微积分_经济数学_吴传生第五章_(3)

二、 求下列不定积分：
1. x 2 cos2 x dx ；
2
2.
(ln x)3 x2
dx；
3、 e ax cos nxdx ； 5、 cos(ln x)dx ；
4、 e 3 x dx；
6、
xearctan x 3 dx .
(1 x 2 )2
三、已知sin x
x
是
f
(
x)的原函数，求
xf
'
(
x)dx
.
四、设 f ( x)dx F ( x) C ， f ( x)可微，且 f ( x)的反
函数 f 1 ( x) 存在，则
f 1 ( x)dx xf 1 ( x) F f 1 ( x) C .
练习题答案
一、1. x cos x sin x C ；

x arctan x dx 1 x2
arctan xd
1 x2
1 x2 arctan x 1 x2d(arctan x)
1 x2 arctan x
1

x2

1
1 x2
dx
1 x2 arctan x 1 dx 令 x tan t
分部积分(integration by parts)公式
例1 求wenku.baidu.com分 x cos xdx .
解（一） 令 u cos x, xdx 1 d x2 dv
2

x cos
xdx

x2 2
cos
x


x2 2
sin
xdx
显然，u,v 选择不当，积分更难进行.
解（二） 令 u x, cos xdx d sin x dv
3.
e ax a2 n2
(a
cos
nx

n sin
nx)

C
4.
3
3e
x
(3
x 2 23
x 2) C ；
5. x [cos(ln x) sin(ln x)] C ； 2
6. x 1 e arctan x C ； 2 1 x2
7. x 2e x xe x e x C . x2
x cos xdx xd sin x x sin x sin xdx
x sin x cos x C.
例2 求积分 x2e xdx.
解 u x2 , e xdx de x dv,
x2e xdx x2e x 2 xe xdx
（再次使用分部积分法）u x, e xdx dv
解 sin(ln x)dx xsin(ln x) xd[sin(ln x)]

x sin(ln
x)


x
cos(ln
x)

1 x
dx
x sin(ln x) x cos(ln x) xd[cos(ln x)]
x[sin(ln x) cos(ln x)] sin(ln x)dx
解
u ln x,
x3dx

d

x4 4


dv,

x3
ln
xdx

1 4
x
4
ln
x

1 4

x
3dx
1 x4 ln x 1 x4 C .
4
16
总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂
函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函
数或反三角函数为 u.
例5 求积分 sin(ln x)dx.
例 8 已知 f ( x)的一个原函数是ex2 , 求 xf ( x)dx.
解 xf ( x)dx xd f (x) xf ( x) f ( x)dx,

f ( x)dx f ( x),
f ( x)dx ex2 C ,
两边同时对 x求导, 得 f ( x) 2 xex2 ,
xf ( x)dx xf ( x) f ( x)dx
2x2ex2 e x2 C .
二、小结
合理选择 u, v ，正确使用分部积
分公式
uvdx uv uvdx
思考题
在接连几次应用分部积分公式时， 应注意什么？
思考题解答
注意前后几次所选的 u 应为同类型函数.

sin(ln
x)dx
x [sin(ln 2
x)

cos(ln
x)]
C.
例6 求积分 e x sin xdx. 解 e x sin xdx sin xdex
e x sin x e xd(sin x)
e x sin x e x cos xdx ex sin x cos xd ex
三、cos x 2sin x C . x
第三节 分部积分法
一、基本内容 二、小结 三、思考题
一、基本内容 问题 xe xdx ?
解决思路 利用两个函数乘积的求导法则.
设函数u u( x)和v v( x)具有连续导数,
uv uv uv, uv uv uv,
uvdx uv uvdx, udv uv vdu.
2. x arcsin x 1 x 2 C ；
3. ln x , x 2dx；
4. e x , cos xdx；
5. arctan x , x 2dx； 6. x , e xdx.
二、1. x 3 1 x 2 sin x x cos x sin x C ； 62
2. 1 [(ln x)3 3(ln x)2 6 ln x 6] C ； x
例 e x cos xdx
第一次时若选 u1 cos x
e x cos xdx e x cos x e x sin xdx
第二次时仍应选 u2 sin x
练习题
一、填空题：
1. x sin xdx ________________； 2. arcsin xdx _______________； 3. 计算 x 2 ln xdx， 可设 u _____ ,dv ________； 4. 计算 e x cos xdx，可设 u ____ ,dv ________； 5. 计算 x 2 arctan xdx，可设 u ____ ,dv ______； 6、计算 xexdx ，可设 u ______,dv __________ .
e x sin x (e x cos x e xd cos x)
e x (sin x cos x) e x sin xdx 注意循环形式


e
x
sin
xdx
ex 2
(sin
x

cos
x)

C.
例7 求积分 x arctan x dx.
1 x2
解 1 x2 x , 1 x2
x2e x 2( xe x e x ) C.
总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数
或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函
数为u, 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
例3 求积分 x arctan xdx.
解
x
令 u arctan x , xdx arctan xdx x2 arctan
1 x2

1
1 x2dx
1 sec2 tdt
1 tan2 t

sec tdt
ln(sec t tan t) C ln( x 1 x2 ) C


x
arctan 1 x2
x
dx
1 x2 arctan x ln( x 1 x2 ) C .
d

x2 2
x

x 2
dv
d (arctan
x
)
2
2
x2 arctan x
2
x2 2

1
1 x
2
dx
x2
1
1
2 arctan x 2 (1 1 x2 )dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C .
2
2
例4 求积分 x3 ln xdx.