2017年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案.doc

2017 年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案
考试时间2017 年 3 月19 日9 ∶ 00－11∶00 满分150 分
一、选择题（共 5 小题，每小题7 分，共35 分）。

每道小题均给出了代号为A，B，C，
D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0 分）
1．设a 2 3 2 3 ，则a 1
的整数部分为（）a
A ．1 B． 2 C． 3 D．4
【答案】 B
【解答】由a2 2 3 2 2 3 2 3 2 3 6 ，知a 6 。

于是 a 1 6 1
， (a 1 )2 6 2 1 8
1
， 4 (a 1)2 9 。

a 6 a 6 6 a
因此， a 1
的整数部分为 2。

a
（注： a 2 3 2 3 4 2 3 4 2 3 3 1 3 1
）
2 2 2 2
6
2．方程2x ( x )2 3 的所有实数根之和为（）
x 2
A． 1B．3C．5D．7
【答案】 A
【解答】方程 2x ( x ) 2 3 化为2x( x 2) 2 x2 3( x 2)2。

x 2
即 x3 5x2 10x 6 0 ， ( x 1)(x2 4x 6) 0 。

解得 x 1 。

经检验 x 1 是原方程的根。

∴原方程所有实数根之和为 1。

3．如图， A 、B 、C 三点均在二次函数y x2的图像上， M 为线段 AC 的中点，BM∥y轴，且 MB 2 。

设 A 、 C 两点的横坐标分别为 t1、 t2（ t2 t1），则 t2 t1的值为（）
A ．3 B．2 3 C．22 D．2 2
【答案】 D
【解答】依题意线段AC 的中点 M 的坐标为
t1 t2 t12 t22
（第 3题）( ，) 。

2 2
由 BM ∥ y 轴 ，且 BM 2 ，知 B 点坐标为
t 1 t 2
t 12 t 22
(
2 ，
2) 。

2
由点 B 在抛物线 y
x 2 上，知 t 1
2
t 22
2(t
1
t
2 )2。

2
2
整理，得 2t 12 2t 22 8 t 12 2t 1t 2 t 22 ，即 (t 2
t 1 )2 8 。

结合 t 2 t 1，得 t 2 t 1 2 2 。

4．如图，在 Rt △ABC 中， ABC 90 ， D 为线段 BC 的中点， E 在线段 AB 内，CE 与 AD 交于点 F 。

若 AE EF ，且 AC 7 ， FC 3，则 cos ACB 的 A
值为（
）
A ．
3
B ．2 10
C ．
3
D ．
10
7
7
14
7
【答案】 B
【解答】如图，过 B 作 BK ∥AD 与 CE 的延长线交于点 K 。

则由 AE
EF 可得， EBK EAF AFEBKE 。

∴
EK EB 。

又由 D 为 BC 中点，得 F 为 KC 中点。

∴
AB AE EB FE
EK KF
FC 3 。

∴ BC
AC 2
2
7 2
2
2 10 。

K
AB
3
E
F
C
B
D
（第 4题）
A
∴ cos ACB
BC
2 10。

AC
7
或解： 对直线 AFD 及 △BCE 应用梅涅劳斯定理
E
F
得， BD CF EA 1。

DC FE AB
由 D 为线段 BC 的中点，知 BD DC 。

C
B
D
又 AE EF ，因此， AB CF 3 。

结合 AC 7， ABC 90 ，利用勾股定理得， BC 2 10 。

所以， cos ACB BC
2 10。

AC
7
5．如图， O 为 △ ABC 的外接圆的圆心， R 为外接圆半径， 且 R 4 。

直线 AO 、 BO 、CO
分别交 △ABC 的边于 D 、E 、F ，则
1
1
1
的值为（ ）
AD
BE CF
A ．
1
B ． 1
C ．
1
D ．
2
4
3
2
3
A
【答案】
C
【解答】 由条件及等比定理，得
F
E
O
OA S △OAB S △OAC S △OAB S △ OAC S △ OAB
S △OAC
，
B
D
C
AD
S △ABD
S △ACD
S △ABD
S △ ACD
S △ABC
同理，
OB
S △OAB
S △OBC ， OC
S △ OBC
S
△OAC 。

BE
S △ABC CF
S △ABC
（第 5题）
∴ OA OB OC (S △ OAB S △OAC ) (S △ OAB S △OBC ) (S △ OBC
S △OAC )。

AD
BE
CF
S △ABC
2
又OA OB OC R 4，
∴
1 1 1
2 1 。

AD BE CF
R 2
二、填空题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）
6．记函数 y x 2 2x 3 （ 1 x 2 ）的最大值为 M ，最小值为
m ，则 M m 的值
为。

【答案】
8
【解答】 ∵
y x 2 2x 3 ( x 1)2 2 ， 1 x 2 ，
∴
x 1 时， y 取最小值，即 m 2 ； x 1 时， y 取最大值，即 M
6 。

∴
M m 8 。

7．已知二次函数 y ax 2 bx c （ a 0
）的图像与 x 轴交于不同的两点 A 、 B ， C 为二 次函数图像的顶点， AB
2 。

若 △ ABC 是边长为 2 的等边三角形，则 a。

【答案】
3
【解答】 依题意 ax 2 bx c 0 有两个不同的实根，设为 x 1 ， x 2 ，则 AB x 1 x 2 2 。

∵ x 1 x 2
b
， x 1x 2 c ，
a
a
∴ ( x 1 x 2 )
2
( x 1 x 2 )
2
4x 1 x 2 ( b )2
4
c
b 2 4a
c 4 ，即 b 2 4ac 4a 2 。

a
a
a 2
又由 y ax2 bx c a( x b )2 b2 c ，及a 0 ，知b2 c 3 ，即 b2 4ac 4 3a 。

2a 4a 4a
∴ 4a2 4 3a ， a 3 。

8．如图，在△ABC中， AD为 BC边上的高， M 为线段 BC的中点，且
BAD DAM MAC 。

若 AB 2 ，则△ABC 内切圆的半径为。

【答案】3 1
【解答】依题意，易知 D 为 BM 中点，DM
1 。

MC 2
又AM平分DAC ，
A
∴AD MD 1。

结合 AD DC ，得 ACD 30 。

B C
AC MC 2 D M
∴DAC 60 ，BAC 90 。

（第 8题）∴AC 2 3，BC 4 。

∴△ABC 内切圆半径为2
2 3 4 3 1。

2
9．若二次函数y x2 (4 a 3) x 3a （ a 2
）的图像与直线 y 2 x 在y轴左侧恰有1 3
个交点，则符合条件的所有 a 的值的和为。

【答案】29 12
【解答】依题意，关于 x 的方程 x2 (4 a 3) x 3a 2 x ，即 x2 (4a 2) x 3a 2 0 恰有 1 个负根或者两个相等的负
根。

有下列三种情形：
（ 1）方程有两个相等的负根。

△
(4a 2) 2
4(3a
2) 0
，解得 a 1 或a
3。

均满足 a 2 。

则
x1 x2 (4a 2) 0 4 3
因此， a 1 ，a 3
符合要求。

4
（ 2）方程两根中一根为零，另一根为负数。

x1 x2 3a 2 0
，解得 a 2 2
则
x2 (4a 2) 。

满足 a 。

x1 0 3 3
因此，a
2 符合要求。

3
（ 3）方程两根中一根为正数，另一根为负数。

则 x1 x2 3a 2 0 ，解得 a 2。

不满足 a 2 。

3 3
综合（ 1）、（2）、（ 3），得符合条件的a的值为 1，3 ， 2 。

4 3
因此，符合条件的所有 a 的值的和为 1 3 2 29 。

4 3 12
10．若正整数n恰有 90 个不同的正因数（含 1 和本身），且在n的正因数中有 7 个连续整数，则正整数 n 的最小值为。

【答案】25200
【解答】∵任意连续 7 个正整数的乘积能被 1 2 3 4 5 6 7整除，
∴n 的正因数中必定有22，3，5，7这四个数。

∴正整数 n 具有形式： n 2 1 3
2 5 3
7 4 L （1，2，3，4为正整数，1 2）。

由正整数 n 恰有90个正因数，知 (
1
1)( 2 1)( 3 1)( 4 1) k 90 ，其中k为正整数。

而 90 分解为 4 个大于 1 的正整数的乘积的分解式只有一种：90 2335。

∴k 1 ，(11)( 2 1)(31)(41) 90 2335。

∴n 的最小值为 24 32 52 7 25200 ，此时 n 有连续正因数1，2，3，4，5，6，7。

42080
11x 2
2017 y 2
2018x
x 2
2018 x 2017 y 2
x △ 20182 4 2017 y 2 4(10092 2017 y 2 )
5
10092 2017 y 2
10092 2017 y 2 t 2 t1009 2 t 2 2017 y 2
(1009 t )(1009 t) 2017 y 2
2017
2017 (1009 t)2017 (1009 t)
10
t t 1009
t 1009t 1008 15 y 0 y 1
y
1x 2
2018x 2017
0x 1x 1017 x 1
x 2017
20
y 1
y 1
12ABC ACB 90 M AC D BC ADBM E MEMA
1 BE CD
2
ACDE
AD DB
1CE
ME MA MC
CE AE 5
ACB 90
MAE DCE
BED AEM MAE DCE EBD CBE
△ BDE ∽△ BEC
C
M D
E
A B
12
BE DE
10
C
M
BC EC D CE AD AC CD△ CDE∽△ ACE
E CD DE
A B
AC CE
BE
DE CDBE CD
BC EC ACBC AC
BC AC
BE CD15
2 1 CE AD AC CD△CDE∽△ ADC
CE AC
CD AD
1 △BDE∽△BEC DE
EC
DB EB
1BECD AC
CE EC DE
AD CD EB DB
AC DE
20
AD DB
13
n p p
6
n n n n
2
4
6
3
p
x
x x x x 1 p
2p
n n n
n 3
n 2017 n
2
4
6
p
1
n
n
1 n 3 n 5 n p 1
2 2 4 4
6 6 p p
5
n
n n n 1 3 5 25
2 4
6 2 4
6 12
n p p
6
n
n n n
3
2
4
6 p
n
n 3 25 11
p 12 12
p 1
n 11
p
12
p
p
12
n
11
11 11 11
11 1 3 5 11 3
2
4
6
12
2 4
6 12
p12
10 2 p 12
3
n n
n
n 1 3 5 11 3
2
4
6
p
2 4
6 12
n
1 n 3 n 5 n 11
2 2
4
4
6
6
12
12
n 12k 11 k
p12
n
12k 11k
n n n n
15
2
4
6
3 12
n
12k 11 2017k 167
n
168
20
14．将平面上每个点都以红、蓝两色之一染色。

证明：
（ 1）对任意正数 a ，无论如何染色平面上总存在两个端点同色且长度为a 的线段； （ 2）无论如何染色平面上总存在三个顶点同色的直角三角形；
（ 3）无论如何染色，平面上是否总存在三个顶点同色且面积为2017 的直角三角形？
【解答】（1）在平面内任作一个边长为 a 的等边 △ABC 。

则 △ABC 的三个顶点 A 、 B 、
C 中必有两点同色。

所以，存在两端点同色，且长为 a 的线段。

因此，对任意正数 a ，无论如何染色平面上总存在两个端点同色且长度为
a 的线段。

5 分
（2）对任意正数 a ，如图，设 A 、 D 同色，且 AD a （由（ 1）知， A 、 D 存在）。

以 AD 为直径作圆 O ，设 ABCDEF 为圆 O 的内接正 F
E
六边形。

若 B 、C 、 E 、 F 中存在一点与 A 、D 同色，不妨设点 B 与 A 、 D 同色，则 △ABD 为直角三角形，其中
ABD 90 ，
ADB 30 ，且三顶点同色。

10 分
A
D
O
若B 、C 、E 、F 都与 A 、D 异色，则 B 、C 、E 、
F 四点同色. 则△BCE 为直角三角形，其中
BCE 90 ， CEB 30 ，且三顶点同色。

B
C
因此，无论如何染色平面上总存在三个顶点同色的直角三角形。

15 分
（ 3）由（ 2）知，对任意正数 a ，无论如何染色总存在斜边长为 a ，有一个内角为 30 ，且
三个顶点同色的直角三角形。

当 a
8 2017
时，该三角形面积 S 1 ( 1 a) ( 3
a)
3
8 2017 2017 。

3
2 2 2
8 3
因此，无论如何染色，平面上总存在三个顶点同色且面积为 2017 的直角三角形。

20 分。