天大2014-2015-01线性代数及其应用期末试题A卷(16开)
天津大学高数2015-2016学年第一学期期末考试A卷
dt 2 a t 4. 已知 lim 4 ( a 0), 求常数 a, b 的值． x 0 b x sin x
0
x
t2
3. 设函数 f ( x ) 连续且满足 f ( x ) cos x +2
0
x
f ( s )sin s d s x 1. 求函数 f ( x ) 的解析式.
(D) y 只有一条水平渐近线. ). (D) L1 ∥ L2 .
x t 1, x y3 z 4. 直线 L1 : 与直线 L2 : y t 2, 之间的关系是 ( 2 3 4 z 2t 2
(A) L1 与 L2 相交但不垂直; (B) L1 与 L2 为异面直线; 5. 已知 f (cos x ) sin x, 则 f (cos x ) ( (A) cos x C ; (B) ( x sin x cos x ) C ; ). (C) cos x C ; (D) (C) L1 L2 ;
天津大学试卷专用纸 学院________________ 专业________________班______年级_________学号__________________姓名_______________
得分 五、 解答题（每小题 8 分，共 16 分） ．
共 3 页第 3 页 A 卷
1. 求二阶微分方程 y 3 y 1 12 x 满足条件 y (0) 2, y(0) 4 的特解．
(C)
2
1 dx ; x ln x
(D)
1
1 dx . x
).
f (e x 1) _________. 3. 设函数 f ( x ) 满足 f (0) 0, f (0) 2, 则 lim x 0 tan x 2 π 4. 已知向量 a，， b c 满足 a 2, b c 1, 向量 a 与 b 的夹角为 , 6 且 c a, c b ，则 ( a b ) c _________.
201520161《线性代数》期末考试(A)答案及评分标准
201520161《线性代数》期末考试(A)答案及评分标准————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：A卷2015—2016学年第一学期《线性代数》期末试卷答案（32学时必修）专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2016年1月15日题号一二三四五六七总分本题满分15 15 21 16 12 14 7本题得分阅卷人注意事项：1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共7页。
说明：试卷中的字母E 表示单位矩阵；*A 表示矩阵A 的伴随矩阵；)(A R 表示矩阵A 的秩；1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵.一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若6个题目都做，按照前面5个题目给分）1．5阶行列式中，项4513523124a a a a a 前面的符号为【 负 】.2.设1352413120101311--=D ，)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子式，则4443424122A A A A +-+ 等于【 0 】.3．设102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，A 为34⨯矩阵，且()2A =R ，则()AB =R 【 2 】.4．若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关，则=t 【 1 】.5．设A 是3阶实的对称矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m m 11β是线性方程组0)(=+x E A 的解，则常数=m 【 1 】.6．设A 和B 是3阶方阵，A 的3个特征值分别为0,3,3-，若AB B E =+，则行列式=+-|2|1E B 【 -8 】.本题满分15分 本题得分二、选择题（共5个小题，每小题3分）1. 设A 为3阶矩阵，且21||=A ，则行列式|2|*-A 等于【 A 】.(A) 2-； (B) 21-； (C) 1-； (D) 2.2. 矩阵110120001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵为【 A 】．(A) 210110001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； (B)210110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (C) 110120001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； (D) 110110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.3．设A 是n 阶非零矩阵，满足2A A =，若A E ≠，则【 A 】．(A) ||0A =； (B) ||1A =； (C) A 可逆； (D) A 满秩.4. 设300300026,110,001342A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1-=AB C ，则1C -的第3行第1列的元素为【 D 】．(A) 4； (B) 8； (C) 0； (D) 1-.5．设323121232221321222222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=，a 是使二次型),,(321x x x f 正定的正整数，则必有【 B 】．(A) 2=a ； (B) 1=a ； (C) 3=a ； (D) 以上选项都不对.本题满分15分 本题得分三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)1. 若,,αβγ线性无关，2,αβ+2k βγ+，3βγ+线性相关，求k . 解：因为2,αβ+2k βγ+与3βγ+线性相关，所以必定存在不全为 零的数321，，λλλ，使得0=3+++2+2+321）（）（）（γβλγβλβαλk ----------2分 整理得：0=3+++2+2+323211γλλβλλλαλ）（）（k 由于,,αβγ线性无关，因此可得=3+0=+2+20=323211λλλλλλk 由于321，，λλλ不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此0=30122001k ，由此得k = 6. ----------7分 2. 设()011201-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=03112211a B ，若2)(=+B AB R ，求a .解：由2)(=+B AB R 可知0=+B AB ，由此可得 0=+B E A又 02=122010012=+≠--E A----------2分因此 0=B因此可得 5=-a . ----------7分本题满分21分本题得分3. 设矩阵2001000240021603,A a B t -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且,A B 相似，求a 与t 的值．解：由,A B 相似可知,A B 的特征值相同，而易知B 的特征值为 -1,t ,3，因此A 的特征值也为 -1,t ,3 利用特征值的性质可得21132(4)3t a t a ++=-++⎧⎨-=-⎩ ----------5分 解得12a t ==,. ----------7分四、（共2小题，每小题8分）1．求向量组123410311301,,,217242140⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα 的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示出来.解：令()123410311301,,,217242140A αααα⎛⎫ ⎪--⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, 把A 进行行变换，化为行最简形， ()123410300110~00010000A C ββββ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎝⎭----------6分则421，，βββ是C 的列向量组的一个最大无关组，且421303ββββ++=， 故421，，ααα是A 的列向量组的一个最大无关组，且421303αααα++=.----------8分本题满分16分 本题得分2. 问a 满足什么条件，才能使得21403003A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭共有两个线性无关的特征向量？解：由0=30030412=λλλλ----a E A ，得A 的特征值：3==2=321λλλ， 要使A 有两个线性无关的特征向量，则特征值3对应一个线性无关的特征向量， 即0=)3(x E A -的解空间的维数为1，则2=)3(E A R -， ----------6分而114300000A E a -⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，因此可知0≠a . ----------8分五、问λ为何值时，线性方程组13123123,4226423x x x x x x x x +=⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩λλλ无解，有无穷多解，并在有无穷多解时求出其通解．解：记方程组的增广矩阵为，则101412261423B ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭λλλ，对其进行行变换，化为行阶梯形：101012320001B λλλ⎛⎫ ⎪→--+ ⎪ ⎪-+⎝⎭，易知，当1≠λ时，3)(2)(=≠=B R A R ，方程组无解；当1=λ时，2)()(==B R A R ，方程组有无穷多解； ----------6分当1=λ时，101101210000B ⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭，与原方程组同解的方程组为1323121x x x x =-+⎧⎨=-⎩，由此可得原方程组的通解为()123112110x x k k R x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ----------12分本题满分12分本题得分六、求实二次型32312123222132184444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的秩，并求正交变换Py x =，化二次型为标准形．解：记二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=442442221A ,122~000,000A -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 故二次型f 的秩为1. ----------4分由0442442221=-------=-λλλλE A ，可得：0，9321===λλλ，当，91=λ求解0)9(=-x E A 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11-211ξ，单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3232-311p ,当，032==λλ求解0=Ax 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=102-，01232ξξ， 正交化：[][]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==15452--，012222323322ηηηξηξηξη， 单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3515541552-15452-35，0125132p p ， ----------12分 本题满分14分本题 得分令()321p p p P =，则可得正交变换Py x =，二次型的标准形为：232221321009),,(y y y y y y f ++=. ----------14分七、（请从下面2个题目中任选1个，若2个题目都做，按照第1题给分）1. “设A 是n 阶实的反对称矩阵，则对于任何n 维实的列向量α，α和αA 正交，且E A -可逆”．您认为该结论成立吗？请说明理由. 解：该结论成立。
线性代数期末考试试题(卷)+答案解析合集
×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题 2 分，共 10 分）1311.若05x0，则。
122x1x2x302 ．若齐次线性方程组x1x2x30 只有零解，则应满足。
x1x2x303．已知矩阵A，B，C(c ij ) s n，满足AC CB，则A与B分别是阶矩阵。
a11a124．矩阵A a21a22的行向量组线性。
a31a325．n阶方阵A满足A23A E0，则A1。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×” 。
每小题 2 分，共10分）1.若行列式 D 中每个元素都大于零，则 D 0。
（）2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（）3.向量组 a1， a2，， a m中，如果 a1与 a m对应的分量成比例，则向量组a1， a2，， a s线性相关。
（）01004.1000A 。
（A00，则A1）0100105.若为可逆矩阵 A 的特征值，则 A 1的特征值为。
( )三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2 分，共 10分 )1.设 A 为 n 阶矩阵，且 A2，则 A A T（）。
① 2n② 2 n 1③ 2n 1④ 42.n 维向量组1，2，，s（ 3 s n）线性无关的充要条件是（）。
①1，2，，s中任意两个向量都线性无关②1，2，，s中存在一个向量不能用其余向量线性表示③ 1，2，，s中任一个向量都不能用其余向量线性表示④1， 2， ， s 中不含零向量3. 下列命题中正确的是 ()。
① 任意 n 个 n1维向量线性相关② 任意 n 个 n 1维向量线性无关③ 任意④ 任意 n 1个 n n 1个 n维向量线性相关维向量线性无关4. 设 A ， B 均为 n 阶方阵，下面结论正确的是()。
① 若 A ， B 均可逆，则 A B 可逆 ② 若 A ， B 均可逆，则 AB 可逆③ 若 A B 可逆，则 A B 可逆④ 若 AB 可逆，则A ，B 均可逆5. 若 1， 2，3，4 是线性方程组 A0 的基础解系，则1 2 34 是 A0 的（）① 解向量② 基础解系③ 通解④ A 的行向量四、计算题 ( 每小题9 分，共 63 分)x ab c d1. 计算行列式a xb cd 。
线性代数期末考试试题A及解答
3、此二次型矩阵特征值有负值，，故二次型不正定。--------------------（14分）
六、
1、证明： -------------（3分）
，故 可逆，且 ----（5分）
2、证明：因为 为正交矩阵且 ， ------------（1分）
-------（4分）
，故 -----------------（5分）
六 证明题
1、若 阶矩阵 满足 ，求证 可逆，并求 。
2、设五阶正交矩阵 满足 ，求证：矩阵 的秩 。
线性代数A参考答案及评分标准
一、填空
1、负；46。2、4；2； 与 。
3、 ； 。4、 。
5、 6、 。
7、0； 。8、 ；2； 。
二、计算
1、 --（3分）=
--------------（5分）= ------------------（6分）
得到齐次线性方程组的基础解系
三、 --------（2分）
故 时， ，方程组有解---------（4分）
此时方程组的一般解为： ，得一个特解
导出组的一个基础解系， -----------------（10分）
通解为 （ ， 为任意常数）…（12分）
四、 ，
得到 的特征值 ---------------（4分）
三（12 ）设线性方程组 ，当 为何值时 能与对角形矩阵相似，求参数 的值。
五（14 ）二次型
（1）写出二次型的矩阵 。
（2）用正交变换法将此二次型化为标准形并写出所做的正交变换 以及二次型的标准形。
（3）此二次型是否正定，说明理由。
5．四阶矩阵 的行列式 则 ， ， 的列向量组线性关。
大一线性代数期末试题及答案
,考试作弊将带来严重后果！线性代数期末考试试卷及答案1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：开（闭）卷；题 号 一 二 三四五总分得 分 评卷人单项选择题（每小题2分，共40分）。
．设矩阵22, B 23, C 32A ⨯⨯⨯为矩阵为矩阵为矩阵，则下列矩阵运算无意义的是【 】A . BAC B. ABC C . BCA D. CAB设n 阶方阵A 满足A 2＋E =0，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有 【 】A. 矩阵A 不是实矩阵B. A=-EC. A=ED. det(A)=1设A 为n 阶方阵，且行列式det(A)=1 ,则det(-2A)= 【 】A. 2－B. ()n2－ C. n2－ D. 1设A 为3阶方阵，且行列式det(A)=0，则在A 的行向量组中 【 】A.必存在一个行向量为零向量B.必存在两个行向量，其对应分量成比例C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合．设向量组321,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 【 】A ．133221,,a a a a a a --- B. 212132,,a a a a - C. 32322,2,a a a a + D. 1321,,a a a a －6.向量组(I): )3(,,1≥m a a m 线性无关的充分必要条件是 【 】A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出B.(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出C.(I)中任意两个向量线性无关D.存在不全为零的常数0,,,111≠++m m m a k a k k k 使7．设a 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 存在非零解的充分必要条件是【 】A ．A 的行向量组线性相关B . A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 8.设i a 、i b 均为非零常数（i =1，2，3），且齐次线性方程组⎩⎨⎧=++=++00332211332211x b x b x b x a x a x a的基础解系含2个解向量，则必有 【 】A.03221= b b a aB.02121≠ b b a a C. 332211b a b a b a == D. 02131= b b a a9.方程组12312312321 21 3 321x x x x x x x x x a ++=⎧⎪++=⎨⎪++=+⎩有解的充分必要的条件是 【 】A. a=-3B. a=-2C. a=3D. a=110. 设η1，η2，η3是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是 【 】A. 可由η1，η2，η3线性表示的向量组B. 与η1，η2，η3等秩的向量组C.η1－η2，η2－η3，η3－η1D. η1，η1-η3，η1-η2-η3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则【 】A. 方程组有无穷多解B. 方程组可能无解，也可能有无穷多解C. 方程组有唯一解或无穷多解D. 方程组无解12.n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个 【 】A.互不相同的特征值B.互不相同的特征向量C.线性无关的特征向量D.两两正交的特征向量13. 下列子集能作成向量空间R n 的子空间的是 【 】A. }0|),,,{(2121=a a a a a nB. }0|),,,{(121∑==ni in aa a aC. },,2,1,|),,,{(21n i z a a a a i n =∈D. }1|),,,{(121∑==ni in aa a a14.若2阶方阵A 相似于矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3- 201B ,E 为2阶单位矩阵,则方阵E –A 必相似于矩阵【 】A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 10 1B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 1 0 1-C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 2-0 0D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 2-0 1-15.若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8020001 a a A 正定,则实数a 的取值范围是 【 】 A ．a < 8 B. a ＞4 C ．a ＜-4 D ．-4 ＜a ＜4二、填空题（每小题2分，共20分）。
大一线性代数期末试题及答案
诚信应考,考试作弊将带来严重后果！线性代数期末考试试卷及答案注意事项： 1. 考前请将密封线内填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；3．考试形式：开（闭）卷； 4.本试卷共五大题，满分100分，考试时间120分钟。
题号一二三四五总分得分评卷人一、单项选择题（每小题2分，共40分）。
1．设矩阵22, B 23, C 32A 为矩阵为矩阵为矩阵，则下列矩阵运算无意义的是【】A . BAC B.ABC C . BCA D. CAB2.设n 阶方阵A 满足A 2＋E =0，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有【】A. 矩阵A 不是实矩阵B. A=-EC. A=ED. det(A)=13.设A 为n 阶方阵，且行列式det(A)=1 ,则det(-2A)= 【】A. 2－B.n2－ C.n2－ D. 14.设A 为3阶方阵，且行列式det(A)=0，则在A 的行向量组中【】A.必存在一个行向量为零向量B.必存在两个行向量，其对应分量成比例C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合5．设向量组321,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是【】A ．133221,,a a a a a a B.212132,,a a a a C.32322,2,a a a a D. 1321,,a a a a －_____________________名学号学院专业座位号(密封线内不答题)………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………6.向量组(I):)3(,,1ma a m 线性无关的充分必要条件是【】A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出B.(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出C.(I)中任意两个向量线性无关D.存在不全为零的常数0,,,111mm m a k a k k k 使7．设a 为n m 矩阵，则n 元齐次线性方程组0Ax存在非零解的充分必要条件是【】A ．A 的行向量组线性相关B .A 的列向量组线性相关C. A 的行向量组线性无关D.A 的列向量组线性无关8.设i a 、i b 均为非零常数（i =1，2，3），且齐次线性方程组0332211332211x b x b x b x a x a x a 的基础解系含2个解向量，则必有【】A.03221 b b a a B.02121 b b a a C.332211b a b a b a D.2131 b b a a 9.方程组1231231232121 3 321x x x x x x x x x a 有解的充分必要的条件是【】A. a=-3B. a=-2C. a=3D. a=1 10.设η1，η2，η3是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是【】A.可由η1，η2，η3线性表示的向量组B.与η1，η2，η3等秩的向量组C.η1－η2，η2－η3，η3－η1 D.η1，η1-η3，η1-η2-η311.已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则【】A.方程组有无穷多解B.方程组可能无解，也可能有无穷多解C.方程组有唯一解或无穷多解D.方程组无解12.n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个【】A.互不相同的特征值B.互不相同的特征向量C.线性无关的特征向量D.两两正交的特征向量13.下列子集能作成向量空间R n的子空间的是【】A.}0|),,,{(2121a a a a a nB.}0|),,,{(121ni i n a a a a C.},,2,1,|),,,{(21n iz a a a a in D.}1|),,,{(121n i in a a a a 14.若2阶方阵A 相似于矩阵3-201B,E 为2阶单位矩阵,则方阵E –A 必相似于矩阵【】A.4101 B.4-101- C.42-00 D.4-2-01-15.若矩阵802001a a A正定,则实数a 的取值范围是【】A ．a < 8 B. a ＞4C ．a ＜-4 D．-4 ＜a ＜4二、填空题（每小题2分，共20分）。
2015-2016线性代数期末A卷
内蒙古大学2015－2016学年第一学期线性代数 期末考试试卷（A 卷）（闭卷 120 分钟）姓名 学号 专业 年级重修标记 □一、填空题（本题满分 40 分，每小题5分）1．已知向量组T T T c c c b b b a a a ),,(,),,(,),,(321332123211===ααα是线性无关的向量组，则向量组T T T c c c b b b a a a )3,,,(,)2,,,(,)1,,,(321332123211===βββ是。
（填线性相关或线性无关）2．设A 为n 阶矩阵)2(>n ，秩（A ）<1-n ，则秩)(*A = 。
3. 设A 为3阶方阵，且21=A ,则()=--*123A A 。
4．四元齐次线性方程组123400x x x x +=⎧⎨-=⎩解集的秩= 。
5. 设A 为3阶方阵，其特征值为1，2，-3，则=+A A 2 。
6.已知向量TT k k )2,8,1,(,)4,3,3,1(21--==αα正交，则=k 。
7.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001100010A ，则与A 可交换的一切方阵是 。
8.四元非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵的秩为3，321,,ηηη是它的三个解 向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5432,8642132ηηη，则该方程组的通解是 。
二、计算题（本题满分 16分）1．计算n 阶行列式D . xa a a x aaa x D =。
(8分)2．矩阵A A 求矩阵,111012112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=的逆矩阵（8分）三、计算题（本题满分 24分）1.二次型()322322213214332,,x x x x x x x x f +++=。
（1）写出二次型唯一对应的对称矩阵A; （2）求二次型的秩；（3）求一个正交矩阵P ，把二次型化成标准型：即使得=AP P T 对角矩阵。
（12分）4.线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++λλλλ321321321)1(3)1(0)1(x x x x x x x x x ，λ取何值的时候次方程组（1）无解；（2）有唯一解；（3）有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。
14-15-2线性代数期末试卷(经管)A
学院
出通解.
专 业班 级
学号
姓名
----------------------装订线 ----------------------------------------装订线 ----------------------------------------装订线 ---------------------------------------------
7/8
八、
满分 得分
8
设 * 是非齐次线性方程组 Ax b 的一个解， 1 , 2 ,, n-r
是对应齐次线性方程组 Ax 0 的一个基础解系. 证明： *, * 1 , * 2 ,, * n-r 是 Ax b 的一组线性无关的解向量.
（2）设 n 阶方阵 A 满足 AT A ， 是 A 的一个特征值. 证明： 也是 A 的 一个特征值.
天津工业大学（2014-2015 学年第二学期）
-----------------------密封线 ----------------------------------------密封线 ---------------------------------------密封线 ----------------------------------------------
４． 已知矩阵 A33
1/8
５ ． 设 3 阶 方 阵 A 有 特 征 值 3, 1, 3 , 且 A * 为 A 的 伴 随 矩 阵 ， 则
1 B A * ( A) 1 2 E 有 特 征 值 __________ ， 对 应 的 特 征 向 量 一 定 线 性 3
__________（相关，无关）.
8 八100 总分 Nhomakorabea核分人
(完整word版)线性代数期末考试试卷+答案合集
×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。
（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
大一线性代数期末考试试卷+答案
大一线性代数期末考试试卷+答案(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100100000010010A ，则A A =-1。
（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。
① n 2② 12-n③ 12+n④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n 个1+n 维向量线性相关② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。
线性代数期末考试试卷+答案合集
×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1.若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。
3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1.若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（）2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（）3.向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。
（）4.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100100000010010A ，则A A =-1。
（） 5.若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
()三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)1.设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。
①n2②12-n③12+n ④42.n 维向量组s ααα，，， 21（3?s ?n ）线性无关的充要条件是（）。
①s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ②s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示③s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④s ααα，，， 21中不含零向量 3.下列命题中正确的是()。
①任意n 个1+n 维向量线性相关 ②任意n 个1+n 维向量线性无关 ③任意1+n 个n 维向量线性相关 ④任意1+n 个n 维向量线性无关4.设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是()。
(完整word版)线性代数期末考试试题答案解析合集
XXX 大学线性代数期末考试题、填空题(将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分)1 -3 11.若 05 x =0，则-12 -2| /..X| x 2x 3 = 02 .若齐次线性方程组 +h x 2 +x3 =0只有零解，则 乙应满足X ! +x 2 +x 3 =05. n 阶方阵A 满足A 2-3A-E=0，则A 」= ___________________ 。
二、 判断正误(正确的在括号内填“V” ，错误的在括号内填“X” 。
每小题2分，共10分)1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则 D 0 o ()2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
()3. 向量组a 1? a 2, , a m 中，如果a 1与a m 对应的分量成比例，则向量组a 1? a 2, , a s 线性相关。
()0 1 1 04. A =0 0 卫05. 若■为可逆矩阵A 的特征值，则 A ，的特征值为■ o ()三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且A =2，则|AA^= ( )o①2n② 2n4③2n 1④42. n 维向量组〉2,…,s (3 - s _n )线性无关的充要条件是()。
①:-1,' 2 , , 〉s 中任意两个向量都线性无关②-■1,' 2,, 〉s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 0 0_0 01 “)，贝y A =Ao (0 11 03.已知矩阵A , B ,C = (C j )s n ，满足AC 二CB ，则A 与B 分别是 ________________ 阶矩阵。
a ii4 .矩阵 A = a 21 l a31ai2a 22的行向量组线性a32」③-■1,' 2, , 〉s中任一个向量都不能用其余向量线性表示④:-1,- 2, , 〉s 中不含零向量3. 下列命题中正确的是（）。
线代A期末考试题及答案
线代A期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 向量组 \(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\) 线性无关的充分必要条件是：A. 向量组中任意向量不能由其他向量线性表示B. 向量组中任意向量不能由其他向量线性组合得到C. 向量组中任意向量不能由其他向量线性组合得到，且向量组中向量个数等于空间的维数D. 向量组中向量个数等于空间的维数答案：A2. 矩阵 \(A\) 可逆的充分必要条件是：A. \(A\) 的行列式不为零B. \(A\) 的秩等于其行数C. \(A\) 的秩等于其列数D. \(A\) 的秩等于其行数且等于其列数答案：D3. 对于实对称矩阵 \(A\)，下列说法正确的是：A. \(A\) 一定可以对角化B. \(A\) 一定可以正交对角化C. \(A\) 的所有特征值都是实数D. \(A\) 的所有特征值都是正数答案：C4. 矩阵 \(A\) 和 \(B\) 相似的充分必要条件是：A. \(A\) 和 \(B\) 有相同的特征多项式B. \(A\) 和 \(B\) 有相同的特征值C. \(A\) 和 \(B\) 有相同的秩D. \(A\) 和 \(B\) 有相同的迹答案：B5. 矩阵 \(A\) 为正定矩阵的充分必要条件是：A. \(A\) 的所有特征值都大于零B. \(A\) 的所有特征值都大于等于零C. 对于任意非零向量 \(x\)，都有 \(x^TAx > 0\)D. 对于任意非零向量 \(x\)，都有 \(x^TAx \geq 0\)答案：C二、填空题（每题4分，共20分）6. 若向量 \(\alpha = (1, 2, 3)^T\) 和 \(\beta = (4, 5, 6)^T\)，则向量 \(\alpha + \beta\) 等于 \(\boxed{(5, 7, 9)^T}\)。
7. 矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)的行列式为 \(\boxed{-2}\)。
线性代数a期末考试题及答案
线性代数a期末考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\)线性无关的充分必要条件是（）。
A. 它们中任意一个向量不能由其余向量的线性组合表示B. 它们中任意两个向量不能由其余向量的线性组合表示C. 它们中任意三个向量不能由其余向量的线性组合表示D. 它们中任意四个向量不能由其余向量的线性组合表示答案：A2. 矩阵\(A\)的行列式为0，则矩阵\(A\)（）。
A. 可逆B. 不可逆C. 秩小于行数D. 秩等于行数答案：B3. 矩阵\(A\)和\(B\)满足\(AB = BA\)，则称\(A\)和\(B\)（）。
A. 可交换B. 可逆C. 相似D. 合同答案：A4. 矩阵\(A\)的秩等于其行秩，也等于其列秩，这是矩阵的（）。
A. 秩的性质B. 行列式的性质C. 特征值的性质D. 特征向量的性质答案：A5. 向量\(\beta\)是齐次线性方程组\(Ax = 0\)的解，则\(\beta\)（）。
A. 与矩阵\(A\)的列向量线性无关B. 与矩阵\(A\)的列向量线性相关C. 与矩阵\(A\)的行向量线性无关D. 与矩阵\(A\)的行向量线性相关答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 若矩阵\(A\)的行列式为1，则\(\det(A^{-1}) = ________\)。
答案：12. 矩阵\(A\)的特征值\(\lambda\)满足方程\(\det(A - \lambda I)= 0\)，其中\(I\)是单位矩阵，\(\lambda\)是矩阵\(A\)的______。
答案：特征值3. 若向量\(\alpha\)和\(\beta\)正交，则它们的点积\(\alpha\cdot \beta = ________\)。
答案：04. 矩阵\(A\)的迹是其主对角线上元素的和，记作\(\text{tr}(A)\)，若\(A\)是\(n \times n\)矩阵，则\(\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}\)，其中\(a_{ii}\)是矩阵\(A\)的第\(i\)行第\(i\)列的元素，\(\text{tr}(A)\)也等于矩阵\(A\)的______。
14级高数AII期末试卷(A)
六、计算曲面积分和三重积分（共12分，每小题6分）
1.计算 ，其中 是旋转抛物面 介于 及 之间部分的下侧.
2.计算 ，其中Ω是第一卦限中球面 与球面 之间的部分．
七、判断下列级数的敛散性，如果收敛是条件收敛还是绝对收敛
（共10分，每小题5分）
1. 2.
八、求幂级数 的收敛域及和函数．（本题8分）
1.空间直线 与平面 的位置关系是[ ].
．平行 ．垂直 ．不平行也不垂直 ．直线在平面上
2.设 为连续函数， ，则 等于[ ].
． ． ． ．
3.设 是旋转抛物面 ， 的外侧， 是 平面上圆域 ，则曲面积分
可化为二重积分[ ].
． ．
． ．
4.正项级数 收敛是级数 收敛的[ ].
．必要，但非充分条件 ．充分，但非必要条件 ．充要条件 ．无关条件
三、求下列微分方程的解（共10分，每小题5分）
1． .
2．
四、求解下列各题（共15分，每小题5分）
1.求通过点 且与直线 垂直相交的直线方程．
2.求函数 在点A(1, 0, 1)处沿点A指向点 方向的方向导数.
3.求二元函数 的极值.
五、求下列各积分（共15分，每小题5分）
1. ．
2.计算 ，其中 是圆周 的上半部分 .
集美大学试卷纸
2014—2015学年第二学期
课程名称
高等数学AⅡ
试卷
卷别
A卷
适用
学院、专业、年级
2014级电子、通信、电科、物理、光电、电气
等专业
考试
方式
闭卷
开卷□
备注
1.本试卷共6页，答题前请检查；2.考试时间120分钟。
(完整word版)线性代数期末考试试题 答案解析合集
×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。
（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
线性代数期末考试试卷 答案合集
2
0
10 0
1 0
4 16
2
16
0 3 1 7
0 3 1
7
0 0 13 13
1 0 0 2
0 1 0
2
0 0 1 1
0 0 0
0
则 ra1， a2， a3， a4 3 ，其中 a1， a2， a3 构成极大无关组， a4 2a1 2a2 a3
7.
1 0 0 E A 0 1 0 ( 1)3 0
1. ×
2. √
三、单项选择题
1. ③
2. ③
四、计算题
1.
3. s s ， n n
4. 相关
3. √ 3. ③
4. √ 4. ②
5. × 5. ①
共 3 页第 4页
大学生校园网— 线性代数 综合测试题
xa b c d xabcd b c d
a xb c
d xabcd xb c
五、解答题（本题共 3 小题，每小题 12 分，满分 32 分。解答应写出文字说明或演算步骤）
2 0 0
13、设
A
0
3
2
，求一个正交矩阵
P
使得
P
1
AP
为对角矩阵。
0 2 3
14、已知方程组
x1 x2 x1 2x2
x3 ax3
x1 4x2 a 2 x3
0 0 与方程组 x1 2x2 x3 a 1有公共解。 0
1 x 1 1 1
9、计算行列式 D 1 1 x 1
1
1 1 1 y 1
1 1 1 1 y
10、计算 n 阶行列式
x1 3 x2 xn
Dn
x1
x2 3 xn
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) [ x y, y z, z ] T .
(1) 求线性变换 在标准基 1 , 2 , 3 下的矩阵； (2) 求线性变换 在基 1 [0, 0,1]T , 2 [0,1,1]T , 3 [1,1,1]T 下的矩阵. 六、(共 11 分) (1) 设 f ( x ) 为多项式 , 为 n 阶方阵 A 的任意一个特征值 . 证明：若
1 0 0 5 、 设 实 对 称 矩 阵 A 与 矩 阵 B 0 1 2 合 同 ， 则 二 次 型 0 2 1
f ( x1 , x2 , x3 ) X T AX 的 正 惯 性 指 数 为 _________ ， 规 范 形 为
________________________. 二、单项选择题（共 15 分，每小题 3 分） 1、设 A 为 n 阶正定矩阵，则以下说法中错误的是（ (A) A 是可逆矩阵 (C) A 正交相似于对角阵 ）. (B) A 是正交矩阵 (D) A1 也是正定矩阵
f ( A) Onn , 则 f ( ) 0 ；
(2) 设 A 为 n 阶实对称矩阵，且 A 有 r ( 0) 个非零特征值.证明 r ( A) r ； (3) 设 A 是秩为 r ( 0,n ) 的 n 阶实对称矩阵，且满足 A2 3 A O ，求
| 2E A |.
七、 （15 分）用正交线性替换化实二次型
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x2 4 x3 8 x1 x2 4 x1 x3 4 x2 x3
为标准形，并写出所用的正交线性替换. 八、 （4 分）设 3 空间中的列向量组 1 , 2 与 1 , 2 都线性无关，证明存在 非零列向量 ，使得 既可由 1 , 2 线性表示，也可由 1 , 2 线性表示.
3
3 3 24 ， 4 33 5 4 分别为线性空间 R 4 的两个基.
2
(1) 求由基 i 到基 i 的过渡矩阵； (2) 求向量 1 2 2 3 4 在基 i 下的坐标. 五、 （共 12 分）在 3 中，对于任意向量 [ x, y, z]T ，规定
1 ( X1 X 2 ) k1 (1 2 ) k2 2 ，其中 k1 , k2 为任意常数 2
(C) X1 k1 ( X1 X 2 ) k22 ，其中 k1 , k2 为任意常数 (D) X1 k1 ( X1 X 2 ) k21 k32 ，其中 k1 , k2 , k3 为任意常数
2、 设 4 元非齐次线性方程组 AX 的系数矩阵秩为 2，X1 , X 2 是 AX 的两个解， 1 , 2 是导出组 AX 0 的线性无关的解，则 AX 的通解为 （ ）.
1
(A) (B)
1 ( X1 X 2 ) k1 (1 2 ) k2 2 ，其中 k1 , k2 为任意常数 2
(A) 给定 n 阶方阵 A ，对 X n ，规定 ( X ) AX ； (B) 对 A nn ，规定 ( A) A+ AT ； (C) 对 [ x, y]T 2 ，规定 ( [ x2 , xy]T ； (D) 对 X = [ x1 , x2 ,, xn ] n ，规定 ( X ) = [ x1 ,, xn 1 , 0] n ；
| 1 , 21 32 53 ,2 63 | _____________.
2 、 设 A, B 都 是 3 阶 方 阵 ， | A | 2, | B | 3 ， B* 为 B 的 伴 随 矩 阵 ， 则
(3 A) 1 C O _________. 2 B*
3、若向量 [1,1, 2]T 可由向量组 1 [a,1,1]T , 2 [1, a,1]T , 3 [1,1, a]T 线 性表示，且表示方式唯一，则参数 a 的取值范围___________________. 4、设 1 [1,1,1]T , 2 [1, x, 2]T 是实对称矩阵 A 的属于不同特征值所对应 的特征向量，则参数 x ______________.
(B) 相似但不合同 (D) 不相似且不合同
bd a, b, c, d 的基和维数. c d
1 3 2、设矩阵 A ， n 是正整数， 求 An . 1 1
四、 （ 12 分）设 (I) 1 , 2 , 3 , 4 和 (II) 1 31 7 2 ， 2 21 5 2 ，
2 x 0 B diag( y, 2, 2) 相似，则参数 x, y 的值为 3、设矩阵 A 2 0 2 与 3 1 1
（ ）. (B) x 0, y 1 (C) x y 1 4、以下法则中，不是线性变换的为(
3 4 2 7 0 0 1 ，则 A 与 B （ 5、设矩阵 A 4 3 2 和 B 0 7 2 2 6 0 0 2
）.
(A) 相似且合同 (C) 合同但不相似 三、 （共 16 分，每小题 8 分）
ac 1、求 22 的子空间 W 2a b d
2014 ～ 2015 学年第一学期期末考试试卷 《 线性代数及其应用 》 （A 卷 共 4 页）
（考试时间：2015 年 1 月 4 日）
一、填空题（共 15 分，每小题 3 分） 1、设 1 , 2 , 3 均是 3 元列向量，且行列式 | 1 , 2 , 3 | 3 ，则行列式