整数规划ppt课件
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要求一部分或全部决策变量必须取整数值的线性规 划 问 题 称 为 整 数 线 性 规 划 （ Integer linear Programming，简称IP）。
第4页
整数线性规划数学模型的一般形式为：
n
max(或 min)z c j x j j 1
n
aij x j
(或 ，)bi , i 1,...,m
效算法。
第23页
特点：它比枚举法优越，因为它仅在一部分可行解 的整数解中寻找最优解，计算量比枚举法要小。但 若变量数目很大，则其工作量也相当可观。
第24页
二、分支定界法的步骤
步骤 1 求解整数线性规划问题 A 的松弛问题 B ： B 没有可行解，A 也没有可行解，停止； B 有最优解，且符合整数条件，B 的最优解就是 A 的最优解，停止； B 有最优解，但不符合整数条件，转步骤 2 。
第8页
整数线性规划
松弛问题
n
max(或 min)z c j x j j 1
n
aij x j (或 ，)bi , i 1,...,m
j1 x j 0, j 1,...,n
x1
,...,
x
n中
部
分
或
全
部
取
整
数
n
max(或min)z c j x j j 1
第17页
x1 4, x2 0
为可行解，但不是最优解（x1=4, x2=1更优）
第18页
x1 5, x2 0
不满足约束条件 1 ，从而为不可行解。
第19页
结论：利用求解整数线性规划的松弛问题的最优解， 再化整的方法无法得出整数线性规划的最优解。
第20页
第2节 分支定界法
纯整数规划问题：可行解的数量是有限的。 小型纯整数规划问题：可通过全枚举法，从中筛 选最优解。 大型纯整数规划问题：可行解的数量很大，无法 使用全枚举法。 混合整数规划问题：可行解的数量是无限的，无 法使用全枚举法。
第13页
产生问题：利用对松弛问题的最优解中不符合整 数要求的分量简单地取整，是否能得出整数规划 问题的最优解呢？
第14页
3. 对松弛问题的最优解中不符合整数要求的分量简 单地取整，所得到的问题解： 不一定是整数线性规划问题的最优解。 甚至也不一定是整数线性规划问题的可行解。
第15页
例：
3.0-1 型 整 数 线 性 规 划 （ zero-one integer linear programming）：指决策变量只能取值 0 或 1 的整数 线性规划。
第7页
二、整数线性规划的松弛问题
松弛问题（slack problem）：不考虑整数条件，由 余下的目标函数和约束条件构成的线性规划问题称 为该整数规划问题的松弛问题（slack problem）。
ຫໍສະໝຸດ Baidumaxz 20x1 10x2
5 x1 4 x2 24
2 x1 5 x2 13
x1
,
x2
0
x1 , x2整数
第16页
解：问题的最优解为：x1=4.8，x2=0
其中分量 x1 不满足整数要求，从而对分量 x1 进行 “化整” ：
x1 4, x2 0 x1 5, x2 0
第21页
一、分支定界法的提出
20世纪60年代由 LandDoig 和 Dakin 等人提出了一种 仅检查可行域内可行的整数组合的一部分，就能定出 最优整数解的方法，称为分支定界法（branch and bound method）。
第22页
它是在枚举法基础上的改进，是一种隐枚举法
（implicit enumeration）或部分枚举法，不是一种有
第11页
整数线性规划的可行解集合 其松弛问题可行解集合
从而可得出： 整数线性规划的可行解一定也是其松弛问题的可行 解。 松弛问题的可行解不一定是整数线性规划的可行解。 整数线性规划最优解的目标函数值 ≤ 松弛问题最优 解的目标函数值（极大化问题）。
第12页
2. 松弛问题的可行解集合：凸集（任意两个可行解 的凸组合仍为可行解） 整数线性规划的可行解集合：不是凸集（任意两个 可行解的凸组合不一定满足整数要求，因而不一定 仍为可行解）。
j 1
xj
0,
j
1,...,n
x1
,
.
.
.,xn中
部
分
或
全
部
取
整
数
第5页
整数线性规划问题可以分为下列几种类型： 1.纯整数（全整数）线性规划（pure integer linear programming）：指全部决策变量都必须取整数值的 整数线性规划。
第6页
2. 混 合 整 数 线 性 规 划 （ mixed integer linear programming）：指决策变量中有一部分必须取整数 值，另一部份可以不取整数值的整数线性规划。
第25页
步骤 2 分支和定界 分支 在 B 的最优解中任选一个不符合整数条件的变量 xj = bj ，并构造两个约束条件 x j [b j ] 和 x j [b j 1] ，并将这两个约束条件加入问题 B ，得到两个分支 问题 B1 和 B2 ，并求解这两个分支问题 B1 和 B2 。
n
aij x j (或 ，)bi , i 1,...,m
j1
x
j
0,
j
1,...,n
第9页
max z = 2x1 + 3x2
s.t .
x1 2 x2 8
4
x1
4 x2
16 12
整数规划
x1 , x2 0且 均 为 整 数
s.t .
max z = 2x1 + 3x2
x1 2 x2 8
4
x1
4 x2
16 松弛问题 12
x1 , x2 0
第10页
三、整数线性规划的解和其松弛问 题的解之间的关系
1. 整数线性规划的可行解集合是其松弛问题可行解 集合的一个子集，即：
松弛问题可行域 整数规划可行域
整数规划
第1页
第一节 整数规划问题的提出 第二节 分支定界法 第三节 割平面法 第四节 0-1整数规划 第五节 指派问题
第2页
第一节 整数规划问题的提出
在线性规划问题中，有些最优解可能是分数或小数， 但对于某些具体问题，常有要求解答必须是整数的 情况。
第3页
一、整数线性规划数学模型的一般形式
第4页
整数线性规划数学模型的一般形式为：
n
max(或 min)z c j x j j 1
n
aij x j
(或 ，)bi , i 1,...,m
效算法。
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特点：它比枚举法优越，因为它仅在一部分可行解 的整数解中寻找最优解，计算量比枚举法要小。但 若变量数目很大，则其工作量也相当可观。
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二、分支定界法的步骤
步骤 1 求解整数线性规划问题 A 的松弛问题 B ： B 没有可行解，A 也没有可行解，停止； B 有最优解，且符合整数条件，B 的最优解就是 A 的最优解，停止； B 有最优解，但不符合整数条件，转步骤 2 。
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整数线性规划
松弛问题
n
max(或 min)z c j x j j 1
n
aij x j (或 ，)bi , i 1,...,m
j1 x j 0, j 1,...,n
x1
,...,
x
n中
部
分
或
全
部
取
整
数
n
max(或min)z c j x j j 1
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x1 4, x2 0
为可行解，但不是最优解（x1=4, x2=1更优）
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x1 5, x2 0
不满足约束条件 1 ，从而为不可行解。
第19页
结论：利用求解整数线性规划的松弛问题的最优解， 再化整的方法无法得出整数线性规划的最优解。
第20页
第2节 分支定界法
纯整数规划问题：可行解的数量是有限的。 小型纯整数规划问题：可通过全枚举法，从中筛 选最优解。 大型纯整数规划问题：可行解的数量很大，无法 使用全枚举法。 混合整数规划问题：可行解的数量是无限的，无 法使用全枚举法。
第13页
产生问题：利用对松弛问题的最优解中不符合整 数要求的分量简单地取整，是否能得出整数规划 问题的最优解呢？
第14页
3. 对松弛问题的最优解中不符合整数要求的分量简 单地取整，所得到的问题解： 不一定是整数线性规划问题的最优解。 甚至也不一定是整数线性规划问题的可行解。
第15页
例：
3.0-1 型 整 数 线 性 规 划 （ zero-one integer linear programming）：指决策变量只能取值 0 或 1 的整数 线性规划。
第7页
二、整数线性规划的松弛问题
松弛问题（slack problem）：不考虑整数条件，由 余下的目标函数和约束条件构成的线性规划问题称 为该整数规划问题的松弛问题（slack problem）。
ຫໍສະໝຸດ Baidumaxz 20x1 10x2
5 x1 4 x2 24
2 x1 5 x2 13
x1
,
x2
0
x1 , x2整数
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解：问题的最优解为：x1=4.8，x2=0
其中分量 x1 不满足整数要求，从而对分量 x1 进行 “化整” ：
x1 4, x2 0 x1 5, x2 0
第21页
一、分支定界法的提出
20世纪60年代由 LandDoig 和 Dakin 等人提出了一种 仅检查可行域内可行的整数组合的一部分，就能定出 最优整数解的方法，称为分支定界法（branch and bound method）。
第22页
它是在枚举法基础上的改进，是一种隐枚举法
（implicit enumeration）或部分枚举法，不是一种有
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整数线性规划的可行解集合 其松弛问题可行解集合
从而可得出： 整数线性规划的可行解一定也是其松弛问题的可行 解。 松弛问题的可行解不一定是整数线性规划的可行解。 整数线性规划最优解的目标函数值 ≤ 松弛问题最优 解的目标函数值（极大化问题）。
第12页
2. 松弛问题的可行解集合：凸集（任意两个可行解 的凸组合仍为可行解） 整数线性规划的可行解集合：不是凸集（任意两个 可行解的凸组合不一定满足整数要求，因而不一定 仍为可行解）。
j 1
xj
0,
j
1,...,n
x1
,
.
.
.,xn中
部
分
或
全
部
取
整
数
第5页
整数线性规划问题可以分为下列几种类型： 1.纯整数（全整数）线性规划（pure integer linear programming）：指全部决策变量都必须取整数值的 整数线性规划。
第6页
2. 混 合 整 数 线 性 规 划 （ mixed integer linear programming）：指决策变量中有一部分必须取整数 值，另一部份可以不取整数值的整数线性规划。
第25页
步骤 2 分支和定界 分支 在 B 的最优解中任选一个不符合整数条件的变量 xj = bj ，并构造两个约束条件 x j [b j ] 和 x j [b j 1] ，并将这两个约束条件加入问题 B ，得到两个分支 问题 B1 和 B2 ，并求解这两个分支问题 B1 和 B2 。
n
aij x j (或 ，)bi , i 1,...,m
j1
x
j
0,
j
1,...,n
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max z = 2x1 + 3x2
s.t .
x1 2 x2 8
4
x1
4 x2
16 12
整数规划
x1 , x2 0且 均 为 整 数
s.t .
max z = 2x1 + 3x2
x1 2 x2 8
4
x1
4 x2
16 松弛问题 12
x1 , x2 0
第10页
三、整数线性规划的解和其松弛问 题的解之间的关系
1. 整数线性规划的可行解集合是其松弛问题可行解 集合的一个子集，即：
松弛问题可行域 整数规划可行域
整数规划
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第一节 整数规划问题的提出 第二节 分支定界法 第三节 割平面法 第四节 0-1整数规划 第五节 指派问题
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第一节 整数规划问题的提出
在线性规划问题中，有些最优解可能是分数或小数， 但对于某些具体问题，常有要求解答必须是整数的 情况。
第3页
一、整数线性规划数学模型的一般形式