椭圆与双曲线二级结论
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论椭圆与双曲线对偶结论椭圆双曲线标准方程()222210x ya ba b+=>>焦点()()12,0,,0F c F c-()222210,0x ya ba b-=>>焦点()()12,0,,0F c F c-焦半径1020,PF a ex PF a ex=+=-e为离心率，x为点P的横坐标.1020,PF ex a PF ex a=+=-e为离心率，x为点P的横坐标.焦半径范围a c PF a c-≤≤+P为椭圆上一点，F为焦点.PF a c≥-P为双曲线上一点，F为焦点.通径过焦点与长轴垂直的弦称为通径.通径长为22ba过焦点与实轴垂直的弦称为通径.通径长为22ba如图，直线l过焦点1F与椭圆相交于,A B两点.则2ABF△的周长为4a.（即224F A F B AB a++=）如图，直线l过焦点1F与双曲线相交于,A B两点.则224F A F B AB a+-=.焦点弦倾斜角为α的直线l过焦点F与椭圆相交于,A B两点.焦点弦长()222222sinabABa b bα=-+.最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径.倾斜角为α的直线l过焦点F与双曲线相交于,A B两点.焦点弦长()222222sinabABa b bα=+-.AF与BF 数量关系直线l过焦点F与椭圆相交于,A B两点，则2112aAF BF b+=.直线l过焦点F与双曲线相交于,A B两点，则2112aAF BF b+=.已知点P是椭圆上一点，O坐标原点，则b PO a≤≤.已知点P是双曲线上一点，O坐标原点，则PO a≥.焦三角形如图，P是椭圆上异于长轴端点的一点，已知12F PFθ∠=，12PF Fα∠=，21PF Fβ∠=，则（1）122tan2PF FS bθ=△；（2）离心率sinsin sineθαβ=+.如图，P是双曲线上异于实轴端点的一点，已知12F PFθ∠=，12PF Fα∠=，21PF Fβ∠=，则（1）1222cot2tan2PF FbS bθθ==△；（2）离心率sinsin sineθαβ=-.垂径定理如图，已知直线l与椭圆相交于,A B两点，点M为AB的中点，O为原点，则22OM ABbk ka=-.如图，已知直线l与双曲线相交于,A B两点，点M为AB的中点，O为原点，则22OM ABbk ka=.（注：直线l与双曲线的渐近线相交于,A B两点，其他条件不变，结论依然成立）周角定理如图，已知点,A B椭圆长轴端点（短轴端点），P是椭圆上异于,A B的一点，则22PA PBbk ka=-.推广：如图，已知点,A B是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上异于,A B的一点，若直线,PA PB的斜率存在且不为零，22PA PBbk ka=-如图，已知点,A B双曲线实轴端点，P是双曲线上异于,A B的一点，则22PA PBbk ka=.推广：如图，已知点,A B是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上异于,A B的一点，若直线,PA PB的斜率存在且不为零，22PA PBbk ka=.直线l过焦点(),0F c与椭圆相交于,A B两点，点2,0aPc⎛⎫⎪⎝⎭，则APF BPF∠=∠（即0PA PBk k+=）.直线l过焦点(),0F c与双曲线相交于,A B两点，点2,0aPc⎛⎫⎪⎝⎭，则APF BPF∠=∠（即0PA PBk k+=）.切线方程已知点()00,P x y是椭圆上一点，则椭圆在点P处的切线方程为00221x x y ya b+=.已知点()00,P x y是双曲线上一点，则双曲线在点P处的切线方程为00221x x y ya b-=.1．过定点（定点在双曲线外且不在渐近线上）的直线与双曲线交点个数问题：设斜率为k 的直线l 过定点()()0,0P t t ≠，双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，过点P 与双曲线相切时的斜率为0k . （1）当0bk a≤<时，直线l 与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的两支上； （2）当bk a=时，直线l 与双曲线只有一个交点； （3）当0bk k a<<时，直线l 与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的同一支上； （4）当0k k =时，直线l 与双曲线只有一个交点； （5）当0k k >时，直线l 与双曲线没有交点.2．如图，(),0F c 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点，过点F 作FH 垂直双曲线的其中一条渐近线，垂足为H ，O 为原点，则,OH a FH b ==.3．点P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上任意一点，则点P 到双曲线的渐近线的距离之积为定值2222a b a b +.4．点P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上任意一点，过点P 作双曲线的渐近线的平行线分别与渐近线相交于,M N 两点，O 为原点，则平行四边形OMPN 的面积为定值2ab.如图，抛物线方程为()20y px p =>，准线2p x =-与x 轴相交于点P ，过焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与抛物线相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，O 为原点，直线l 的倾斜角为α.1．212212,4.p x x y y p ⎧=⎪⎨⎪=-⎩2．焦半径：12p AF x =+，22pBF x =+，12AB x x p =++. 3．焦点弦：22sin p AB α=. 4．,AF BF 的数量关系：112AF BF p +=，22sin p AF BF α⋅=. 5．三角形AOB 的面积22sin AOBp S α=△. 6．以焦点弦AB 为直径的圆与准线相切；以焦半径AF 为直径的圆与y 轴相切. 7．直线,PA PB 的斜率之和为零（0PA PB k k +=），即APF BPF ∠=∠. 8．点,,A O N 三点共线；点,,B O M 三点共线.9．如图，点,A B 是抛物线()20y px p =>，O 为原点，若90AOB ∠=，则直线AB 过定点()2,0p .。
微重点 椭圆、双曲线的二级结论的应用
微重点 椭圆、双曲线的二级结论的应用椭圆、双曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．考点一 焦点三角形核心提炼焦点三角形的面积公式：P 为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，F 1，F 2且∠F 1PF 2＝θ， 则椭圆中12PF F S △＝b 2·tan θ2，双曲线中12PF F S △＝b 2tan θ2.例1 (2022·临川模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率为e ＝12，点P 为该椭圆上一点，且满足∠F 1PF 2＝π3，已知△F 1PF 2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．12 答案 D解析 由e ＝12，得c a ＝12，即a ＝2c .①设△F 1PF 2的内切圆的半径为r ， 因为△F 1PF 2的内切圆的面积为3π， 所以πr 2＝3π，解得r ＝3(舍负)，在△F 1PF 2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式， 知12F PF S △＝b 2tan ∠F 1PF 22＝12r (2a ＋2c )，即33b 2＝3(a ＋c )，② 又a 2＝b 2＋c 2，③联立①②③得c ＝3，a ＝6，b ＝33， 所以该椭圆的长轴长为2a ＝2×6＝12. 易错提醒 (1)要注意公式中θ的含义．(2)椭圆、双曲线的面积公式不一样，易混淆．跟踪演练1 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62答案 D解析 设双曲线C 2的方程为x 2a 22－y 2b 22＝1，则有a 22＋b 22＝c 22＝c 21＝4－1＝3.又四边形AF 1BF 2为矩形， 所以△AF 1F 2的面积为b 21tan 45°＝b 22tan 45°， 即b 22＝b 21＝1.所以a 22＝c 22－b 22＝3－1＝2.故双曲线的离心率e ＝c 2a 2＝32＝62. 考点二 焦半径的数量关系核心提炼焦半径的数量关系式：直线l 过焦点F 与椭圆相交于A ，B 两点，则1|AF |＋1|BF |＝2ab 2，同理，双曲线中，1|AF |＋1|BF |＝2ab 2.例2 已知双曲线C 的左、右焦点分别为F 1(－7，0)，F 2(7，0)，过F 2的直线与C 的右支交于A ，B 两点．若AF 2--→＝2F 2B --→，|AB |＝|F 1B |，则双曲线C 的方程为________． 答案 x 23－y 24＝1解析 如图，令|F 2B |＝t ，则|AF 2|＝2t ，∴|AB |＝3t ，|F 1B |＝3t ， 又1|AF 2|＋1|BF 2|＝2a b2， ∴12t ＋1t ＝2a b 2， 即32t ＝2a b2， 又|F 1B |－|F 2B |＝2a ，∴3t －t ＝2a ，∴2t ＝2a ，∴t ＝a ， ∴32a ＝2ab 2，即3b 2＝4a 2， 又c ＝7，∴a 2＋b 2＝7， 解得b 2＝4，a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 24＝1.易错提醒 公式的前提是直线AB 过焦点F ，焦点F 不在直线AB 上时，公式不成立． 跟踪演练2 已知椭圆C ：x 216＋y 24＝1，过右焦点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且|AF 2|＝2，则|AB |＝______，cos ∠F 1AB ＝________. 答案 83 －13解析 由椭圆方程知a ＝4，b ＝2，|AF 2|＝2，又1|AF 2|＋1|BF 2|＝2a b2， 即12＋1|BF 2|＝84， 解得|BF 2|＝23，∴|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝83，由椭圆定义知|AF 1|＝8－2＝6，|BF 1|＝8－23＝223，在△AF 1B 中，由余弦定理，得 cos ∠F 1AB ＝62＋⎝⎛⎭⎫832－⎝⎛⎭⎫22322×6×83＝－13.考点三 周角定理核心提炼周角定理：已知点P 为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A ，B 为长轴(或实轴)端点，则椭圆中k P A ·k PB ＝－b 2a 2，双曲线中k P A ·k PB ＝b 2a2.例3 已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左、右两个顶点为A ，B ，点M 1，M 2，…，M 5是AB 的六等分点，分别过这五点作斜率为k (k ≠0)的一组平行线，交椭圆C 于P 1，P 2，…，P 10，则直线AP 1，AP 2，…，AP 10，这10条直线的斜率乘积为( ) A ．－116B ．－132C.164D.11 024答案 B解析 由椭圆的性质可得11·AP BP k k＝22·AP BP k k ＝－b 2a2＝－12.由椭圆的对称性可得11010111012·.BP AP BP AP AP AP k k k k k k =-＝，＝，同理可得293847561····=.2AP AP AP AP AP AP AP AP k k k k k k k k -＝＝＝∴直线AP 1，AP 2，…，AP 10这10条直线的斜率乘积为⎝⎛⎭⎫－125＝－132. 规律方法 周角定理的推广：A ，B 两点为椭圆(双曲线)上关于原点对称的两点，P 为椭圆(双曲线)上异于A ，B 的任一点，则椭圆中k P A ·k PB ＝－b 2a 2，双曲线中k P A ·k PB ＝b 2a2.跟踪演练3 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上、下顶点分别为A ，B ，直线AF 2与该椭圆交于A ，M 两点，若∠F 1AF 2＝90°，则直线BM 的斜率为( ) A.13 B.12 C ．－1 D ．－12 答案 B解析 ∵∠F 1AF 2＝90°，∴△F 1AF 2为等腰直角三角形，∴b ＝c ， ∴a 2＝2b 2＝2c 2， ∴b 2a 2＝12， 且∠AF 2O ＝45°，∴k MA ＝－1， 又k MA ·k MB ＝－b 2a 2＝－12，∴k MB ＝12.考点四 过圆锥曲线上点的切线方程核心提炼已知点P (x 0，y 0)为椭圆(或双曲线)上任一点，则过点P 与圆锥曲线相切的切线方程为椭圆中x 0xa 2＋y 0y b 2＝1，双曲线中x 0x a 2－y 0y b2＝1.例4 已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1.如图，设直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝R 2(1<R <2)相切于点A ，与椭圆C 相切于点B ，则|AB |的最大值为________．答案 1解析 连接OA ，OB ，如图所示．设B (x 0，y 0)，所以过点B 与椭圆相切的直线方程为x 0x4＋y 0y ＝1，即x 0x ＋4y 0y －4＝0， 又R 2＝|OA |2＝16x 20＋16y 20， R 为圆半径，R ∈(1,2)，|AB |2＝|OB |2－R 2＝x 20＋y 20－16x 20＋16y 20， 又x 24＋y 20＝1， 所以x 20＝4－4y 20， 所以|AB |2＝4－3y 20－43y 20＋1＝5－(3y 20＋1)－43y 20＋1≤5－24＝1， 当且仅当3y 20＋1＝43y 20＋1， 即y 20＝13，x 20＝83时，等号成立， 所以|AB |max ＝1， 此时R 2＝16x 20＋16y 20＝2， 即R ＝2∈(1,2)， 故当R ＝2时，|AB |max ＝1.规律方法 (1)该切线方程的前提是点P 在圆锥曲线上．(2)类比可得过圆(x －a )2＋(y －b )2上一点P (x 0，y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )·(y －b )＝1.跟踪演练4 已知F 为椭圆C ：x 23＋y 22＝1的右焦点，点A 是直线x ＝3上的动点，过点A 作椭圆C 的切线AM ，AN ，切点分别为M ，N ，则|MF |＋|NF |－|MN |的值为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 答案 D解析 由已知可得F (1,0)， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (3，t )则切线AM ，AN 的方程分别为x 1x 3＋y 1y2＝1，x 2x 3＋y 2y2＝1， 因为切线AM ，AN 过点A (3，t )， 所以x 1＋ty 12＝1，x 2＋ty 22＝1，所以直线MN 的方程为x ＋ty2＝1，因为F (1,0)， 所以1＋t ×02＝1，所以点F (1,0)在直线MN 上， 所以M ，N ，F 三点共线， 所以|MF |＋|NF |－|MN |＝0.专题强化练1．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点P 作双曲线C 的切线l ，若直线OP 与直线l 的斜率均存在，且斜率之积为25，则双曲线C 的离心率为( )A.295B.303C.355D.305答案 C解析 设P (x 0，y 0)，由于双曲线C 在点P (x 0，y 0)处的切线方程为xx 0a 2－yy 0b 2＝1，故切线l 的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0，因为k ·k OP ＝25，则b 2x 0a 2y 0·y 0x 0＝25，则b 2a 2＝25， 即双曲线C 的离心率e ＝1＋25＝355. 2．(2022·保定模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l ：y ＝kx (k ≠0)与C 交于M ，N 两点，且四边形MF 1NF 2的面积为8a 2.若点M 关于点F 2的对称点为M ′，且|M ′N |＝|MN |，则C 的离心率是( ) A. 3 B. 5 C ．3 D ．5 答案 B解析 如图，由对称性知MN 与F 1F 2互相平分，∴四边形MF 2NF 1为平行四边形， ∵F 2为MM ′的中点，且|MN |＝|M ′N |， ∴NF 2⊥MF 2，∴四边形MF 2NF 1为矩形， ∴1224NF F S a △＝，又12NF F S △＝b 2tan π4＝4a 2，即b 2＝4a 2，∴c 2－a 2＝4a 2，即c 2＝5a 2，即e ＝ca＝ 5.3．椭圆C ：x 29＋y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作直线交椭圆于A ，B 两点，且AF 2--→＝2F 2B --→，则△AF 1B 的外接圆面积为( ) A.5π2 B ．4π C ．9π D.25π4答案 D解析 如图，a ＝3，b ＝2，c ＝5，令|F 2B |＝t ，则|AF 2|＝2t ， ∵1|AF 2|＋1|BF 2|＝2a b2， ∴1t ＋12t ＝32⇒t ＝1， ∴|BF 2|＝1，|AF 2|＝2，由椭圆定义知|BF 1|＝5，|AF 1|＝4，∴△ABF 1中，|AB |＝3，|AF 1|＝4，|BF 1|＝5， ∴AF 1⊥AB ，∴△ABF 1外接圆半径R ＝|BF 1|2＝52，其面积为25π4.4．(2022·石家庄模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过原点O 的直线交C 于A ，B两点(点B 在右支上)，双曲线右支上一点P (异于点B )满足BA →·BP →＝0，直线P A 交x 轴于点D ，若∠ADO ＝∠AOD ，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B ．2 C. 3 D ．3 答案 A 解析 如图，∵BA →·BP →＝0，∴BA ⊥BP ，令k AB ＝k ， ∵∠ADO ＝∠AOD ， ∴k AP ＝－k AB ＝－k ， 又BA ⊥BP ，∴k PB ＝－1k ，依题意知k PB ·k P A ＝b 2a 2，∴－1k ·(－k )＝b 2a 2，∴b 2a2＝1，即e ＝ 2. 5．(多选)(2022·济宁模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 是C 上异于A 1，A 2的一点，则下列结论正确的是( )A ．若C 的离心率为12，则直线P A 1与P A 2的斜率之积为－43B ．若PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为b 2C ．若C 上存在四个点P 使得PF 1⊥PF 2，则C 的离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，22 D ．若|PF 1|≤2b 恒成立，则C 的离心率的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，35 答案 BD解析 设P (x 0，y 0)，所以x 20a 2＋y 20b2＝1，∵e ＝c a ＝12，∴a ＝2c ，∴a 2＝43b 2，∴12·PA PA k k ＝－b 2a 2＝－34， ∴选项A 错误；若PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为b 2tan π4＝b 2，∴选项B 正确；若C 上存在四个点P 使得PF 1⊥PF 2，即C 上存在四个点P 使得△PF 1F 2的面积为b 2， ∴12·2c ·b >b 2，∴c >b ，∴c 2>a 2－c 2， ∴e ∈⎝⎛⎭⎫22，1，∴选项C 错误；若|PF 1|≤2b 恒成立，∴a ＋c ≤2b ， ∴a 2＋c 2＋2ac ≤4b 2＝4(a 2－c 2)， ∴5e 2＋2e －3≤0，∴0<e ≤35，∴选项D 正确．6．(多选)(2022·广州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A 1，A 2，P 为双曲线的左支上一点，且直线P A 1与P A 2的斜率之积等于3，则下列说法正确的是( ) A ．双曲线C 的离心率为2B ．若PF 1⊥PF 2，且12PF F S △＝3，则a ＝2C ．以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆外切D ．若点P 在第二象限，则∠PF 1A 2＝2∠P A 2F 1 答案 ACD解析 对于A ，设P (x ，y )，则y 2＝b 2⎝⎛⎭⎫x 2a 2－1，因为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，所以12·PA PA k k ＝b 2a 2＝3， 得e ＝1＋b 2a2＝2，故A 正确； 对于B ，因为c a＝2， 所以c ＝2a ，根据双曲线的定义可得|PF 2|－|PF 1|＝2a ，又因为PF 1⊥PF 2，所以△PF 1F 2的面积为b 2tan π4＝b 2＝3， 又b 2a2＝3，所以a ＝1，故B 错误； 对于C ，设PF 1的中点为O 1，O 为原点．因为OO 1为△PF 1F 2的中位线，所以|OO 1|＝12|PF 2|＝12(|PF 1|＋2a )＝12|PF 1|＋a ， 则可知以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆外切，故C 正确；对于D ，设P (x 0，y 0)，则x 0<－a ，y 0>0.因为e ＝2，所以c ＝2a ，b ＝3a ，则渐近线方程为y ＝±3x ，所以∠P A 2F 1∈⎝⎛⎭⎫0，π3， ∠PF 1A 2∈⎝⎛⎭⎫0，2π3. 又tan ∠PF 1A 2＝y 0x 0＋c ＝y 0x 0＋2a， tan ∠P A 2F 1＝－y 0x 0－a， 所以tan 2∠P A 2F 1＝－2y 0x 0－a 1－⎝⎛⎭⎫y 0x 0－a 2 ＝－2y 0(x 0－a )(x 0－a )2－y 20 ＝－2y 0(x 0－a )(x 0－a )2－b 2⎝⎛⎭⎫x 20a 2－1＝－2y 0(x 0－a )(x 0－a )2－3a 2⎝⎛⎭⎫x 20a 2－1 ＝－2y 0(x 0－a )(x 0－a )2－3(x 20－a 2) ＝y 0x 0＋2a ＝tan ∠PF 1A 2， 因为2∠P A 2F 1∈⎝⎛⎭⎫0，2π3， 所以∠PF 1A 2＝2∠P A 2F 1，故D 正确． 7．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上存在两点M ，N 关于直线l ：x －y ＋1＝0对称，且线段MN 中点的纵坐标为－13，则椭圆的离心率e ＝________. 答案 32解析 如图，设MN 的中点为Q ，∴y Q ＝－13， ∴x Q ＝y Q －1＝－43， ∴Q ⎝⎛⎭⎫－43，－13，∴k OQ ＝14， M ，N 关于直线l 对称，∴MN ⊥l ，∴k MN ＝－1，由点差法可得k MN ＝－b 2a 2·x Q y Q， 又k OQ ＝y Q x Q， ∴k OQ ·k MN ＝－b 2a2， ∴14×(－1)＝－b 2a 2，∴b 2a 2＝14， 即a 2＝4b 2＝4(a 2－c 2)，即3a 2＝4c 2，∴e ＝32. 8.(2022·成都模拟)经过椭圆x 22＋y 2＝1中心的直线与椭圆相交于M ，N 两点(点M 在第一象限)，过点M 作x 轴的垂线，垂足为点E ，设直线NE 与椭圆的另一个交点为P ，则cos ∠NMP 的值是________．答案 0解析 设M (x 1，y 1)(x 1>0，y 1>0)，P (x 0，y 0)，则N (－x 1，－y 1)，E (x 1，0)，所以k MN ＝y 1x 1，k PN ＝k EN ＝y 1＋y 0x 1＋x 0＝y 12x 1， k PM ＝y 1－y 0x 1－x 0， k PN ×k PM ＝y 1－y 0x 1－x 0·y 1＋y 0x 1＋x 0＝y 21－y 20x 21－x 20＝－12， 所以k PN ＝－12k PM ＝y 12x 1， 所以k PM ＝－x 1y 1. 所以k MN ×k PM ＝y 1x 1×⎝⎛⎭⎫－x 1y 1＝－1， 所以MN ⊥MP ，所以cos ∠NMP ＝cos π2＝0.。
高中数学圆锥曲线二级结论大全
高中数学圆锥曲线二级结论大全高中数学圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，涵盖了椭圆、双曲线和抛物线三种曲线的性质和应用。
本文将为大家总结并介绍圆锥曲线的二级结论，包括椭圆、双曲线和抛物线的定义、特点、性质以及相关的公式和图像。
一、椭圆1. 定义：椭圆是平面上到两个固定点F1、F2的距离之和为常数2a的点的轨迹。
称F1、F2为椭圆的焦点，连结两焦点的线段称为主轴，垂直于主轴且通过椭圆中心的直线称为次轴，主轴的长度2a称为椭圆的长轴。
2. 特点：（1）椭圆的离心率e小于1；（2）对称性：椭圆关于椭圆的长轴、短轴的对称轴对称；（3）椭圆的焦距等于长轴的一半，即F1F2 = 2ae = 2a；（4）椭圆的直径与长轴和短轴之间满足关系d = √(a² - b²)，其中d为椭圆上两个焦点的距离。
3. 公式和图像：椭圆的标准方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标。
椭圆的图像为平面上一个闭合的曲线，长轴与x轴平行或与y轴平行，短轴在y轴或x轴上。
椭圆沿长轴上下对称。
二、双曲线1. 定义：双曲线是平面上到两个固定点F1、F2的距离之差为常数2a的点的轨迹。
称F1、F2为双曲线的焦点，连结两焦点的线段称为主轴，垂直于主轴且通过双曲线中心的直线称为次轴，主轴的长度2a称为双曲线的长轴。
2. 特点：（1）双曲线的离心率e大于1；（2）对称性：双曲线关于双曲线的长轴、短轴的对称轴对称；（3）双曲线的焦距等于长轴的一半，即F1F2 = 2ae = 2a；（4）双曲线的直径与长轴和短轴之间满足关系 d = √(a² + b²)，其中d为双曲线上两个焦点的距离。
3. 公式和图像：双曲线的标准方程为(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为双曲线的中心坐标。
圆锥曲线中的几个常用二级结论
结论 2 椭圆、双曲线共焦点
已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝θ，e1， e2 分别是椭圆和双曲线的离心率，则sien2122θ＋coes2222θ＝1．
2 (1)已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为 F1，F2，记它们其中的一个交点为 P，
且∠F1PF2＝23π，则该椭圆离心率 e1 与双曲线离心率 e2 必定满足的关系式为( C )
点，F1，F2 分别为左、右焦点，若∠F1PF2＝θ，∠PF1F2＝α，∠PF2F1
＝β，则
S△PF1F2＝ b2θ，离心率 tan2
e＝|sinαs－inθsinβ|x22＋by22＝1(a＞b＞0)上的一点，F1，F2 分别为左、右焦点，若 P→F1·P→F2＝0，tan∠PF1F2＝12，则椭圆的离心率为___3_5__．
【解析】 因为 tan∠PF1F2＝12，P→F1·P→F2＝0，所以 sin∠PF1F2＝sinα＝ 15，sin∠PF2F1
＝sinβ＝
25，sin∠F1PF2＝sinθ＝1，所以
e＝sinαs＋inθsinβ＝
1
1 ＋
2
＝
35．
55
3 (2)已知 F1，F2 是双曲线x42－y2＝1 的两个焦点，点 P 在双曲线上，且P→F1· P→F2＝0，则△PF1F2 的面积为__1___．
2 (2)已知 F1，F2 为椭圆 C1：ax221＋by221＝1(a1＞b1＞0)与双曲线 C2：ax222－by222＝1(a2＞
0，b2＞0)的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且∠F1MF2＝π3，e1，e2 分别为 C1，
C2 的离心率，则 e1e2 的最小值为
( A)
高中数学课件-拓展视野13 椭圆、双曲线中的二级结论
(2)双曲线ax22－by22＝1(a，b>0)的焦半径公式
|PF1|＝|ex0＋a|，|PF2|＝|ex0－a|，F1，F2 分别为双曲线的左右焦点，P(x0，
y0)为双曲线上任意一点.
3
3.双曲线的渐近线的相关结论 (1)若双曲线的渐近线方程为 y＝±bax(a＞0，b＞0)，即ax±by＝0，则双曲 线的方程可设为ax22－by22＝λ(λ≠0). (2)双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长 b. (3)双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的渐近线 y＝±bax 的斜率 k 与离心率 e 的关系：e＝ 1＋（ba）2＝ 1＋k2.
5
(2)若 P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2 分别为双曲 线的左、右焦点，则 S△PF1F2＝ b2θ，其中 θ 为∠F1PF2.
tan2
6
典例 (1)双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±2x，则该双
曲线的离心率为( D )
35
A.5
B. 5
5 C. 2
13
尝试训练 2 已知双曲线1x62 －y92＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，若在 双曲线的右支上有一个点 P，满足|PF1|＝3|PF2|，则点 P 的横坐标为 ________.
设点 P 的横坐标为 x0，由双曲线焦半径公式有 |PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝ex0－a， 结合条件|PF1|＝3|PF2|， 则 ex0＋a＝3(ex0－a)， 又 a＝4，c＝5，可得 e＝54，所以 x0＝352. 答案：352
的双曲线方程是( D ) A1x82 －1y22 ＝1
B.1x22 －1y82 ＝1
C.1y82 －1x22 ＝1
圆锥曲线的常用二级结论
圆锥曲线的常用二级结论圆锥曲线是由平面上一固定点（焦点）和一条固定直线（准线）构成的几何图形。
它们包括椭圆、双曲线和抛物线。
在学习圆锥曲线的过程中，常用的二级结论有以下几个：一、椭圆的性质1. 椭圆的离心率小于1：椭圆是由一个固定点（焦点）到平面上所有点到另一个固定点（焦点）的距离之和等于一个常数的所有点构成的集合。
这个常数就是椭圆的长轴长度，而短轴长度等于长轴长度乘以离心率。
因此，椭圆的离心率小于1。
2. 椭圆的两个焦点在长轴上：椭圆的两个焦点与长轴垂直，并且它们都在长轴上。
3. 椭圆是对称图形：椭圆具有对称性，即如果将它绕着中心旋转180度，它仍然保持不变。
4. 椭圆的周长公式：设椭圆长轴为2a，短轴为2b，则椭圆周长公式为C=π(a+b)。
二、双曲线的性质1. 双曲线的离心率大于1：双曲线是由一个固定点（焦点）到平面上所有点到另一个固定点（焦点）的距离之差等于一个常数的所有点构成的集合。
这个常数就是双曲线的长轴长度，而短轴长度等于长轴长度乘以离心率。
因此，双曲线的离心率大于1。
2. 双曲线有两条渐近线：双曲线有两条渐近线，它们与双曲线趋近于无限远时重合。
3. 双曲线不具有对称性：与椭圆不同，双曲线不具有对称性。
4. 双曲线的渐近线方程：设双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，则它的两条渐近线方程分别为y=±(b/a)x。
三、抛物线的性质1. 抛物线是对称图形：抛物线具有轴对称性，即如果将它绕着轴旋转180度，它仍然保持不变。
2. 抛物线焦点和准线相等距离：抛物线是由平面上所有点到一条直线（准线）的距离等于这些点到一个固定点（焦点）的距离的所有点构成的集合。
它的焦点和准线相等距离。
3. 抛物线方程：设抛物线方程为y=ax^2+bx+c，则它的焦点坐标为(-b/2a,1/4a)，准线方程为y=-1/4a。
4. 抛物线与直线交点坐标：如果抛物线与直线y=kx+m相交，则交点坐标为(x,y)=(k^2a+bk+c-m,-ka^2-kb+m)。
数学解析几何二级结论公式
数学解析几何二级结论公式一、椭圆部分。
1. 焦半径公式。
- 对于椭圆frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，设F_1,F_2为左右焦点，P(x,y)为椭圆上一点。
- 当P在椭圆上时，| PF_1|=a + ex，| PF_2|=a - ex（其中e=(c)/(a)，c=√(a^2)-b^{2}）。
- 对于椭圆frac{y^2}{a^2}+frac{x^2}{b^2} = 1(a>b>0)，设F_1,F_2为上下焦点，P(x,y)为椭圆上一点。
- | PF_1|=a+ey，| PF_2|=a - ey（其中e=(c)/(a)，c=√(a^2)-b^{2}）。
2. 椭圆的切线方程。
- 过椭圆frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1上一点P(x_0,y_0)的切线方程为frac{x_0x}{a^2}+frac{y_0y}{b^2} = 1。
- 过椭圆frac{y^2}{a^2}+frac{x^2}{b^2} = 1上一点P(x_0,y_0)的切线方程为frac{y_0y}{a^2}+frac{x_0x}{b^2} = 1。
3. 中点弦结论（点差法）- 设椭圆frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，弦AB的中点为M(x_0,y_0)。
- 设A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，将A、B两点代入椭圆方程相减得：k_AB=-frac{b^2x_0}{a^2y_0}（k_AB为弦AB的斜率）。
二、双曲线部分。
1. 焦半径公式。
- 对于双曲线frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2} = 1，设F_1,F_2为左右焦点，P(x,y)为双曲线上一点。
- 当P在双曲线右支上时，| PF_1|=ex + a，| PF_2|=ex - a（其中e=(c)/(a)，c=√(a^2)+b^{2}）。
圆锥曲线常用的二级结论和椭圆与双曲线对偶结论
圆锥曲线常用的二级结论：
1.零点定理：设F1，F2为椭圆E的两个焦点，P为椭圆上一点，则PF1 + PF2 = 2a（a
为椭圆长轴的一半）;对于双曲线，PF1 - PF2 = 2a，其中a为双曲线的长轴的一半。
2.切线定理：设点P（x0，y0）在曲线C上，则C在点P处的切线方程为F_x（x0，y0）
x + F_y（x0，y0）y = F（x0，y0），其中F（x，y）为曲线C的方程，F_x和F_y为它的偏导数。
3.法线定理：设点P（x0，y0）在曲线C上，则C在点P处的法线方程为F_y（x0，y0）
x - F_x（x0，y0）y = F_y（x0，y0）x0 - F_x（x0，y0）y0。
4.离心率计算公式：设椭圆E的长轴为a，短轴为b，则椭圆的离心率为e = √（a² - b²）
/ a。
5.弦长定理：对于椭圆E，设以焦点F1，F2为端点的弦所对应的直角顶点为P，则弦PF1
+ PF2的长度等于椭圆长轴的长度;对于双曲线，弦PF1 - PF2的长度等于双曲线长轴的长度。
椭圆与双曲线的对偶结论：
1.椭圆E的对称中心为它所包围的正方形的中心，长、短半轴分别为正方形的对角线之
一和另外一边。
2.椭圆的纵轴端点为它所包围正方形的中心连通它上下角的一条直线，椭圆的焦点在这
条直线上。
3.双曲线的渐近线为对应椭圆的渐近线的转置。
4.对于椭圆E的焦点F和双曲线H的焦距f，有e² = 1 + f² / b²。
把椭圆的参数a，b
换成双曲线的参数a，b，即可得到双曲线的离心率计算公式。
圆锥曲线二级结论大全及证明过程简单
【前言】圆锥曲线是高等数学中的一个重要概念，广泛应用于物理、工程、几何等各个领域。
在学习圆锥曲线的过程中，掌握其二级结论以及相应的证明过程是非常重要的，可以帮助我们深入理解圆锥曲线的性质和特点。
本文将对圆锥曲线的二级结论进行全面总结，并给出简单的证明过程，以帮助读者更好地掌握这一知识点。
【一、椭圆的二级结论及证明】1. 椭圆的定义和性质椭圆是平面上一点到两个定点的距离之和为常数的轨迹，具有如下的性质：（1）椭圆的离心率小于1；（2）椭圆是凸曲线，任何一条与椭圆相交的直线最多有两个交点；（3）椭圆的两个焦点到任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
2. 椭圆的二级结论（1）椭圆的焦点到椭圆上任意一点的切线长度之和等于椭圆的长轴长度。
证明：设椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$为长轴的一半，$b$为短轴的一半。
设椭圆上一点为$P(x_0,y_0)$，过点$P$作椭圆的切线，设切点为$Q(x,y)$，则切线的斜率为$k=\frac{y_0}{x_0}$。
椭圆的斜率为$\frac{dy}{dx}=-\frac{x_0}{y_0}\cdot\frac{a^2}{b^2}$。
切线的方程为$y-y_0=-\frac{x_0}{y_0}\cdot\frac{a^2}{b^2}(x-x_0)$。
设椭圆的焦点为$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，其中$c^2=a^2-b^2$，则焦点$F_1$到点$P$的距离为$d_1=\sqrt{(x_0+c)^2+y_0^2}$，焦点$F_2$到点$P$的距离为$d_2=\sqrt{(x_0-c)^2+y_0^2}$。
根据切线的性质，焦点到切点的距离之和等于椭圆的长轴长度，即$d_1+d_2=2a$。
（2）椭圆上两点到椭圆的两个焦点的距离之和相等。
证明：设椭圆上两点分别为$P_1(x_1,y_1)$和$P_2(x_2,y_2)$，椭圆的焦点为$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$。
高考数学圆锥曲线常用二级结论——帮你节省解题时间(精)
高考数学圆锥曲线常用二级结论——帮你节省解题时间(精)高考数学中，平面解析几何是一个重要的考点。
其中，二级结论是解题的关键。
本文将介绍椭圆和双曲线的常用二级结论，帮助考生节省解题时间。
椭圆的参数方程为 $x=acos\theta。
y=bsin\theta$，其中$a>b>0$。
椭圆的焦半径公式为$PF_1=PF_2=\sqrt{a^2-b^2}$。
焦点三角形的面积为 $S=b^2tan\angle PFF_1/2$，特别地，若$FF_1\perp P_1P_2$，则面积为 $b^2/2$。
当 $c\geq b$ 时，椭圆上存在点 $P$，使得 $PFF_1\perp P_1P_2$。
椭圆的内部满足 $x^2/a^2+y^2/b^21$。
椭圆上一点处的切线方程为$xx_0/a^2+yy_0/b^2=1$，外一点处的切线方程为$xx_0/a^2+yy_0/b^2=1$。
椭圆与直线 $Ax+By=c$ 相切的条件是 $A^2/a^2+B^2/b^2=1$。
双曲线的参数方程为 $x=asec\theta。
y=b\tan\theta$，其中$a>b>0$。
双曲线的焦半径公式为$PF_1=PF_2=\sqrt{a^2+b^2}$。
双曲线的内部满足 $x^2/a^2-y^2/b^2>1$，外部满足 $x^2/a^2-y^2/b^2<1$。
双曲线方程为$x^2/a^2-y^2/b^2=1$，渐近线方程为 $y=\pm x$。
双曲线与直线 $Ax+By=c$ 相切的条件是 $A^2/a^2-B^2/b^2=1$。
在解题过程中，熟练掌握这些二级结论可以帮助考生更快地解决问题。
1.对于双曲线$2-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，在点$P(x,y)$处的切线方程为$\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1$，其中$x_0=\pm\sqrt{a^2+b^2}$，$y_0=0$或$\pm\sqrt{a^2-b^2}$，具体取决于点$P$的位置关系。
二级结论专题11 解析几何2
二级结论专题11解析几何2二级结论1：圆锥曲线中的定值问题【结论阐述】1．在椭圆中：已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，定点00(,)P x y （000x y ≠）在椭圆上，设A ，B 是椭圆上的两个动点，直线PA ，PB 的斜率分别为PA k ，PB k ，且满足0PA PB k k +=．则直线AB 的斜率2020=AB b x k a y ．2．在双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>中，定点00(,)P x y （000x y ≠）在双曲线上，设A ，B 是双曲线上的两个动点，直线PA ，PB 的斜率分别为PA k ，PB k ，且满足0PA PBk k +=．则直线AB 的斜率2020=AB b x k a y -．3．在抛物线C ：22(0)y px p =>，定点00(,)P x y （000x y ≠）在抛物线上，设A ，B 是抛物线上的两个动点，直线PA ，PB 的斜率分别为PA k ，PB k ，且满足0PA PB k k +=．则直线AB 的斜率0=AB p k y -．【应用场景】在圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中，曲线上的一定点P （非顶点）与曲线上的两动点A ，B 满足直线PA 与PB 的斜率互为相反数（倾斜角互补），则直线AB 的斜率为定值．【典例指引1】1．已知点P 在抛物线2:4C y x =上，过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若直线AB 的斜率为1-，则点P 坐标为（）A ．()1,2B ．()1,2-C ．(2,D ．(2,-【典例指引2】2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点为12,F F ，椭圆的离心率为12，点2⎛ ⎝⎭在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)点T 为椭圆C 上的点，若点T 在第一象限，且2TF 与x 轴垂直，过T 作两条斜率互为相反数的直线分别与椭圆C 交于点M ，N ，探究直线MN 的斜率是否为定值？若为定值，请求之；若不为定值，请说明理由．【针对训练】3．已知抛物线2:4C y x =，点Q 在x 轴上，直线:(2)240l m x y m ---+=与抛物线C 交于M ，N 两点，若直线QM 与直线QN 的斜率互为相反数，则点Q 的坐标是_____.（2022·山西晋中·高二期末）4．已知点()2,1P -是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上的一点，且椭圆C 的离心率2e =.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)两动点,A B 在椭圆C 上，总满足直线PA 与PB 的斜率互为相反数，求证：直线AB 的斜率为定值.5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率e 为12(1)求椭圆C 的方程；(2)E 、F 是椭圆上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.6．已知动点M 到直线+2=0x 的距离比到点(1,0)F 的距离大1．(1)求动点M 所在的曲线C 的方程；(2)已知点(1,2)P ，A B 、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，证明直线AB 的斜率为定值，并求出这个定值；7．如图，已知9(,3)4M 是抛物线()2:20C y px p =>上一点，直线AM ，BM 的斜率互为相反数，与抛物线C 分别交于A ，B 两点，且均在M 点的下方．证明：直线AB 的斜率为定值．8．已知()1,2A 为抛物线22(0)y px p =>上的一点，E ，F 为抛物线上异于点A 的两点，且直线AE 的斜率与直线AF 的斜率互为相反数．求直线EF 的斜率．9．已知点)Q，点P 是圆C ：22(x y 12+=上的任意一点，线段PQ 的垂直平分线与直线CP 交于点M ．()1求点M 的轨迹方程；()2过点()A 作直线与点M 的轨迹交于点E ，过点()B 0,1作直线与点M 的轨迹交于点F(E,F 不重合)，且直线AE 和直线BF 的斜率互为相反数，直线EF 的斜率是否为定值，若为定值，求出直线EF 的斜率；若不是定值，请说明理由．10．已知，椭圆C 过点35A ,22⎛⎫⎪⎝⎭，两个焦点为()0,2，()0,2-，,E F 是椭圆C 上的两个动点，直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数．()1求椭圆C 的方程；()2求证：直线EF 的斜率为定值．（2022沙坪坝·重庆八中）11．在平面直角坐标系xOy 中，设点()00,M x y 是椭圆22:1205x y C +=上一点，以M 为圆心的一个半径2r =的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C 交于点P 、Q .（1）若点M 在第一象限且直线,OP OQ 互相垂直，求圆M 的方程；（2）若直线,OP OQ 的斜率都存在，且分别记为12,k k .求证：12k k 为定值；（3）探究22OP OQ +是否为定值，若是，则求出OP OQ ⋅的最大值；若不是，请说明理由.（2022沙坪坝·重庆南开中学）12．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左右焦点为1F 、2F ，离心率2e =，过圆2221:C x y b +=上一点Q （Q 在y 轴左侧）作该圆的切线，分别交椭圆E 于A 、B 两点，交圆2222:C x y a +=于C 、D 两点（如图所示）．当切线AB 与x 轴垂直时，2CDF V 的面积为3．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）（ⅰ）求ABO 的面积的最大值；（ⅱ）求证：2AC AF +为定值，并求出这个定值．13．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>过点()3,2A -，且离心率e =(1)求该双曲线的标准方程：(2)如果B ，C 为双曲线上的动点，直线AB 与直线AC 的斜率互为相反数，证明直线BC 的斜率为定值，并求出该定值.（2021全国高考真题）14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.二级结论2：圆锥曲线中的定点问题【结论阐述】若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合，则斜边所在直线过定点．（1）对于椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上异于右顶点的两动点A ，B ，以AB 为直径的圆经过右顶点(,0)a ，则直线AB l 过定点2222()(+a b aa b -．同理，当以AB 为直径的圆过左顶点(,0)a -时，直线AB l 过定点2222()(+a b a a b --．（2）对于双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上异于右顶点的两动点A ，B ，以AB 为直径的圆经过右顶点(,0)a ，则直线AB l 过定点2222(+)(,0)a b aa b-．同理，对于左顶点(,0)a -，则定点为2222(+)(,0)a b aa b --．（3）对于抛物线22(0)y px p =>上异于顶点的两动点A ，B ，若0OA OB ⋅=，则弦AB所在直线过点(2,0)p ．同理，抛物线22(0)x py p =>上异于顶点的两动点A ，B ，若0OA OB ⋅=，则直线AB 过定点(0,2)p ．【应用场景】一般情况下，若方程(),0f x y =中含有一个或者多个参数，当x 取某个常数0x 时，求得的y 也是一个与参数无关的常数0y ，这样就可以说方程(),=0f x y 对应的曲线经过定点()00,x y ．有时圆锥曲线中的定点问题，可以充分考虑几何性质，从特殊情况出发，对可能的定点有初步的判断，争取确定出定点，这样可以转化为有方向、有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口．【典例指引1】（2022·安徽蚌埠·高二期末）15．已知直线l 与抛物线24y x =交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，若直线,OA OB 的斜率之积为1-，则直线l 恒过定点（）A ．(4,0)B ．(0,4)C ．(0,4)-D ．(4,0)-【典例指引2】16．已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.【反思】在分析直线方程时，要考虑直线的特殊情况，注意分类讨论．要想整理得出k 和m 的关系，需要借助韦达定理建立关于k 和m 方程，注意化简运算的技巧．【针对训练】17．已知双曲线2212y x -=，点()1,0A -，在双曲线上任取两点P 、Q 满足AP AQ ⊥，则直线PQ 恒过定点__________；（2022·四川巴中·一模）18．已知椭圆C ：22221x y a b+=（a >b >0）的左､右焦点分别为1F ，2F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足122MF MF a +=，且12MF F △的面积为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的上顶点为P ，不过点P 的直线l 交C 于A ，B 两点，若PA PB ⊥，证明直线l 恒过定点.19．已知椭圆22132x y E +=：的左右顶点分别为A ，B ，点P 为椭圆上异于A ，B 的任意一点．(1)证明：直线PA 与直线PB 的斜率乘积为定值；(2)设()(0Q t t ≠，，过点Q 作与x 轴不重合的任意直线交椭圆E 于M ，N 两点．问：是否存在实数t ，使得以MN 为直径的圆恒过定点B ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（2022届黑龙江省哈尔滨市高三上学期检测）20．已知抛物线的顶点为原点，焦点F 在x 轴的正半轴，F 到直线20x y -+=的距离点()()000,0N x y y >为此抛物线上的一点，52NF =.直线l 与抛物线交于异于N的两点A ，B ，且2NA NB k k ⋅=-.(1)求抛物线方程和N 点坐标；(2)求证：直线AB 过定点，并求该定点坐标.（2022届河南省焦作市高三上学期开学考试）21．在PAB 中，已知()2,0A -、()2,0B ，直线PA 与PB 的斜率之积为34-，记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设Q 为曲线C 上一点，直线AP 与BQ 交点的横坐标为4，求证：直线PQ 过定点.（2022届陕西省西安市高三上学期模拟）22．已知与圆22:(1)3C x y ++=相切的直线l ，过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F ，且直线l 的倾斜角为23π.(1)求抛物线E 的方程；(2)直线1l 与抛物线E 交于点A ，B 两点，且A ，B 关于直线y x =+对称，在12y x=-上是否存在点N ，使得以AB 为直径的圆恰好过点N ，若存在，求出点N 的坐标；否则，请说明理由.（2022届河南省名校联盟高三上学期阶段性测试）23．已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．(1)若AM MB =，且直线l 的斜率为4，求直线OM (点O 为坐标原点)的斜率．(2)若直线FA ，FB 的斜率互为相反数，且直线l 不与x 轴垂直，探究：直线l 是否过定点?若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．24．过点(0,2)D 的任一直线l 与抛物线220C :x py(p )=＞交于两点,A B ，且4OA OB =-．(1)求p 的值．(2)已知,M N 为抛物线C 上的两点，分别过,M N 作抛物线C 的切线12l l 和，且12l l ⊥，求证：直线MN 过定点．（2022届上海市进才中学高三上学期12月联考）25．在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到直线4x =的距离等于点M 到点(1,0)D 的距离的2倍，记动点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)已知斜率为12的直线l 与曲线C 交于A 、B 两个不同点，若直线l 不过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线PA PB 、的斜率分别为PA PB k k 、，求PA PB k k +的值；(3)设点Q 为曲线C 的上顶点，点E 、F 是C 上异于点Q 的任意两点，以EF 为直径的圆恰过Q 点，试判断直线EF 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．（2022届广东省茂名市五校联盟高三上学期联考）26．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F .离心率等于3，点P 在y 轴正半轴上，12PF F △为直角三角形且面积等于2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知斜率存在且不为0的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，当点A 关于y 轴的对称点在直线PB 上时，直线l 是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由.二级结论3：圆锥曲线中的定直线问题【结论阐述】1．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y ，当过点P 的动直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B 时，在线段AB 上取一点Q ，满足||||=.||||AP AQ PB QB则点Q 必在定直线00221x x y ya b+=上；2．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y ，当过点P 的动直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B 时，在线段AB 上取一点Q ，满足||||=.||||AP AQ PB QB则点Q 必在定直线00221x x y ya b+=上；3．已知抛物线22y px =(>0)p ，定点00(,)P x y 不在抛物线上，过点P 的动直线交抛物线于,A B 两点，在直线AB 上取点Q ，满足||||=.||||AP AQ PB QB则点Q 在定直线00()y y p x x =+上．【应用场景】定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题．证明动点在定直线上是圆锥曲线的常规题型，解决这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有：（1）设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程；（2）待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数；（3）验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证．【典例指引1】27．如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 上顶点为A ，过点A与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且1F 恰是2QF 的中点，若过A ，Q ，2F 三点的圆与直线:30l x -=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 为椭圆C 的长轴两端点，直线m 过点()4,0P 交C 于不同两点G ，H ，证明：四边形MNHG 的对角线交点在定直线上，并求出定直线方程．【反思】解决直线与圆锥曲线相交的相关问题时，关键在于将目标条件转化为交点的坐标间的关系，交点坐标的韦达定理上去可得以解决．【典例指引2】（2022江苏南通·高二开学考试）28．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）实轴端点分别为()1,0A a -，()2,0A a ，右焦点为F ，离心率为2，过1A 点且斜率1的直线l 与双曲线C 交于另一点B ，已知1A BF △的面积为92．(1)求双曲线的方程；(2)若过F 的直线l '与双曲线C 交于M ，N 两点，试探究直线1A M 与直线2A N 的交点Q 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．【针对训练】29．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过点)，且离心率为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）过右焦点F 且不与x 轴重合的直线与椭圆交于M ，N 两点，已知()3,0D ，过M 且与y 轴垂直的直线与直线DN 交于点P ，求证：点P 在一定直线上，并求出此直线的方程.30．已知点P 是离心率为12的椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）上位于第一象限内的点，过点P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于M ，N 两点，交直线by x a=-于Q ，R 两点，记OMQ 与ONR 的面积分别为1S ，2S ，且12S S +=（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆C 的上、下顶点分别为1B ，2B ，过点()0,1D 的直线与椭圆相交于E ，F 两点，证明：直线2EB ，1FB 的交点G 在一定直线上，并求出该直线方程．【反思】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．31．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点1F 与抛物线24y x =的焦点重合，原点到过点()(),0,0,A a B b -的直线距离是7（1）求椭圆C 的方程（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点P ，过1F 作1PF 的垂线与直线l 交于点Q ，求证：点Q 在定直线上，并求出定直线的方程32．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，且过点()0,1．如图所示，斜率为()0k k >且过点()1,0-的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，若F 在射线OE 上，且2OG OE OF =⋅．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：点F 在定直线上．【反思】求定线问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定直线，再证明这条线与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定直线．33．已知椭圆22:142x y C +=，点()4,1P 为椭圆外一点．（1）过原点作直线交椭圆C 于M 、N 两点，求直线PM 与直线PN 的斜率之积的范围；（2）当过点P 的动直线l 与椭圆C 相交于两个不同点A 、B 时，线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅ ，证明：点Q 总在某定直线上．【反思】利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；（5）代入韦达定理求解．参考答案：1．A【分析】设点()00,P x y 、()11,A x y 、()22,B x y ，求得直线AB 的斜率为1241AB k y y ==-+，可得124y y +=-，再由直线PA 和PB 的斜率互为相反数可求得0y 的值，进而可求得0x 的值，由此可求得点P 的坐标.【详解】设点()00,P x y 、()11,A x y 、()22,B x y ，则直线AB 的斜率为12221212414AB y y k y y y y -===--+，可得124y y +=-，同理可得直线PA 的斜率为014PA k y y =+，直线PB 的斜率为024PB k y y =+，PAPB k k =- ，所以，()()01020y y y y +++=，则12022y y y +=-=，20014y x ∴==，因此，点P 的坐标为()1,2.故选：A.【点睛】本题考查利用抛物线中直线的斜率关系求点的坐标，考查点差法的应用，属于中等题.2．(1)22143x y +=；(2)直线MN 的斜率为定值，且定值为12.【分析】（1）根据椭圆的离心率及所过的点求出椭圆参数a 、b ，即可得椭圆标准方程.（2）由题设得31,2T ⎛⎫⎪⎝⎭，法一：设TM 为3(1)2y k x -=-，联立椭圆方程应用韦达定理求M的坐标，根据TM 与TN 斜率关系求N 的坐标，应用两点式求斜率；法二：设MN 为y kx m =+，()()1122,,,M x y N x y ，联立椭圆方程，应用韦达定理及0TM TN k k +=得到关于参数m 、k 的方程，即可判断是否为定值.（1）由题意，12c a =则2a c =，又===b ，所以椭圆C 的方程为2222143x y c c +=，代入⎛ ⎝⎭有22331412+=c c ，解得1c =，所以2b a ==，故椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）由题设易知：31,2T ⎛⎫⎪⎝⎭，法一：设直线TM 为3(1)2y k x -=-，由221433(1)2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去y ，整理得()2223348412302k x k k x k k ⎛⎫++-+--= ⎪⎝⎭，因为方程有一个根为1x =，所以M 的横坐标为22412334M k k x k --=+，纵坐标()223121291286M M k k y k x k --+=-+=+，故M 为2222412312129,3486k k k k k k ⎛⎫----+ ⎪++⎝⎭，用k -代替k ，得N 为2222412312129,3486k k k k k k ⎛⎫+--++ ⎪++⎝⎭，所以12M N MN M N y y k x x -==-，故直线MN 的斜率为定值12．法二：由已知直线MN 的斜率存在，可设直线MN 为y kx m =+，()()1122,,,M x y N x y ，由22143x y y kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，整理得()2223484120k x kmx m +++-=，所以21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++，而12123322011TM TN y y k k x x --+=+=--，又1122,kx m y kx m y =+=+，代入整理得()()1212123322022kx x m x x k x x m ⎛⎫⎛⎫+-+-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()24832(21)0-++-=k k m k ，即(21)(232)0--+=k k m ，若2320k m -+=，则直线MN 过点T ，不合题意，所以210k -=．即12k =，故直线MN 的斜率为定值12.【点睛】关键点点睛：第二问，设直线方程并联立椭圆方程，应用韦达定理及0TM TN k k +=得到关于直线斜率的方M 、N 程，或求出的坐标，应用两点式求斜率.3．(2,0)-【分析】将直线l 方程代入抛物线C 中，得到关于y 的一元二次方程，设出M ，N 两点坐标，利用韦达定理写出12y y +，12y y 的关系，利用斜率坐标公式结合已知条件，得到 0+=QM QN k k ，即可求解Q 的坐标.【详解】易知2m ≠，由(2)240m x y m ---+=得22y x m =+-，代入抛物线方程得24802y y m --=-，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1242y y m +=-①，128y y =-②.设(,0)Q a ，则11QM y k x a =-，22QN y k x a=-，依题意有1 1QM QN yk k x a +=+-220yx a =-，所以()()12210y x a y x a -+-=，即211222022y y y a y a m m ⎛⎫⎛⎫+-+⋅+-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，整理并把①②代入可得2a =-，故Q 点的坐标为(2,0)-.故答案为：(2,0)-.4．(1)22182x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件列方程组，解方程组求得22,a b ，从而求得椭圆C 的标准方程.（2）设出直线PA 的方程并与椭圆方程联立，由此求得A x ，同理求得B x ，从而化简求得直线AB 的斜率A BAB A By y k x x -=-为定值.（1）由题可知22222411c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2282a b ⎧=⎨=⎩，从而粚圆方程为22182x y +=.（2）证明设直线PA 的斜率为k ，则():12PA y k x +=-，21y kx k =--，联立直线与椭圆的方程，得()221248y k x x y ⎧+=-⎨+=⎩，整理得()(2221416k x k +-+()28)161640k x k k ++-=，从而2216164214A k k x k +-=+，于是2288214A k k x k+-=+，由题意得直线PB 的斜率为k -，则():12PB y k x +=--，21y kx k =-+-，同理可求得2288214B k k x k --=+，于是A BAB A B y y k x x -=-()2121A B A Bkx k kx k x x ----+-=-()4A B A Bk x x kx x +-=-2221644114.16214k k k k k k-⋅-+==-+即直线AB 的斜率为定值.5．(1)22143x y +=；(2)证明见解析，12.【分析】（1）根据椭圆离心率的公式，结合代入法、椭圆中,,a b c 的关系进行求解即可；（2）设出直线方程与椭圆方程联立，求出E 、F 两点坐标，最后根据直线斜率的公式进行求解即可.（1）根据题意，22222914112a bc e a a b c ⎧⎪+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩，解得2,1a b c ===，∴椭圆C 的方程为：22143x y +=；（2）证明：设直线AE 的方程为：()312y k x -=-，由()22312143y k x x y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()()2223442341230k x k k x k k +--+--=，显然1是该方程的根，因此有22224123412313434x x k k k k E E k k ----⋅=⇒=++，()2222412312129,34234k k k k E k k ⎛⎫----+ ⎪∴ ⎪++⎝⎭，由题可知直线AF 的方程为()312y k x -=--，同理可得()2222412312129,34234k k k k F k k ⎛⎫+--++ ⎪ ⎪++⎝⎭，()()222222221212912129234234121412341232423434EF k k k k k k k k k k k k k k k -++--+-++∴===+----++，∴直线EF 的斜率为定值，且这个定值为12.【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系求出两点坐标是解题的关键.6．(1)24y x =(2)证明见解析，1-.【分析】（1）由抛物线的定义即可求解；（2）分别设出直线,PA PB 的方程，与抛物线方程联立，求出点A B 、坐标，再求直线AB 的斜率即可.【详解】（1）已知动点M 到直线+2=0x 的距离比到点(1,0)F 的距离大1，等价于动点M 到直线1x =-的距离和到点(1,0)F 的距离相等，由抛物线的定义可得：动点M 的轨迹是以(1,0)F 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，可得=2p ，抛物线开口向右，∴曲线C 的方程为24y x =．（2）设直线PA 的斜率为k ，∵直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，∴直线PB 的斜率为k -，则:2(1)PA l y k x -=-，:2(1)PB l y k x -=--，联立方程组22=(1)=4y k x y x--⎧⎨⎩，整理得2-4-4+8=0ky y k ，即[](24)(2)0ky k y +--=，42ky k-=或=2y （舍）可得22(2)42(,)k kA k k--联立方程组22=(1)=4y k x y x---⎧⎨⎩，整理得24480ky y k +--=，即[](24)(2)0ky k y ++-=，42ky k--=或=2y （舍）可得22(2)42(,)k kB k k+--则222242421(2)(2)ABk kk k k k k k k ----==-+--即直线AB 的斜率为定值1-．【点睛】抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．7．证明见解析.【分析】设出直线MA 和MB 的方程，与抛物线方程联立求出点A B ，的坐标，再求直线AB 的斜率即可.【详解】证明：∵9(,3)4M 是抛物线()2:20C y px p =>上一点，∴9924p =⨯，得=2p ，∴抛物线方程为24y x =，设直线MA 的方程为93()4y k x -=-，由293=()4=4y k x y x--⎧⎪⎨⎪⎩，得241290y y k k -+-=，即4[(3)](3)0y y k +--=，解得43A y k=-或3A y =(舍)∵直线AM ，BM 的斜率互为相反数，∴直线BM 的方程为93(4y k x -=--，同理可得43B y k=--，∴224424433344B A B A AB B A B A B A y y y y k y y x x y y k k =====------+--+，∴直线AB 的斜率为定值23-，8．1-【分析】先利用已知条件求出抛物线得方程，然后利用直线斜率公式求直线,AE AF 的斜率，在由直线AE 的斜率与直线AF 的斜率互为相反数，求出124y y +=-，在根据2121214==+EF y y k x x y y --即可求出答案.【详解】设()11,E x y ，()22,F x y ，∵点()1,2A 为抛物线()220y px p =>上的一点，∴42p =，解得=2p ，∴24y x =，同时，有211=4y x ，222=4y x ，()()()()()()11111111112+22444====11+21+2+2AE y y y x k x x y x y y ------，同理，22224==1+2AF y k x y --，∵直线AE 的斜率与直线AF 的斜率互为相反数，∴1244=+2+2y y -，即124y y +=-，()22222121212121212144===44=1+EF y y y y y y k x x y y y y y y ------∴=-，故直线EF 的斜率为1-.9．（1）22x y 13+=；（2）定值【分析】（1）根据中垂线的性质得出MQ MP =，然后计算出MC MQ +=，结合椭圆的定义得知点M 的轨迹为椭圆，可得出a 和c 的值，进而求得b 的值，于是可得出点M 的轨迹方程；（2）设直线AE的方程为(y k x =+，则直线BF 的方程为1y kx =-+，将直线AE 、BF 的方程分别与曲线E 的方程联立，利用韦达定理求出的点,E F 的坐标，然后利用两点间的斜率公式求出直线EF 的斜率，从而证明结论．【详解】（1）如下图所示，连接MQ，则MC MQ MC MP CP +=+==又CQ =M 的轨迹是以,C Q 为焦点的椭圆，因为22a c ==1a c b ===．故点M 的轨迹方程是2213x y +=；（2）设直线AE的方程为(y k x =+，则直线BF 的方程为1y kx =-+，由(2233y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()222231930k x x k +++-=．设交点()11,E x y 、()22,F x y ，则1x()1111x y k x ==+=．由22133y kx x y =-+⎧⎨+=⎩，消去y 整理得()223160k x kx +-=，则222222613,11313k k x y kx k k-==-+=++．所以，1212EFy y k x x -===-故直线EF的斜率为定值，其斜率为3-．【点睛】（1）求动点的轨迹方程，一般有如下几种方法：①几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；②动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；③参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程.（2）当直线与椭圆的两个交点中有一个是定点时，我们常用动直线的斜率表示另一个动交点的坐标，进而讨论与动交点相关的数学问题（常称为知点求点法）.10．（1）22y x 1106+=；（2）见解析【分析】()1由焦点坐标求得2c =，可设椭圆方程为22221y xa b +=，可得22222591444a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解方程即可；()2设()11,E x y ，()22,F x y ，设直线AE 的方程为3522y k x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，代入221106y x +=，求出点E 的坐标，再将k 换为k -，求出F 的坐标，即可求出直线的斜率，再化简即可得结果.【详解】()1由题意c 2=，可设椭圆方程为22221y x a b +=，22222591444a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得210a =，26b =，∴椭圆的方程为221106y x +=.()2设()11E x ,y ，()22F x ,y ，设直线AE 的方程为3522y k x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，代入221106y x +=得()()22233353533()30022k x k k x k ++-+-+-=，()123353352k k x k -∴=-+，113522y kx k ∴=-+，又直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，再上式中以k -代k ，可得()223353352k k x k ---=-+，2235y kx k 22∴=-++，∴直线EF 的斜率()()()()()2212212121223353353333523523133533533352352k k k k k k k k k x x k y y k k k k k x x x x k k ----⎛⎫-+-+ ⎪++-++-⎝⎭====--------+++.【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，考查了运算求解能力，化归与转化思想的应用，属于难题．求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.11．（1）()()22224x y -+-=；（2）证明见解析；（3）是，252.【分析】（1）由切线性质得OM =，由此可求得M 点坐标，从而得圆方程．（2）设切线方程为y kx =，由直线与圆相切得出k 的方程，结合韦达定理得12k k ，并结合M 在椭圆上可得．（3）当直线OP OQ ，不落在坐标轴上时，设()()1122,,P x y Q x y ，，利用1214k k =-可得22221212116y y x x =，利用,P Q 在椭圆上可求得2212x x +及2212y y +，从而得22OP OQ +，当直线OP OQ ，有一条落在坐标轴上求出22OP OQ +，从而得定值，再由基本不等式得最大值．【详解】（1）OM ==则22008x y +=，又2200220012058x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，又000,0x y >>，故解得0022x y =⎧⎨=⎩，所以()2,2M ，所以圆M 的方程为()()22224x y -+-=（2）因为直线12::OP y k x OQ y k x ==，与圆M 相切，所以直线1:OP y x k =与圆()()2200:4M x x y y -+-=联立，可得()()222210100012240k x x k y x x y +-+++-=同理()()222222000012240k x x k y x x y +-+++-=，由判别式为0，可得12k k ，是方程()2220004240xk x y k y --+-=的两个不相等的实数根，∴20122044y k k x -=-因为点00(,)M x y 在椭圆C 上，所以220054x y =-，所以1214k k =-；（3）（i ）当直线OP OQ ，不落在坐标轴上时，设()()1122,,P x y Q x y ，，因为12410k k +=，所以22221212116y y x x =，因为()()1122,,,P x y Q x y 在椭圆C 上.所以2222221212121554416x x y y x x ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭整理得221220x x +=，所以22125y y +=所以2225OP OQ +=.（ii ）当直线落在坐标轴上时，圆M 方程为22(2)(2)4x y -+-=，易求得2225OP OQ +=，综上：2225OP OQ +=，所以|()2212522OP OQ OP OQ ⋅≤+=所以OP OQ ⋅的最大值为252．【点睛】本题考查直线与圆相切，直线与椭圆相交问题，考查学生的运算求解能力，逻辑思维能力，对斜率积为定值问题，解题关键是设出切线方程y kx =，利用直线与圆相切得出关于k 的二次方程，由韦达定理得出结论；设()()1122,,P x y Q x y ，，由斜率积为定值求得坐标的关系，并结合点M 在椭圆上求得22OP OQ +的值，注意分类讨论．12．（1）2214x y +=；（2）（ⅰ）1；（ⅱ2.【分析】（1）由三角形面积得()3c b c +=+222a c b -=求得,,a b c 后得椭圆方程；（2）（ⅰ）直线AB 的斜率不会为零，设其方程为x ty m =+，由直线与圆相切求得,t m 的关系，设()()1122,,,A x y B x y ，直线方程与椭圆方程联立，消元后求出判别式的值（利用,t m 关系），应用韦达定理，得弦长AB ，计算OAB 面积，应用基本不等式得最大值；（ⅱ）CQ c ==，AC CQ AQ AQ =-=，用A 点坐标表示出2,AQ AF ，计算可得．【详解】（1）2CD c ==，于是有2()3CDF S c b c =+=+ 又222,2c a b c a =-=，解得2,1c a b ===，所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=．（2）（ⅰ）因Q 在y 轴左侧，故直线AB 的斜率不会为零，设其方程为x ty m =+，由直线AB 与圆1C 2211m t =⇒=+，由2244x ty m x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得()2224240t y tmy m +++-=，()()()222222444416448t m t m t m ∆=-+-=+-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则12||AB y y =-=所以()2231212||124OABt S AB b t ++⋅=⋅⋅=≤=+ ，当且仅当213t+=，即t =时取等号．故ABO 的面积的最大值为1．（ⅱ）因点()11,A x y 在椭圆E 上，且在y 轴左侧，故10x <，221114x y +=，由（1）CQ c ==故12AC CQ AQ x =-====，2122AF x ====-，故2112222AC AF x +=+-=为定值．【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．求椭圆标准方程的关键是列出关于,,a b c 的方程组，解得,,a b c ，直线与椭圆相交一般是设交点坐标，设直线方程，直线方程与椭圆方程联立，消元后应用韦达定理，由韦达定理的结果求弦长等等．13．(1)221832x y -=(2)证明见解析，6【分析】（1）根据双曲线的离心率及双曲线过点A 可得方程；（2）设点B 与点C 的坐标，根据直线AB 与直线AC 的斜率互为相反数，可得直线BC 的斜率.【详解】（1）由题意22941a b c a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得28a =，232b =，故双曲线方程为221832x y -=（2）设点()11,B x y ，()22,C x y ，设直线AB 的方程为()23y k x -=+，代入双曲线方程，得()()()222423232320kxk k x k --+-+-=，2126434k k x k +∴-+=-，21234124k k x k ++=-，21222484k k y k ++=-，222234122248,44k k k k B k k ⎛⎫++++∴ ⎪--⎝⎭同理222234122248,44k k k k C k k ⎛⎫-+-+ ⎪--⎝⎭，4868BC kk k∴==.14．（1）()221116y x x -=≥；（2）0.【分析】(1)利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点双曲线的右支，求出a 、b 的值，即可得出轨迹C 的方程；(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C 的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得12k k +的值.【详解】(1)因为12122MF MF F F -=<=所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则22a =，可得1a =，4b ==，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥.（2）[方法一]【最优解】：直线方程与双曲线方程联立如图所示，设1(,)2T n ,设直线AB 的方程为112211(),,(2,(),)y n k x A x y B x y -=-．联立1221()2116y n k x y x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,化简得22221111211(16)(2)1604k x k k n x k n k n -+---+-=.则22211112122211111624,1616k n k n k k n x x x x k k +-+-+==--．故12,11||)||)22TA x TB =-=-．则222111221(12)(1)11||||(1)()()2216n k TA TB k x x k ++⋅=+--=-．设PQ 的方程为21(2y n k x -=-，同理22222(12)(1)||||16n k TP TQ k ++⋅=-．因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，所以22122212111616k k k k ++=--，化简得22121717111616k k +=+--，所以22121616k k -=-，即2212k k =．因为11k k ≠，所以120k k +=．[方法二]：参数方程法设1(,)2T m ．设直线AB 的倾斜角为1θ，则其参数方程为111cos 2sin x t y m t θθ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，联立直线方程与曲线C 的方程2216160(1)x y x --≥=，可得222221111cos 116(cos )(sin 2sin )1604t m t t mt θθθθ+-++-=+，整理得22221111(16cos sin )(16cos 2sin )(12)0t m t m θθθθ-+--+=．设12,TA t TB t ==，由根与系数的关系得2212222111(12)12||||16cos sin 117cos t m m TA TB t θθθ-++⋅===--⋅．设直线PQ 的倾斜角为2θ，34,TP t TQ t ==，同理可得2342212||||117cos m T T t P Q t θ+⋅==-⋅由||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅，得2212cos cos θθ=．因为12θθ≠，所以12s o o s c c θθ=-．由题意分析知12θθπ+=．所以12tan tan 0θθ+=，故直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0．[方法三]：利用圆幂定理因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，由圆幂定理知A ，B ，P ，Q 四点共圆．设1(,)2T t ,直线AB 的方程为11()2y t k x -=-，直线PQ 的方程为21()2y t k x -=-,则二次曲线1212()()022k kk x y t k x y t --+--+=．又由22116y x -=，得过A ，B ，P ，Q 四点的二次曲线系方程为：221212()()(1)0(0)2216k k y k x y t k x y t x λμλ--+--++--=≠，整理可得：[]2212121212()()()()16k x y k k xy t k k k k k x μμλλλλ++--+++-12(2)02y k k t m λ++-+=，其中21212()42k k t m t k k λμ⎡⎤=+-+-⎢⎥⎣⎦．由于A ，B ，P ，Q 四点共圆，则xy 项的系数为0，即120k k +=.【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解；方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中.方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.15．A【分析】设出直线方程x my t =+，联立抛物线方程，得到12124,4y y m y y t +==-，进而得到。
共焦点的椭圆和双曲线二级结论
共焦点的椭圆和双曲线二级结论“椭圆和双曲线共有两个焦点”是古希腊数学家高斯（J.CarlFriedrichGauss）提出的一个二级结论，它被认为是微积分的基础。
双曲线和椭圆的二级结论是关于它们共有两个焦点的。
在数学方面，遵循这一原理可以计算出它们的特定熊熊特征。
双曲线和椭圆都是曲线，可以用一元多项式方程表示。
它们的曲线根据它们自身的二次形式来定义。
椭圆形可以用椭圆方程表示，形式为 Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，双曲线形可以用双曲线方程表示，形式如 Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 。
共焦点的椭圆和双曲线二级结论表明，椭圆和双曲线都具有两个焦点，它们可以用它们自身的方程来表示，这些方程可以用以下方式表示：对于椭圆：F1 = (A+C)(B*B-4*A*C)，F2 = (B*B*C-4*A*C*D-B*B*E)*E 对于双曲线：F1 = (A+B)(B*B-4*A*B)，F2 = (A*B*C-4*A*B*D-A*B*E)*E 其中F1和F2分别为椭圆或双曲线的第一个和第二个焦点的坐标。
高斯提出的这一二级结论可以用多种方式来证明，例如用轨迹作为证明，也可以用坐标系来证明。
轨迹的证明方式是根据椭圆或双曲线的两个焦点的位置，可以计算出椭圆或双曲线经过的轨迹。
而坐标系证明方式是利用两个焦点来构造出坐标系（即把二次函数转化为极坐标表示），然后从此图中确定出椭圆或双曲线的两个焦点。
此外，椭圆或双曲线的两个焦点也可以用数学方式表示，例如椭圆的两个焦点分别为：F1=(-B+√(B^2-4AC))/2A;F2=(-B-√(B^2-4AC))/2A 双曲线的两个焦点分别为：F1=(-B+√(B^2-4AB))/2A;F2=(-B-√(B^2-4AB))/2A 同时，解析几何学也可以用来证明这一二级结论。
解析几何学是基于几何变换的性质来形象地展示或证明几何结论的方法，它可以用来证明椭圆和双曲线共有两个焦点。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论
一、椭圆
1. 椭圆的一般式：
Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0
(x² / a²) + (y² / b²) = 1
其中 a 和 b 分别表示椭圆的长半轴和短半轴。
3. 椭圆的离心率：
其中 e 表示椭圆的离心率。
4. 椭圆的焦点坐标：
如果椭圆的焦距为 2c，则椭圆的焦点坐标为(±c,0)。
5. 椭圆的几何意义：
椭圆是一个平面曲线，其形状类似于拉伸的圆形。
在数学中，椭圆被广泛应用于计算、图形学和物理学。
二、双曲线
2. 双曲线的标准式：
双曲线有两条渐近线，它们在双曲线两侧无限接近双曲线，但永远不会穿过它。
三、抛物线
其中 a、b 和 c 分别表示抛物线的系数，抛物线面向的方向可以通过 a 的正负性来
判断。
如果抛物线面向的方向垂直于 x 轴，其焦点坐标为 (0, 1 / (4a))。
关于双曲线的二级结论总结
关于双曲线的二级结论总结
双曲线的二级结论总结如下：
1. 双曲线的渐近线是两条直线，分别与双曲线的两支趋近于无限远处。
2. 双曲线的对称轴是它的渐近线的中垂线。
3. 双曲线有两个焦点和两条准线，焦点和准线的定义类似于椭圆。
4. 双曲线的离心率等于焦距之差与双曲线中心到焦点的距离之比。
5. 双曲线的参数方程为x=a·secθ、y=b·tanθ或x=a·coshu、y=b·sinhu（其中a、b为正实数）。
6. 双曲线的极坐标方程为r=asecθ-b或r=acoshu-bsinhu（其中a、b为正实数）。
7. 双曲线的面积公式为S=ab·ln[(a+b)/c]（其中c为离心率）。
8. 双曲线的弧长公式为L=∫[a, x]√(1+y")dx或L=∫[0, t]√(asinht+bcosht)dt。
9. 双曲线的切线斜率公式为y"/x"=±b/a。
10. 双曲线的法线斜率公式为y"/(x±a)=-a/b。
椭圆与双曲线二级结论
椭圆与双曲线⼆级结论椭圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外⾓.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外⾓，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线⽅程是00221x x y y a b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线⽅程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意⼀点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点⾓形的⾯积为122tan2F PF S b γ=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上⼀个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆⼀个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平⾏于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ?=-，即0202y a x b K AB -=。
双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内⾓.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内⾓，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右⽀；外切：P 在左⽀）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线⽅程是00221x x y y a b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线⽅程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意⼀点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点⾓形的⾯积为122t2F PF S b co γ=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右⽀上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左⽀上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上⼀个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线⼀个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平⾏于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，则0202y a x b K K AB OM =?，即0202y a x b K AB =。
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椭 圆
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直
径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.
6. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切
点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y
a b
+=.
7. 椭圆22
221x y a b
+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点
12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan
2
F PF S b γ
∆=.
8. 椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：
10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).
9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和
AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和
A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
11. AB 是椭圆22
221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则
2
2OM AB b k k a ⋅=-，
即0
20
2y a x b K AB -=。
双曲线
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴
为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：
P 在左支）
5. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程
是00221x x y y a b
-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切
线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y
a b
-=.
7. 双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意
一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122
t
2
F PF S b co γ
∆=.
8. 双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c
当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.
当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--
9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，
连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶
点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
11. AB 是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB
的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即020
2y a x b K AB =。
12. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方
程是22
00002222x x y y x y a b a b
-=-.
13. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程
是22002222x x y y x y a b a b
-=-. 椭圆与双曲线的对偶性质--
椭 圆
1. 椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直
线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22
221x y a b
-=.
2. 过椭圆22
221x y a b
+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线
交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且20
20BC b x k a y =（常数）.
3. 若P 为椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点,
12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则
tan t 22
a c co a c αβ
-=+. 4. 设椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上
任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有
sin sin sin c
e a
αβγ==+.
5. 若椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0
＜e 1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.
6. P 为椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，
则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.
7. 椭圆22
0022
()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222
200()A a B b Ax By C +≥++. 8. 已知椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且
OP OQ ⊥.（1）2222
1111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是22
22
a b a b
+.
9. 过椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦
MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则
||||2PF e
MN =. 10. 已知椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平
分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则2222
0a b a b x a a ---<<. 11. 设P 点是椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点
记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122
tan 2
PF F S b γ∆=.
12. 设A 、B 是椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，
PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有
(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2) 2
tan tan 1e αβ=-.(3) 222
2
2cot PAB a b S b a
γ∆=-. 13. 已知椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F
的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.
14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应
焦点的连线必与切线垂直.
15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦
半径互相垂直.
16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数
e(离心率).
（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.。