整数规划ppt课件
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数据、模型与决策 第四章 整数规划ppt课件
性规划，也称为全整数线性规划。 • 混合整数线性规划 • 决策变量中的一部分必需取整数值，
而其他的可以不取整数值的整数线性规 划。 • ０－１型整数线性规划 • 决策变量只能取０或１的整数线性规
4.1.3 建立整数规划模型
• 实例分析： • 一家电子厂消费两种产品Ａ１和Ａ２，
需经过三道工序加工：Ｂ１，Ｂ２，Ｂ ３。单件加工利润以及各工时每周限额 如表所示。应该如何安排消费才干获得 最大利润？
• 最后求得最优解为 A＝４，B＝１， 目的函数为１４。
问题二上 界14.5下界
13
松弛问
题上界 14.75下 界13
问题三上界 13.5下界13
问题四 A=3B=2Z=13
问题五 A=4B=1Z=14
• 利用分枝定界法求解整数规划问题的步 骤:
• 第一步：求解相应的线性规划问题，并 确定目的函数值的上下界。
4.4.2 0-1规划的解题过程
• 实例分析： • ＡＫ公司预备开发几种新产品，该公司的四个
工程小组分别都提出了各自的方案，但是由于 公司的投资金额有限，不能对一切工程进展投 资，必需在其中作出选择。表４－５列出了各 个工程对于资金、任务人员以及将会产生的净 现值的情况。总的投资额为１１００万元，可 以调用的任务人员一共有２２人。关于投资的 工程，还有一个附加条件，即工程１和工程４ 由于某些缘由不得同时投资。应该如何挑选投 资工程？
工程
产品
A
〔件〕
1
A 产品 〔件〕 2
工时限额 〔小时/周〕
工序B1 0.4 0.5 200
工序B2 0.4 0.3 180
工序B3 0.3 0.2 120
利润〔元/件〕 30 28 --
解题过程：
而其他的可以不取整数值的整数线性规 划。 • ０－１型整数线性规划 • 决策变量只能取０或１的整数线性规
4.1.3 建立整数规划模型
• 实例分析： • 一家电子厂消费两种产品Ａ１和Ａ２，
需经过三道工序加工：Ｂ１，Ｂ２，Ｂ ３。单件加工利润以及各工时每周限额 如表所示。应该如何安排消费才干获得 最大利润？
• 最后求得最优解为 A＝４，B＝１， 目的函数为１４。
问题二上 界14.5下界
13
松弛问
题上界 14.75下 界13
问题三上界 13.5下界13
问题四 A=3B=2Z=13
问题五 A=4B=1Z=14
• 利用分枝定界法求解整数规划问题的步 骤:
• 第一步：求解相应的线性规划问题，并 确定目的函数值的上下界。
4.4.2 0-1规划的解题过程
• 实例分析： • ＡＫ公司预备开发几种新产品，该公司的四个
工程小组分别都提出了各自的方案，但是由于 公司的投资金额有限，不能对一切工程进展投 资，必需在其中作出选择。表４－５列出了各 个工程对于资金、任务人员以及将会产生的净 现值的情况。总的投资额为１１００万元，可 以调用的任务人员一共有２２人。关于投资的 工程，还有一个附加条件，即工程１和工程４ 由于某些缘由不得同时投资。应该如何挑选投 资工程？
工程
产品
A
〔件〕
1
A 产品 〔件〕 2
工时限额 〔小时/周〕
工序B1 0.4 0.5 200
工序B2 0.4 0.3 180
工序B3 0.3 0.2 120
利润〔元/件〕 30 28 --
解题过程：
excel建模整数规划PPT课件
900 900 1300 1300 1700 1700 1700 1900 1900
6.3.2 辅助0-1变量
第6章 整数规划
在例6.2中，每个0-1变量表示一个是非决策， 这些变量也称为0-1决策变量。除了这些0-1决 策变量，有时还引入其他一些0-1变量以帮助 建立模型。辅助0-1变量，是引入模型的附加 0-1变量，不代表一个是非决策，仅仅是为了 方便建立纯的或混合的0-1整数规划模型。
x
2
12
3
x
1
2 x2
18
s.t. x1 M y1
x
2
M y2
x1, x2 0 且 为 整 数
y1 ,
y2
0,1
RUC, School of Information ,Ye Xiang
6.3.2 辅助0-1变量
固定成本问题
在一般情况下，产品的成本是由固定成本和可变成 本两部分组成。固定成本是指在固定投入要素上的 支出，它不受产量影响，例如厂房和设备的租金、 贷款利息、管理费用等；可变成本是指在可变投入 要素上的支出，它是随着产量变化而变化的成本， 例如原材料费用、生产工人的工资、销售佣金等。
通常，变动成本和产量成正比，所以可以用下面的 表达式来代表某一产品的总成本
第6章 整数规划
实用运筹学 －运用Excel建模和求解
第6章 整数规划
RUC, School of Information ,Ye Xiang
本章内容要点
第6章 整数规划
整数规划的基本概念 整数规划问题的建模与应用
RUC, School of Information ,Ye Xiang
本章节内容
解：
(1)决策变量
设小型飞机与大型飞机的购买
6.3.2 辅助0-1变量
第6章 整数规划
在例6.2中，每个0-1变量表示一个是非决策， 这些变量也称为0-1决策变量。除了这些0-1决 策变量，有时还引入其他一些0-1变量以帮助 建立模型。辅助0-1变量，是引入模型的附加 0-1变量，不代表一个是非决策，仅仅是为了 方便建立纯的或混合的0-1整数规划模型。
x
2
12
3
x
1
2 x2
18
s.t. x1 M y1
x
2
M y2
x1, x2 0 且 为 整 数
y1 ,
y2
0,1
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6.3.2 辅助0-1变量
固定成本问题
在一般情况下，产品的成本是由固定成本和可变成 本两部分组成。固定成本是指在固定投入要素上的 支出，它不受产量影响，例如厂房和设备的租金、 贷款利息、管理费用等；可变成本是指在可变投入 要素上的支出，它是随着产量变化而变化的成本， 例如原材料费用、生产工人的工资、销售佣金等。
通常，变动成本和产量成正比，所以可以用下面的 表达式来代表某一产品的总成本
第6章 整数规划
实用运筹学 －运用Excel建模和求解
第6章 整数规划
RUC, School of Information ,Ye Xiang
本章内容要点
第6章 整数规划
整数规划的基本概念 整数规划问题的建模与应用
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本章节内容
解：
(1)决策变量
设小型飞机与大型飞机的购买
整数规划ppt课件
可行解的凸组合不一定满足整数要求，因而不一定
仍为可行解）。
2021精选ppt
第13页
产生问题：利用对松弛问题的最优解中不符合整
数要求的分量简单地取整，是否能得出整数规划
问题的最优解呢？
2021精选ppt
第14页
3. 对松弛问题的最优解中不符合整数要求的分量简 单地取整，所得到的问题解：
不一定是整数线性规划问题的最优解。
θi
CB XB
b
x1 x2
x3
x4
x5
x6
6 x2 88/23 0 1 4/23 -3/23 0 0
5 x1 72/23 1 0 -3/23 8/23 0 0
-M x6 4 1 0 0 0 -1 1
c j– z j
2021精选ppt
第43页
将 x1 的系数列向量变为单位向量，并计算检验数
cj
5
CB XB
第8页
整数线性规划
松弛问题
n
max( 或 min) z c j x j j1
n
a ij x j ( 或 ， )b i , i 1 ,..., m
j1 x j 0 , j 1 ,..., n
x
1
,...,
x n中部分或全部取整数
n
max( 或 min) z c j x j j1
甚至也不一定是整数线性规划问题的可行解。
2021精选ppt
第15页
例：
mz a 2 xx 0 1 1x 0 2
5 x 1 4 x 2 24
2 x
x
1
1
,
x2
5x
2
0
13
x 1 , x 2 整 数
整数规划PPT课件
混合整数规划
总结词
混合整数规划是同时包含连续变量和整数变量的规划问题。
详细描述
混合整数规划问题在数学上表示为在一定的约束条件下，求一组连续变量和整数变量的函数的最优解 。这类问题在现实生活中应用广泛，如生产计划、物流优化、金融投资等。求解混合整数规划问题需 要同时考虑连续变量和整数变量的特性，通常需要使用特殊的算法进行求解。
通过不断分割解空间并确 定可行解的范围，逐步逼 近最优解。
割平面法
通过添加割平面方程来不 断缩小解空间，直到找到 最优解。
迭代优化法
通过迭代优化算法不断逼 近最优解，适用于大规模 整数规划问题。
02 整数规划问题建模
线性整数规划
总结词
线性整数规划是整数规划的一种，其目标函数和约束条件都是线性函数，且决 策变量都是整数。
装箱问题
总结词
装箱问题是一个经典的整数规划问题， 旨在确定如何将一组物品装入有限容 量的容器中，以最小化装载成本。
详细描述
装箱问题需要考虑物品的尺寸、重量、价值 等多个因素，通过整数规划的方法，可以确 定最佳的装箱方案，包括每个容器的装载物 品和数量等，从而实现装载成本最小化。
THANKS FOR WATCHING
遗传算法
要点一
总结词
一种基于生物进化原理的优化算法
要点二
详细描述
遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法，通过选择 、交叉和变异等操作来逼近最优解。在整数规划问题中， 遗传算法将决策变量编码为染色体，通过不断进化染色体 群体来寻找满足整数约束的解。遗传算法具有全局搜索能 力强、能够处理多约束和离散变量等优点，因此在整数规 划问题中得到了广泛应用。
整数规划ppt课件
contents
运筹学课件第四节0-1型整数规划
运筹学课件第四节0-1型整数 规划
目录
CONTENTS
• 0-1型整数规划概述 • 0-1型整数规划的数学模型 • 0-1型整数规划的求解算法 • 0-1型整数规划的案例分析 • 0-1型整数规划的软件实现
01 0-1型整数规划概述
CHAPTER
定义与特点
定义
0-1型整数规划是一种特殊的整数规 划，其中决策变量只能取0或1。
解决方案通常采用动态规划或混合整数线性规 划方法，通过迭代和优化算法来找到最优解。
05 0-1型整数规划的软件实现
CHAPTER
Excel求解工具
适用范围
适用于简单的0-1型整数规划问题。
优点
操作简单，易学易用，适合初学者。
使用方法
利用Excel的Solver插件，设置目标函数、 约束条件和决策变量，进行求解。
其他约束
除了资源和需求约束外，还可能 存在其他类型的约束，如数量约 束、时间约束等，这些约束条件 都对决策变量的取值范围进行了 限制。
决策变量
离散变量 0-1型整数规划中的决策变量通常 是离散的，只能取0或1两个值。 这些决策变量代表了不同的策略 或选择。
最优解 最优解是指在所有可行解中使目 标函数达到最优值的决策变量的 取值组合。
缺点
对于大规模问题求解能力有限，可能存在精 度问题。
Python求解库
适用范围
适用于各种规模的0-1型整数规 划问题。
使用方法
利用Python的优化库，如PuLP 或CVXPY，编写目标函数和约束 条件，进行求解。
优点
功能强大，可处理大规模问题 ，精度高。
缺点
需要一定的编程基础，学习成 本较高。
MATLAB求解工具
目录
CONTENTS
• 0-1型整数规划概述 • 0-1型整数规划的数学模型 • 0-1型整数规划的求解算法 • 0-1型整数规划的案例分析 • 0-1型整数规划的软件实现
01 0-1型整数规划概述
CHAPTER
定义与特点
定义
0-1型整数规划是一种特殊的整数规 划，其中决策变量只能取0或1。
解决方案通常采用动态规划或混合整数线性规 划方法，通过迭代和优化算法来找到最优解。
05 0-1型整数规划的软件实现
CHAPTER
Excel求解工具
适用范围
适用于简单的0-1型整数规划问题。
优点
操作简单，易学易用，适合初学者。
使用方法
利用Excel的Solver插件，设置目标函数、 约束条件和决策变量，进行求解。
其他约束
除了资源和需求约束外，还可能 存在其他类型的约束，如数量约 束、时间约束等，这些约束条件 都对决策变量的取值范围进行了 限制。
决策变量
离散变量 0-1型整数规划中的决策变量通常 是离散的，只能取0或1两个值。 这些决策变量代表了不同的策略 或选择。
最优解 最优解是指在所有可行解中使目 标函数达到最优值的决策变量的 取值组合。
缺点
对于大规模问题求解能力有限，可能存在精 度问题。
Python求解库
适用范围
适用于各种规模的0-1型整数规 划问题。
使用方法
利用Python的优化库，如PuLP 或CVXPY，编写目标函数和约束 条件，进行求解。
优点
功能强大，可处理大规模问题 ，精度高。
缺点
需要一定的编程基础，学习成 本较高。
MATLAB求解工具
运筹学整数规划PPT课件
2
B1 (x1≤4)
2
4
B2 6
(4,2.1) z=349
(5,1.57) z=341 7x1+20x2=70
若情况③发生，得到(A)问题最优值的一个上界。同时可以通 过观察的方法任找(A)问题的一个可行解，那么对应的目标函 数值是(A)最优值的一个下界 z 。即得到
z ≤ z* ＜z，转2，进行以下一步的迭代；
步骤2.对当前问题进行分支和定界
分支：任取非整数的分量 xr。构造两个附加约束： xr ≤ [xr] 和 xr ≥ [xr]+1 ，
s.t.
9 7
x1 x1
7 x2 56 20 x2 70
x1,x
2
0, 且为整数
x2
8
6
4 (0,3.5) Z=315
2
等值线
9x1+7x2=56
选x1来分支
松弛规划问题最优解
(4.81,1.82) Z=356 7x1+20x2=70
2
4
6
8
10
x1
x2 8
6
9x1+7x2=56
4 (0,3.5) Z=315
① 过滤隐枚举法 ② 分支隐枚举法 4．匈牙利法——解决指派问题(0-1规划特殊情形)
5．蒙特卡洛法——求解各种类型规划(不要求掌握) 6. 分支切割方法(不要求掌握) 7. 启发式算法(不要求掌握)
分 支 定 界 法
分支定界法是求整数规划的一种常用的有效的 方法，既能解决纯整数规划的问题，也能解决 混合整数规划的问题。
划 变量全限制为整数的，为纯(完全)整数规划。
定
特例：0-1整数规划
义 变量部分限制为整数的，为混合整数规划。
B1 (x1≤4)
2
4
B2 6
(4,2.1) z=349
(5,1.57) z=341 7x1+20x2=70
若情况③发生，得到(A)问题最优值的一个上界。同时可以通 过观察的方法任找(A)问题的一个可行解，那么对应的目标函 数值是(A)最优值的一个下界 z 。即得到
z ≤ z* ＜z，转2，进行以下一步的迭代；
步骤2.对当前问题进行分支和定界
分支：任取非整数的分量 xr。构造两个附加约束： xr ≤ [xr] 和 xr ≥ [xr]+1 ，
s.t.
9 7
x1 x1
7 x2 56 20 x2 70
x1,x
2
0, 且为整数
x2
8
6
4 (0,3.5) Z=315
2
等值线
9x1+7x2=56
选x1来分支
松弛规划问题最优解
(4.81,1.82) Z=356 7x1+20x2=70
2
4
6
8
10
x1
x2 8
6
9x1+7x2=56
4 (0,3.5) Z=315
① 过滤隐枚举法 ② 分支隐枚举法 4．匈牙利法——解决指派问题(0-1规划特殊情形)
5．蒙特卡洛法——求解各种类型规划(不要求掌握) 6. 分支切割方法(不要求掌握) 7. 启发式算法(不要求掌握)
分 支 定 界 法
分支定界法是求整数规划的一种常用的有效的 方法，既能解决纯整数规划的问题，也能解决 混合整数规划的问题。
划 变量全限制为整数的，为纯(完全)整数规划。
定
特例：0-1整数规划
义 变量部分限制为整数的，为混合整数规划。
整数规划 PPT课件
设xj为列车上装载pj的数量，则xj必为非负整数，根据该n货a船jx j最大b 可承载b吨货
物可知所有集装箱的重量之和必须b，故有约束条件：
j1 n
f
cjxj
j1
由对每个j种货物收费为cj，可知载货的总收入为：
n
该例的目标即使得目标函数f最m大ax化。f 综合i 1上cj述x j 分析可得如下整数规划问题：
第11页/共82页
求解整数规划的理论基础
• 利用分解技术求解整数规划中的几个概念
• 分解
对于整数规划问题P，令F (P)表示P的m 可行域。对问题 P的子问题 P1, …, Pm，若满足下述条件： i 1 F(Pi ) F(P)
F(Pi ) F(Pj )
(1 i m,1 j m, i j)
则称P问题被分解成为子问题P1, …, Pm之和，最常用的方法就是两分法，例如若xj是P的0-1变量， 则问题P可以按照条件xj=0和xj=1分解成两个问题之和。
• 求解思路 • 由上述分析可知，舍入法一般是不可取的，当然如果对应线性规划的最优解恰好满足整数要求，则该 解也是整数规划的最优解，那么何时才能满足此要求呢？我们直接给出一个结论： 假设由整数规划问题除去整数要求之后得到的线性规划标准型中，等式约束个数等于决策变量个 数(m=n)，则此时的等式约束构成一个线性方程组Ax=b，如果det(A) = 1或-1，则解x一定是整数 向量，当然这种情况在解决实际问题的过程中一般还是比较少见的。 • 对于整数规划问题的解法，一般有利用分解技术的算法和不利用分解技术的算法 • 利用分解技术的算法有分枝定界法和针对0-1规划的隐枚举法 • 不利用分解技术的算法为割平面法和群论方法 • 针对特定的问题还有特定的简化方法，例如求解分派问题的匈牙利方法，等等。
运筹学-4-整数规划ppt课件
.
8
第四章 整数规划 0-1规划
解：设xi
1 0
带第 i件物品
不带第 i件物品 数学模型：
Z表示所带物品的总价值
m
Z ci 带第i件
ci xi
i 1
m
携带物品的总重量 bi x i
i 1
m
max Z ci xi
m i1
s.t
i1
bi xi
b
xi 0,1，
i 1, 2, m
i1
1, 2,..., m
i1
s.t. xij bj j 1, 2 , n
i1
xij
0
,
yi 0,1
混合型整数规划
.
11
第四章 整数规划
例 工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要再 建一家工厂。相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地有 B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各需 求地的单位物资运费cij，见下表：
.
10
第四章 整数规划
解：设 xij表示A 工 i运厂 往B 商 j的店 运量
m
n
则总运费为
c ij x ij
i1 j 1
数学模型：
mn
m
设yi
1 0
则总建厂费为
在第 i个地点建m厂in Z
不在第 i个地点建厂 n
m
fi yi
j1 m
xij
i1
j
ai
1
yi
cij xij
i
fi yi
1 若 建 工 厂 yi 0 若 不 建 工 厂(i3,4)
再设xij为由Ai运往Bj的物资数量，单位为千吨；z表示总费用， 单位万元。
整数规划 PPT
如此我们建立如下的决策变量:
第1年
第2年
第3年 第4年 第5年
A
x1A
B
C
D
x1D
x2A
x3A
x3B
x2C=20000y2C
x2D
x3D
x4A
x4D
x5D
15
感谢您的聆听！
其中前4项为固定投资额,后面的项为运输费用。 s、t、 x11+ x12+ x13 ≤ 30 ( A1 厂的产量限制)
x21+ x22+ x23 ≤ 10y2 ( A2 厂的产量限制) x31+ x32+ x33 ≤ 20y3 ( A3 厂的产量限制) x41+ x42+ x43 ≤ 30y4 ( A4 厂的产量限制) x51+ x52+ x53 ≤ 40y5 ( A5 厂的产量限制) x11+ x21+ x31+ x41 + x51 = 30 ( B1 销地的限制) x12+ x22+ x32+ x42 + x52 = 20 ( B2 销地的限制) x13+ x23+ x33+ x43 + x53 = 20 ( B3 销地的限制) xij ≥0,i = 1,2,3,4,5; j = 1,2,3, yk 为0--1变量,k =2,3,x2 = 2 x3 = 2
用《管理运筹学》软件求解得: x1 = 4 x2 = 1、25 x3 = 1 z = 16、25
5
§2 整数规划的应用
一、投资场所的选择
例4:京成畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售门 市部,拟议中有10个位置 Aj (j＝1,2,3,…,10)可供选择,考虑到各地区居民的 消费水平及居民居住密集度,规定:
运筹学第三章 整数规划PPT课件
（一）
问题（1）
X1=2, x2=2.67
Z=83.3
x2≤2
x2≥3
问题（0） X1=2.5, x2=2.5
问题（0）的原问题 的目标函数值
上界为:Z^=87.5 下界为:Z=0
Z=87.5
x1≤2
x1≥3
（二）
问题（2）的原问题 的目标函数值
上界为:Z^=80 下界为:Z=75
问题（2）
X1=3, x2=1.75
20
1 11/14 4 2/7 0
检验数zj-cj
0
0
1 11/14 4 2/7 0
15
x1 2
1
0
0
20
x2 2 2/3 0
1
0
0
x5 2 1/3 0
0
1
zj
15
20
0
检验数zj-cj
0
0
0
27.11.2020
问题1求解的单纯形表
《整数规划》
0 1/3
-1 1/3 6 2/3
6 2/3
1 - 1/3 -4 2/3 8 1/3
原问题的松弛问题
max Z 15 x1 20 x 2
6 x1 4 x 2 25
x
1
3x2
10
x 1 0 , x 2 0
注：此松弛问题的最优目标值为原整数规划问题目标值的上界
原问题目标值的上界为Z^=87.5 下界可定为Z=0
27.11.2020
《整数规划》
10
CB 0 0
cj
问题（5）的原问题 的目标函数值 上界为:Z^=72.5 下界为:
问题（6） 无可行解
25
第6章-整数规划 ppt课件
13
ppt课件
14
ppt课件
莫高瑞割平面法
• 割平面法，即通过添加约束条件，逐步切割可行区域的边角 余料，让其整数解逐步的露到边界或顶点上来，只要整数解 能曝露到顶点上来，则就可以利用单纯形法求出来。
• 关键是通过添加什么样的约束条件，既能让整数解往边界露， 同时又不要切去整数解，这个条件就是Gomory约束条件。
数值等于z的A的那个整数可行解；否则进行第四步。
10
10
ppt课件
第四步：在B的最优解中任选一个（或最远离整数要求的变量），不妨 设此变量为xj，以[bj]表示小于bj的最大整数，构造以下两个约束条件，并 加入问题B，得到B的两个分枝B1和B2。
xj ≤[bj]和xj ≥ [bj]+1
第五步：求解B1和B2 。修改A问题的最优目标函数值z*的上下界，z 和 z。
4. 再求解这些子区域上的线性规划问题。
5. 不断缩小整数规划上下界的距离，最后得整数规划的最优解。
9
ppt课件
用分枝定界法求解目标函数值最大的整数规划的步骤，我们将求解的整数规划 z 问题称为A，将与其相对应的线性规划问题称为பைடு நூலகம்：
第一步：求解问题B，可得以下情况之一：
1.B没有可行解，则A也没有可行解，求解过程停止。
1/ 2x2 2 / 3x3 x5 1/ 2
例6-5 19
ppt课件
6.3 0-1规划
0 1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量x j 仅取值 0 或 1。这时x j 称为0 1变量，或称二进制变量。 0-1规划的分支定界法
引入0-1变量的实际问题 ①双态变量的归一化（变量） ②不相容约束的归一化（约束条件） ③分段线性函数的归一化（目标函数）
ppt课件
14
ppt课件
莫高瑞割平面法
• 割平面法，即通过添加约束条件，逐步切割可行区域的边角 余料，让其整数解逐步的露到边界或顶点上来，只要整数解 能曝露到顶点上来，则就可以利用单纯形法求出来。
• 关键是通过添加什么样的约束条件，既能让整数解往边界露， 同时又不要切去整数解，这个条件就是Gomory约束条件。
数值等于z的A的那个整数可行解；否则进行第四步。
10
10
ppt课件
第四步：在B的最优解中任选一个（或最远离整数要求的变量），不妨 设此变量为xj，以[bj]表示小于bj的最大整数，构造以下两个约束条件，并 加入问题B，得到B的两个分枝B1和B2。
xj ≤[bj]和xj ≥ [bj]+1
第五步：求解B1和B2 。修改A问题的最优目标函数值z*的上下界，z 和 z。
4. 再求解这些子区域上的线性规划问题。
5. 不断缩小整数规划上下界的距离，最后得整数规划的最优解。
9
ppt课件
用分枝定界法求解目标函数值最大的整数规划的步骤，我们将求解的整数规划 z 问题称为A，将与其相对应的线性规划问题称为பைடு நூலகம்：
第一步：求解问题B，可得以下情况之一：
1.B没有可行解，则A也没有可行解，求解过程停止。
1/ 2x2 2 / 3x3 x5 1/ 2
例6-5 19
ppt课件
6.3 0-1规划
0 1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量x j 仅取值 0 或 1。这时x j 称为0 1变量，或称二进制变量。 0-1规划的分支定界法
引入0-1变量的实际问题 ①双态变量的归一化（变量） ②不相容约束的归一化（约束条件） ③分段线性函数的归一化（目标函数）
整数规划应用案例分析ppt课件
1）在项目1、2和3中必须有一项被选中；
2）项目3和4只能选中一项；
3）项目5被选中的前提是项目1必须被选中。
如何在上述条件下，选择一个最好的投资方案，使收
益最大。
可编辑课件
5
解：令
1 选中项目i
0xi= 未选中项目I
(i=1,…,5)
Max Z=150 x1 + 210x2 + 60x3 +80x4 + 180x5 s.t.
xij ≥0，i = 1,2,3,4,5； j可=编辑1,课2件,3， yk 为0--1变量，k
11
练习
例4.某钻井队要人以下10个可供选择的井位中确定5个
钻井探油,使总的钻探费用为最小,若10个井位的代号
为 c1,,,相c1应0 的钻探险费用为
s,1并,且,井s1位0 选择上
要满足下列限制条件:
7 小时
j1
s
.t
.
6
x ij 14 ( j 1,.., 5 )实验室每天开放
i1
5
14 小时
y ij 3 (i 1,.., 6 )每名学生一周不超过
j1
3次
6
y ij 3 ( j 1,.., 5 )每天值班不超过
3人
i1
y 5 j y 6 j 1( j 1,.., 5 )每天有一名研究生值班
6
min z x i i1
x 6 x 1 60 ,
x
1
x2
70
,
x
2
x3
60
,
s .t . x 3 x 4 50 ,
x
4
x5
20
,
x 5 x 6 30 ,
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第13页
产生问题：利用对松弛问题的最优解中不符合整 数要求的分量简单地取整，是否能得出整数规划 问题的最优解呢？
第14页
3. 对松弛问题的最优解中不符合整数要求的分量简 单地取整，所得到的问题解： 不一定是整数线性规划问题的最优解。 甚至也不一定是整数线性规划问题的可行解。
第15页
例：
第17页
x1 4, x2 0
为可行解，但不是最优解（x1=4, x2=1更优）
第18页
x1 5, x2 0
不满足约束条件 1 ，从而为不可行解。
第19页
结论：利用求解整数线性规划的松弛问题的最优解， 再化整的方法无法得出整数线性规划的最优解。
第20页
第2节 分支定界法
纯整数规划问题：可行解的数量是有限的。 小型纯整数规划问题：可通过全枚举法，从中筛 选最优解。 大型纯整数规划问题：可行解的数量很大，无法 使用全枚举法。 混合整数规划问题：可行解的数量是无限的，无 法使用全枚举法。
第11页
整数线性规划的可行解集合 其松弛问题可行解集合
从而可得出： 整数线性规划的可行解一定也是其松弛问题的可行 解。 松弛问题的可行解不一定是整数线性规划的可行解。 整数线性规划最优解的目标函数值 ≤ 松弛问题最优 解的目标函数值（极大化问题）。
第12页
2. 松弛问题的可行解集合：凸集（任意两个可行解 的凸组合仍为可行解） 整数线性规划的可行解集合：不是凸集（任意两个 可行解的凸组合不一定满足整数要求，因而不一定 仍为可行解）。
第8页
整数线性规划
松弛问题
n
max(或 min)z c j x j j 1
n
aij x j (或 ，)bi , i 1,...,m
j1 x j 0, j 1,...,n
x1
,...,
x
n中
部
分
或
全
部
取
整
数
n
max(或min)z c j x j j 1
整数规划
第1页
第一节 整数规划问题的提出 第二节 分支定界法 第三节 割平面法 第四节 0-1整数规划 第五节 指派问题
第2页
第一节 整数规划问题的提出
在线性规划问题中，有些最优解可能是分数或小数， 但对于某些具体问题，常有要求解答必须是整数的 情况。
第3页
一、整数线性规划数学模型的一般形式
第21页
一、分支定界法的提出
20世纪60年代由 LandDoig 和 Dakin 等人提出了一种 仅检查可行域内可行的整数组合的一部分，就能定出 最优整数解的方法，称为分支定界法（branch and bound method）。
第22页
它是在枚举法基础上的改进，是一种隐枚举法
（implicit enumeration）或部分枚举法，不是一种有
n
aij x j (或 ，)bi , i 1,...,m
j1
x
j
0,
j
1,...,n
第9页
max z = 2x1 + 3x2
s.t .
x1 2 x2 8
4
x1
4 x2
16 12
整数规划
x1 , x2 0且 均 为 整 数
maxz 20x1 10x2
5 x1 4 x2 24
2 x1 5 x2 13
x1
,
x2
0
x1 , x2整数
第16页
解：问题的最优解为：x1=4.8，x2=0
其中分量 x1 不满足整数要求，从而对分量 x1 进行 “化整” ：
x1 4, x2 0 x1 5, x2 0
s.t .
max z = 2x1 + 3x2
x1 2 x2 8
4
x1
4 x2
16 松弛问题 12
x1 , x2 0
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三、整数线性规划的解和其松弛问 题的解之间的关系
1. 整数线性规划的可行解集合是其松弛问题可行解 集合的一个子集，即：
松弛问题可行域 整数规划可行域
效算法。
第23页
特点：它比枚举法优越，因为它仅在一部分可行解 的整数解中寻找最优解，计算量比枚举法要小。但 若变量数目很大，则其工作量也相当可观。
第24页
二、分支定界法的步骤
步骤 1 求解整数线性规划问题 A 的松弛问题 B ： B 没有可行解，A 也没有可行解，停止； B 有最优解，且符合整数条件，B 的最优解就是 A 的最优解，停止； B 有最优解，但不符合整数条件，转步骤 2 。
第25页
步骤 2 分支和定界 分支 在 B 的最优解中任选一个不符合整数条件的变量 xj = bj ，并构造两个约束条件 x j [b j ] 和 x j [b j 1] ，并将这两个约束条件加入问题 B ，得到两个分支 问题 B1 和 B2 ，并求解这两个分支问题 B1 和 B2 。
要求一部分或全部决策变量必须取整数值的线性规 划 问 题 称 为 整 数 线 性 规 划 （ Integer linear Programming，简称IP）。
第4页
整数线性规划数学模型的一般形j x j j 1
n
aij x j
(或 ，)bi , i 1,...,m
j 1
xj
0,
j
1,...,n
x1
,
.
.
.,xn中
部
分
或
全
部
取
整
数
第5页
整数线性规划问题可以分为下列几种类型： 1.纯整数（全整数）线性规划（pure integer linear programming）：指全部决策变量都必须取整数值的 整数线性规划。
第6页
2. 混 合 整 数 线 性 规 划 （ mixed integer linear programming）：指决策变量中有一部分必须取整数 值，另一部份可以不取整数值的整数线性规划。
3.0-1 型 整 数 线 性 规 划 （ zero-one integer linear programming）：指决策变量只能取值 0 或 1 的整数 线性规划。
第7页
二、整数线性规划的松弛问题
松弛问题（slack problem）：不考虑整数条件，由 余下的目标函数和约束条件构成的线性规划问题称 为该整数规划问题的松弛问题（slack problem）。
产生问题：利用对松弛问题的最优解中不符合整 数要求的分量简单地取整，是否能得出整数规划 问题的最优解呢？
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3. 对松弛问题的最优解中不符合整数要求的分量简 单地取整，所得到的问题解： 不一定是整数线性规划问题的最优解。 甚至也不一定是整数线性规划问题的可行解。
第15页
例：
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x1 4, x2 0
为可行解，但不是最优解（x1=4, x2=1更优）
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x1 5, x2 0
不满足约束条件 1 ，从而为不可行解。
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结论：利用求解整数线性规划的松弛问题的最优解， 再化整的方法无法得出整数线性规划的最优解。
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第2节 分支定界法
纯整数规划问题：可行解的数量是有限的。 小型纯整数规划问题：可通过全枚举法，从中筛 选最优解。 大型纯整数规划问题：可行解的数量很大，无法 使用全枚举法。 混合整数规划问题：可行解的数量是无限的，无 法使用全枚举法。
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整数线性规划的可行解集合 其松弛问题可行解集合
从而可得出： 整数线性规划的可行解一定也是其松弛问题的可行 解。 松弛问题的可行解不一定是整数线性规划的可行解。 整数线性规划最优解的目标函数值 ≤ 松弛问题最优 解的目标函数值（极大化问题）。
第12页
2. 松弛问题的可行解集合：凸集（任意两个可行解 的凸组合仍为可行解） 整数线性规划的可行解集合：不是凸集（任意两个 可行解的凸组合不一定满足整数要求，因而不一定 仍为可行解）。
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整数线性规划
松弛问题
n
max(或 min)z c j x j j 1
n
aij x j (或 ，)bi , i 1,...,m
j1 x j 0, j 1,...,n
x1
,...,
x
n中
部
分
或
全
部
取
整
数
n
max(或min)z c j x j j 1
整数规划
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第一节 整数规划问题的提出 第二节 分支定界法 第三节 割平面法 第四节 0-1整数规划 第五节 指派问题
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第一节 整数规划问题的提出
在线性规划问题中，有些最优解可能是分数或小数， 但对于某些具体问题，常有要求解答必须是整数的 情况。
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一、整数线性规划数学模型的一般形式
第21页
一、分支定界法的提出
20世纪60年代由 LandDoig 和 Dakin 等人提出了一种 仅检查可行域内可行的整数组合的一部分，就能定出 最优整数解的方法，称为分支定界法（branch and bound method）。
第22页
它是在枚举法基础上的改进，是一种隐枚举法
（implicit enumeration）或部分枚举法，不是一种有
n
aij x j (或 ，)bi , i 1,...,m
j1
x
j
0,
j
1,...,n
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max z = 2x1 + 3x2
s.t .
x1 2 x2 8
4
x1
4 x2
16 12
整数规划
x1 , x2 0且 均 为 整 数
maxz 20x1 10x2
5 x1 4 x2 24
2 x1 5 x2 13
x1
,
x2
0
x1 , x2整数
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解：问题的最优解为：x1=4.8，x2=0
其中分量 x1 不满足整数要求，从而对分量 x1 进行 “化整” ：
x1 4, x2 0 x1 5, x2 0
s.t .
max z = 2x1 + 3x2
x1 2 x2 8
4
x1
4 x2
16 松弛问题 12
x1 , x2 0
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三、整数线性规划的解和其松弛问 题的解之间的关系
1. 整数线性规划的可行解集合是其松弛问题可行解 集合的一个子集，即：
松弛问题可行域 整数规划可行域
效算法。
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特点：它比枚举法优越，因为它仅在一部分可行解 的整数解中寻找最优解，计算量比枚举法要小。但 若变量数目很大，则其工作量也相当可观。
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二、分支定界法的步骤
步骤 1 求解整数线性规划问题 A 的松弛问题 B ： B 没有可行解，A 也没有可行解，停止； B 有最优解，且符合整数条件，B 的最优解就是 A 的最优解，停止； B 有最优解，但不符合整数条件，转步骤 2 。
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步骤 2 分支和定界 分支 在 B 的最优解中任选一个不符合整数条件的变量 xj = bj ，并构造两个约束条件 x j [b j ] 和 x j [b j 1] ，并将这两个约束条件加入问题 B ，得到两个分支 问题 B1 和 B2 ，并求解这两个分支问题 B1 和 B2 。
要求一部分或全部决策变量必须取整数值的线性规 划 问 题 称 为 整 数 线 性 规 划 （ Integer linear Programming，简称IP）。
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整数线性规划数学模型的一般形j x j j 1
n
aij x j
(或 ，)bi , i 1,...,m
j 1
xj
0,
j
1,...,n
x1
,
.
.
.,xn中
部
分
或
全
部
取
整
数
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整数线性规划问题可以分为下列几种类型： 1.纯整数（全整数）线性规划（pure integer linear programming）：指全部决策变量都必须取整数值的 整数线性规划。
第6页
2. 混 合 整 数 线 性 规 划 （ mixed integer linear programming）：指决策变量中有一部分必须取整数 值，另一部份可以不取整数值的整数线性规划。
3.0-1 型 整 数 线 性 规 划 （ zero-one integer linear programming）：指决策变量只能取值 0 或 1 的整数 线性规划。
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二、整数线性规划的松弛问题
松弛问题（slack problem）：不考虑整数条件，由 余下的目标函数和约束条件构成的线性规划问题称 为该整数规划问题的松弛问题（slack problem）。