y a b m a b a b a b ααααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-++=-++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 所以定长为2m （0＜m≤a ）的弦中点轨迹方程为()222
2222
221()cos sin x y m a b a b αα⎡⎤=-++⎢⎥⎣
⎦。

其中tan bx ay
α=-,当0y =时, 90α=o。

31. 设()()cos ,sin ,cos ,sin A a b B a b ααββ，()00,M x y 为AB 中点。

则：
00cos cos cos cos cos 2222cos 2
x a a x a a αβαβαβαβ
αβ++--=
=⇒=
+ ()()222
22222222cos cos sin sin 4sin sin 4cos sin
2222
AB a b a b αβαβαβαβαβαβ+-+-=-+-=+
2
222222222
2222222222
22222220024sin sin cos 41cos cos 22222cos cos cos
cos 22224cos 24cos 2a b a c l l a a c c x l e x c a a αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ-++-+⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=+=--= ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
-++-⎛⎫⇒-++= ⎪⎝⎭⎛⎫
⎪+⇒-++=≤ ⎪+ ⎪⎝⎭
二次函数y=e 2x 2-mx+a 2与24l y =在[]0,a 内的交点即为x 0的值。

由图易知y=e 2x 2-mx+a 2与2
4
l y =的左交点
为x 0的值。

当m 增大时，x 0减小。

要使x 0最大，则要使m 最小。

2
22
02
cos 22
cos 2
x c cx αβ
αβ
++≥+，此时等号成立时2
0max
0max cos 12
x x c c
αβ
+=
≤⇒≤ 31图
35图
当
此式成立时
2222
2
2
222
0max 0max 0max 0max 244222l l l a l a l y e x mx a e x cx a ex a x e e c e
=-+=⇒-+=⇒-=-⇒=-=-
当20max 22a l a l x c e e c e =-
=-=时：()()()222
242=b l ce a l a ce a
=-⇒=-=Φ通径 当0max x c ≤时：22=b l a ≥Φ∴当2
2=b l a
≥Φ时0max x c ≤，20max 2a l x c e =
-。

当0max x c >时，当2cos 12
αβ+=，即AB 垂直于x 轴时x 0最大。

(
)22
22222222220max 0max 0max 0max 2244414l b l a e x x a c x b l x e b -
-+-=⇒==-⇒=- 考虑到对称性0min 0x =对任意情况均成立。

0min 0x ∴=
，22200max 0max
2
20max 2,=,cos 222,=cos 12x a l b x c l AB c e a c x b x c l AB x a αβαβ⎧⎛⎫+-≤≥Φ=⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎫+><Φ⊥=⎪⎭过焦点，，轴，
32.()()222222
2222222222200
b x a y a b A a B b x a ACx a C B b Ax By C ⎧+=⇒+++-=⎨++=⎩ ()()4222222222222222440a A C a C B b A a B b A a B b C ∆=--+≥⇒+≥
33. ()()222222000
b x x a y y a b
Ax By C ⎧-+-=⎪⎨++=⎪⎩
()()()22222222222222222222200000220
A a
B b x a A
C B b x a ABy x a C a B y B b x a B b a BCy ⇒++-++++-+=
()2
222222222000000002202A a B b A x B y C ABx y ACx BCy Ax By C +≥+++++=+⇒+∆≥ 当000x y ==时，即为32：22222A a B b C +≥
34.由正弦定理得1221
sin sin sin F F PF PF αβγ
==，所以
1212sin 2sin sin 2F F c c e PF PF a a αβγ====++。

35. 设()cos ,sin P a b ϕϕ，则P 点处的切线为cos sin 1x y a b
ϕϕ
+=，
由此可得：()()121cos ,1cos sin sin P P b b
y y ϕϕϕϕ=+=-()22211222
1cos sin b P A P A b ϕϕ
-∴⋅== 36.（1）同15.
（2）由15,36（3）：222222
22222
2211||||||||||||||||4OPQ
OP OQ OP OQ a b OP OQ OP OQ S a b ∆++++=== ()()2
2
22
222222
2
2
22
222222
444||||OPQ
a b S a b a b a b OP OQ a b a b a b a b ∆++⎛⎫+=
≥⋅= ⎪++⎝⎭
∴ （
3）
设
()()
cos ,sin ,cos ,sin P a b Q a b θθϕϕ，
222
2cos cos sin sin 0tan tan a OP OQ a b b
θϕθϕθϕ=-⋅=+=⇒u u u r u u u r
()cos sin 2sin cos sin cos cos sin OPQ a b S OP OQ ab a b θθ
θϕϕθϕϕ∆=⨯==-u u u r u u u r
2222222
4sin cos +sin cos 2sin cos sin cos OPQ
S a b θϕϕθθθϕϕ∆⇒
=-
()()4
24222224
2244242
tan 2tan tan 2tan tan tan =tan 1tan 1tan 1tan a a b b a a b b θθϕθϕθθϕθθ
+++-=+++++ ()4222222242242222422422222222224222min 22
2
2
21211444tan 2tan OPQ OPQ OPQ a a a b a b a a b b a b a b b b S S a S a b a b a b a b a b b
a b S a b θθ∆∆∆-++⎛⎫-+⇒=+≤+=⇒≥⇒≥ ⎪=++⎝⎭
++∴+
37.设cos ,:sin x t MFx AB y t θθθ=⎧∠=⎨=⎩
，椭圆21cos p b p e a ρθ⎛⎫
== ⎪+⎝⎭
37图
38图
则22
22222
22222221cos 1cos 1cos cos sin cos p p p ab ab MN e e e a c a b θθθθθθ
=+===+---+ 将AB 的方程代入椭圆的标准方程中得：222
2222sin cos a b t a b θθ
=+，由参数t 的几何意义可知：
2222
2222
442sin cos a b AB t a MN a b θθ
===+ 38.作半弦OQ ⊥OP ，由37得：2
2
a OQ MN =，由15：
22222111211||||||OP OQ OP a MN a b +=+=+ 39.
设
()()
1122:,,,,l x ty m P x y Q x y =+，将
l
的方程代入椭圆得：
()()2
222222220a
b t y b mty b m a +++-=
由韦达定理得：()2
2221212222222
2,b m a b mt
y y y y a b t a b t
-+=-=++，直线A 1P 的方程为()11y y x a x a =++，直线A 2Q 的方程为()2
2y y x a x a
=--，联立A 1P 和A 2Q 得交点N 的横坐标
()()()()1221
212ty y a m y m a y x a a m y a m y +++-=++-，代入化简：
()()
()()
()()()()2222
2222222222
212122222222
2121222222a a b t y y ab t b tm b ta b m t a a b t y y a x a a m ab mt m a b t y y m a b t y y ab t ⎡⎤+----++-⎣⎦
=
==⎡⎤-++-+--⎣⎦
所以交点一定在直线2
a x m
=上。

同理可证M 在y 轴上的情况。

引理（张角定理）：A,C,B 三点按顺序排列在一条直线上。

直线外一点P 对AC 的张角为α，对CB 的张角为β。

则：
()sin sin sin PC PB PA
αβαβ
+=+
40
图
41图
40.如图，A 为左顶点时，设,PFH MFH θϕ∠=∠=，则,AFP PFM πθθϕ∠=-∠=-
2222,cos a b b p p b FH c FM p c c ae e e a ϕ⎛⎫=-===== ⎪
⎝⎭。

对F-APM 由张角定理：
()()()sin sin sin FP FM FA
πϕπθθϕ---=+
()()()sin sin cos sin cos sin sin sin sin e e e ϕϕθθϕθϕθϕϕθϕ⇒+=+---⇒=-
0θπϕθϕ<<∴=-Q 即FM 平分PFH ∠，同理FN 平分QFH ∠。

90MFN ∴∠=o 即MF ⊥NF
当A 为右顶点时，由39可知左顶点A’与P 、M ；Q 、N 分别共线，于是回到上一种情况。

41.如图，设22,PFA MFA θϕ∠=∠=，则12,A FP PFM A FQ πθθϕ,πθ∠=-∠=-∠=- 对
F-QA 2M
和
F-A 1PM
由
张
角
定
理
：
()()()()()12sin sin sin sin sin sin ,FP FM FA FA FM FQ
πϕπθθϕπθϕπθϕ
----+-=+=+
两式相减并化简得：()()()12
sin sin sin sin sin sin FP FQ FA FA θϕθϕϕϕϕθϕ--+=+⇒=- 0θπϕθϕ<<∴=-Q 即FM 平分2PFA ∠，同理FN 平分2QFA ∠。

90MFN ∴∠=o 即MF ⊥NF
42.由12即可证得。

43.设()00,P x y ，AB ：00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩，CD ：00cos sin x x t y y t β
β=+⎧⎨=+⎩
，将AB 的方程代入椭圆得：
()()()22222222222220000cos sin 2cos sin 0b a t b x a y t b x a y a b αααα+++++-=
由参数
t
的几何意义可知：
222222
00122222
cos sin b x a y a b PA PB t t b a αα
+-⋅==
+，同理
222222002
2
2
2
cos sin b x a y a b PC PD b a ββ
+-⋅=
+
22222222cos sin cos sin PA PB b a PC PD b a ββ
αα
⋅∴+=
⋅+ 44. 对于外角平分线的情况由5即可证得，下仅证l 为内角平分线的情况。

设P ()cos ,sin a b ϕϕ，则0cos sin :
1cos sin 0l x y b a ab a b ϕϕ
ϕϕ+=⇒+-= 则2
:sin cos sin cos 0l a x b y c ϕϕϕϕ--=，1:cos sin cos 0l b x a y bc ϕϕϕ++=
2:cos sin cos 0l b x a y bc ϕϕϕ+-=。

分别联立l 、1l 和l 、2l 得：
()2212222cos sin cos sin cos ,sin cos cos c ac b bc H a b a c ϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎫- ⎪- ⎪+-⎝⎭，()2222222
cos sin cos sin cos ,sin cos cos c ac b bc H a b a c ϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎫
+ ⎪ ⎪++⎝⎭
则12sin cos H ac x c a c ϕϕ+=-，22sin cos H ac x c a c ϕ
ϕ-=-+ 对1H 点：()()tan tan b x c b x c ay ay
ϕϕ++=-⇒=-
sin b x c ϕϕ+∴==，代回1H x c +式得：
()
()
()()2
22
222222221b x c a y b x c b c x c x c acy ac a y b x c a +++++=⇒=++±
()()
()
()()()()
2
2
222
2
2
2
2
2
2
2
22
2
22
222222222a y b x x c b c x c a y b x c a y b x x c c y a y b x c a y b x c a y b x c ⎡⎤+++--+++⎣⎦⇒=
=-⇒=++++++
同理对2H 点得()()2
222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤+-⎣⎦=+-。

故1H 点、2H 点的轨迹方程为()()
2
22222
2
222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤+±⎣⎦=+± 45.由伸缩变换'
a
y y b
=
将椭圆（左图）变为圆（右图）
，椭圆中的共轭直径变为圆中相互垂直的直径。

所证命题变为证CD 与圆O 相切的充要条件是D 为EF 中点。