《时间序列分析》第二章 时间序列预处理习题解答[1]
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时间序描述程序 data example1; input number@@; time=intnx('year','01jan1980'd, _n_-1); format time date.; cards; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ; proc gplot data=example1; plot number*time=1; symbol1 c=black v=star i=join; run;
∧
（2）当延迟期数即 k （本题取值 1 2 3 4 5 6）远小于样本容量 n (本题为 20)时，自相关系数 ρ k 计算公式为
∧
ρk ≈
∧
∑(X
t =1
n−k
t n
− X )( X t + k − X )
t
∑(X
t =1
0<k <n
− X)
∧
2
即计算得 ρ1 = 0.8500 ， ρ 2 = 0.7015 ， ρ3 = 0.5560 ， ρ 4 = 0.4150 ， ρ5 = 0.2805 ，
number 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 01JAN80 01JAN81 01JAN82 01JAN83 01JAN84 01JAN85 01JAN86 01JAN87 01JAN88 01JAN89 01JAN90 01JAN91 01JAN92 01JAN93 01JAN94 01JAN95 01JAN96 01JAN97 01JAN98 01JAN99 time
ppm 342 341 340 339 338 337 336 335 334 333 332 331 330 329 328 01JAN75 01MAY75 01SEP75 01JAN76 01MAY76 01SEP76 01JAN77 01MAY77 01SEP77 01JAN78 01MAY78 01SEP78 01JAN79 01MAY79 01SEP79 01JAN80 01MAY80 01SEP80 01JAN81 time
340.57 336.63 333.61 329.41 334.82 330.18 33 36.44 332.05 337.65 5 333.59 3 339.06 335 5.05 341.19 337.74 333.55 330.63 334.32 331.50 33 35.99 333.53 337.57 7 334.76 3 338.95 336 6.53 340.87 338.36 ; pro oc arima data=examp d ple2; identify var r=ppm; run n;
4、若序列长度为 100，前 12 个样本自相关系数如：
ρ1 = 0.02 ρ2 = 0.05 ρ3 = 0.10 ρ4 = −0.02 ρ5 = 0.05 ρ6 = 0.01 ρ7 = 0.12 ρ8 = −0.06 ρ9 = 0.08 ρ10 = −0.05 ρ11 = 0.02 ρ12 = −0.05
∧
330.97 330.05 332.46 330.87 333.23 332.41 335.07 334.39 336.44 335.71 338.16 337.19 331.64 328.58 333.36 329.24 334.55 331.32 336.33 332.44 337.63 333.68 339.88 335.49 332.87 328.31 334.45 328.87 335.82 330.73 337.39 332.25 338.54 333.69 340.57 336.63 333.61 329.41 334.82 330.18 336.44 332.05 337.65 333.59 339.06 335.05 341.19 337.74 333.55 330.63 334.32 331.50 335.99 333.53 337.57 334.76 338.95 336.53 340.87 338.36 ; proc gplot data=example2; plot ppm*time=1; symbol1 c=black v=star i=join; run;
《时间序列分析》习题解答
习题 2.3
1．考虑时间序列{1，2，3，4，5，…，20}： （1）判断该时间序列是否平稳; （2）计算该序列的样本自相关系数 ρ k (k=1，2，…，6); （3）绘制该样本自相关图，并解释该图形. 解： （1）根据时序图可以看出，该时间序列有明显的递增趋势，所以它一定不是 平稳序列, 即可判断该时间序是非平稳序列，其时序图程序见后。
该序列能否视为纯随机序列？ 检验问题如下 原 假 设：延迟期数小于或等于 12 期的序列值之间相互独立 (即纯随机序列 WN，也就是非白噪声序列 white noise series) 备择假设：延迟期数小于或等于 12 期的序列值之间有相关性 (非纯随机序列或非 WN, 也就是非白噪声序列) 数学语言描述即为
∧
∧
∧
∧
ρ6 = 0.1526
MATLAB 计算程序： clear all; close all; X_t=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20]; %时间序列值 k=6; %拟计算的自相关延迟期数值 rou_hat=zeros(k,1); %为拟计算的中阶自相关系数预留数组空间 Time_mean=mean(X_t); %计算时间序列值的样本均值 %计算自相关系数计算公式的分母部分 SST=0; for t=1:20 SST=SST+(X_t(t)-Time_mean)^2; end %计算对应 K 阶自相关系数 for i=1:k S=0; for t=1:20-i S=S+(X_t(t)-Time_mean)*(X_t(t+i)-Time_mean); %计算公式分子部分 end rou_hat(i,1)=S/SST; end rou_hat=rou_hat %输出相关系数值
（2 ） ρ 0.8 85，，ρ 0.70，ρ 0.56，ρ 0.41，ρ 0 ； 0.28
年 那罗亚火山 （ （Mauna Loa） 每月释放的 CO2 数据如 如下 （单位： ppm） 2. 1975—1980 年夏威夷莫那 见教材 P34 表 2-7. 见 （1） ） 绘制该序 序列时序图，并判断该系 系列是否平稳 稳； （2） ） 计算该序 序列的样本自 自相关系数 ρ k (k=1，2，…，24)； （3） ） 绘制该样 样本自相关图 图，并解释该 该图形. 解：时序图的描 描述 dat ta example e2; input ppm@@; tim me=intnx('month','0 01jan1975'd, _n_-1); format time date.; cards; 330.45 331.90 331.63 333.05 33 32.81 334.65 334.66 6 336.25 3 335.89 337 7.41 337.81 339.25
运行结果 rou_hat = 0.8500 0.7015 0.5560 0.4150 0.2801 0.1526
∧
（3） 绘制该 该样本自相关 关图
dat ta example e1; input number r@@; tim me=intnx('year','01 1jan1980'd d, _n_-1); format year year4.; cards; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ; pro oc arima data=examp d ple1; identify var r=number; run n;
97.0 105.4
proc print data=example2_3; proc arima data=example2_3; identify var=rain; run;
分析： （1） 如上图所示： （2） 根据样本时序图和样本自相关图可知，该序列平稳 （3） 根据白噪声检验，P 值都较大，可以判断该序列为白噪声序列，即该序列具有纯随 机性。
∧
, 24)
225.0 131.6 63.2 86.4
95.3 112.8 181.6 136.9
1 100.6 8 81.8 7 73.9 3 31.5
48.3 31.0 64.8 35.3
112.3 160.8 52.3 ; 26.2 112.8
143.0 80.5 144.3 62.5 49.5 158.2 116.1 7.6 165.9 54.1 106.7 92.2 63.2 67.3 77.0 148.6 159.3 85.3 59.4
data example2; input ppm@@; time=intnx('month','01jan1975'd, _n_-1); format year year4.; cards; 330.45 331.90 331.63 333.05 332.81 334.65 334.66 336.25 335.89 337.41 337.81 339.25 330.97 330.05 332.46 330.87 333.23 332.41 335.07 334.39 336.44 335.71 338.16 337.19 331.64 328.58 333.36 329.24 334.55 331.32 336.33 332.44 337.63 333.68 339.88 335.49 332.87 328.31 334.45 328.87 335.82 330.73 337.39 332.25 338.54 333.69
（2） 判断该 该序列的平稳 稳性。 （3） 判断该 该序列的纯随 随机性。
解：data exam mple2_3; input rain@@; tim me=intnx('month','0 01jan1945'd,_n_-1); format time monyy7.; cards; 69.3 80.0 40.9 74.9 84 4.6 101.1 144.5 12 28.3 38.4 52.3 68.6 37.1 14 48.6 218.7 47.5 70 0.1 96.8 61.5 55.6 171.7 22 20.5 119.4 166.9 48 8.0 137.7 80.5 105.2 89.9 17 74.8 124.0
析： 分析 自相关图显示序列自 自相关系数 数长期位于零 零轴的一边 边， 这是具有 有单调趋势序 序列 的典 典型特征。
由下图可知 知，自相关系 系数长期位于 于零轴的一边 边，且自相关 关系数递减到 到零的速度较慢， 在 5 个延期中，自相关系数 数一直为正，说明这是一个 个有典型单调 调趋势的非平 平稳序列。
H0 :
ρ1 = ρ2 =
= ρ12 = 0
H1 : 至少存在在某个 ρk ≠ 0 ， k ≤ 12
解法如下： 解法一、考虑延迟期数的 LB 统计量法
ˆ k2 ⎞ ⎛ ρ 2 设 α = 0.05 ， LB = n ( n + 2 ) ∑ ⎜ ⎟ ~ χ (m) 根据上述数据，计算出下表结果 k =1 ⎝ n − k ⎠
分析 析：自相关图显示该序 序列自相关系数较小，大致在零轴 轴附近波动 动，大多数控 控制 在 2 倍标准差 差范围内，所 所以认为该 该序列是平稳 稳的。
3．1945 年-19 950 年费城 城月度降雨量 量数据如下 下（单位：m mm） ，见教材 材 P35 表 2-8.
1 2, （1） 计算该 该序列的样本 本自相关系 系数 ρ k (k = 1,
∧
（2）当延迟期数即 k （本题取值 1 2 3 4 5 6）远小于样本容量 n (本题为 20)时，自相关系数 ρ k 计算公式为
∧
ρk ≈
∧
∑(X
t =1
n−k
t n
− X )( X t + k − X )
t
∑(X
t =1
0<k <n
− X)
∧
2
即计算得 ρ1 = 0.8500 ， ρ 2 = 0.7015 ， ρ3 = 0.5560 ， ρ 4 = 0.4150 ， ρ5 = 0.2805 ，
number 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 01JAN80 01JAN81 01JAN82 01JAN83 01JAN84 01JAN85 01JAN86 01JAN87 01JAN88 01JAN89 01JAN90 01JAN91 01JAN92 01JAN93 01JAN94 01JAN95 01JAN96 01JAN97 01JAN98 01JAN99 time
ppm 342 341 340 339 338 337 336 335 334 333 332 331 330 329 328 01JAN75 01MAY75 01SEP75 01JAN76 01MAY76 01SEP76 01JAN77 01MAY77 01SEP77 01JAN78 01MAY78 01SEP78 01JAN79 01MAY79 01SEP79 01JAN80 01MAY80 01SEP80 01JAN81 time
340.57 336.63 333.61 329.41 334.82 330.18 33 36.44 332.05 337.65 5 333.59 3 339.06 335 5.05 341.19 337.74 333.55 330.63 334.32 331.50 33 35.99 333.53 337.57 7 334.76 3 338.95 336 6.53 340.87 338.36 ; pro oc arima data=examp d ple2; identify var r=ppm; run n;
4、若序列长度为 100，前 12 个样本自相关系数如：
ρ1 = 0.02 ρ2 = 0.05 ρ3 = 0.10 ρ4 = −0.02 ρ5 = 0.05 ρ6 = 0.01 ρ7 = 0.12 ρ8 = −0.06 ρ9 = 0.08 ρ10 = −0.05 ρ11 = 0.02 ρ12 = −0.05
∧
330.97 330.05 332.46 330.87 333.23 332.41 335.07 334.39 336.44 335.71 338.16 337.19 331.64 328.58 333.36 329.24 334.55 331.32 336.33 332.44 337.63 333.68 339.88 335.49 332.87 328.31 334.45 328.87 335.82 330.73 337.39 332.25 338.54 333.69 340.57 336.63 333.61 329.41 334.82 330.18 336.44 332.05 337.65 333.59 339.06 335.05 341.19 337.74 333.55 330.63 334.32 331.50 335.99 333.53 337.57 334.76 338.95 336.53 340.87 338.36 ; proc gplot data=example2; plot ppm*time=1; symbol1 c=black v=star i=join; run;
《时间序列分析》习题解答
习题 2.3
1．考虑时间序列{1，2，3，4，5，…，20}： （1）判断该时间序列是否平稳; （2）计算该序列的样本自相关系数 ρ k (k=1，2，…，6); （3）绘制该样本自相关图，并解释该图形. 解： （1）根据时序图可以看出，该时间序列有明显的递增趋势，所以它一定不是 平稳序列, 即可判断该时间序是非平稳序列，其时序图程序见后。
该序列能否视为纯随机序列？ 检验问题如下 原 假 设：延迟期数小于或等于 12 期的序列值之间相互独立 (即纯随机序列 WN，也就是非白噪声序列 white noise series) 备择假设：延迟期数小于或等于 12 期的序列值之间有相关性 (非纯随机序列或非 WN, 也就是非白噪声序列) 数学语言描述即为
∧
∧
∧
∧
ρ6 = 0.1526
MATLAB 计算程序： clear all; close all; X_t=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20]; %时间序列值 k=6; %拟计算的自相关延迟期数值 rou_hat=zeros(k,1); %为拟计算的中阶自相关系数预留数组空间 Time_mean=mean(X_t); %计算时间序列值的样本均值 %计算自相关系数计算公式的分母部分 SST=0; for t=1:20 SST=SST+(X_t(t)-Time_mean)^2; end %计算对应 K 阶自相关系数 for i=1:k S=0; for t=1:20-i S=S+(X_t(t)-Time_mean)*(X_t(t+i)-Time_mean); %计算公式分子部分 end rou_hat(i,1)=S/SST; end rou_hat=rou_hat %输出相关系数值
（2 ） ρ 0.8 85，，ρ 0.70，ρ 0.56，ρ 0.41，ρ 0 ； 0.28
年 那罗亚火山 （ （Mauna Loa） 每月释放的 CO2 数据如 如下 （单位： ppm） 2. 1975—1980 年夏威夷莫那 见教材 P34 表 2-7. 见 （1） ） 绘制该序 序列时序图，并判断该系 系列是否平稳 稳； （2） ） 计算该序 序列的样本自 自相关系数 ρ k (k=1，2，…，24)； （3） ） 绘制该样 样本自相关图 图，并解释该 该图形. 解：时序图的描 描述 dat ta example e2; input ppm@@; tim me=intnx('month','0 01jan1975'd, _n_-1); format time date.; cards; 330.45 331.90 331.63 333.05 33 32.81 334.65 334.66 6 336.25 3 335.89 337 7.41 337.81 339.25
运行结果 rou_hat = 0.8500 0.7015 0.5560 0.4150 0.2801 0.1526
∧
（3） 绘制该 该样本自相关 关图
dat ta example e1; input number r@@; tim me=intnx('year','01 1jan1980'd d, _n_-1); format year year4.; cards; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ; pro oc arima data=examp d ple1; identify var r=number; run n;
97.0 105.4
proc print data=example2_3; proc arima data=example2_3; identify var=rain; run;
分析： （1） 如上图所示： （2） 根据样本时序图和样本自相关图可知，该序列平稳 （3） 根据白噪声检验，P 值都较大，可以判断该序列为白噪声序列，即该序列具有纯随 机性。
∧
, 24)
225.0 131.6 63.2 86.4
95.3 112.8 181.6 136.9
1 100.6 8 81.8 7 73.9 3 31.5
48.3 31.0 64.8 35.3
112.3 160.8 52.3 ; 26.2 112.8
143.0 80.5 144.3 62.5 49.5 158.2 116.1 7.6 165.9 54.1 106.7 92.2 63.2 67.3 77.0 148.6 159.3 85.3 59.4
data example2; input ppm@@; time=intnx('month','01jan1975'd, _n_-1); format year year4.; cards; 330.45 331.90 331.63 333.05 332.81 334.65 334.66 336.25 335.89 337.41 337.81 339.25 330.97 330.05 332.46 330.87 333.23 332.41 335.07 334.39 336.44 335.71 338.16 337.19 331.64 328.58 333.36 329.24 334.55 331.32 336.33 332.44 337.63 333.68 339.88 335.49 332.87 328.31 334.45 328.87 335.82 330.73 337.39 332.25 338.54 333.69
（2） 判断该 该序列的平稳 稳性。 （3） 判断该 该序列的纯随 随机性。
解：data exam mple2_3; input rain@@; tim me=intnx('month','0 01jan1945'd,_n_-1); format time monyy7.; cards; 69.3 80.0 40.9 74.9 84 4.6 101.1 144.5 12 28.3 38.4 52.3 68.6 37.1 14 48.6 218.7 47.5 70 0.1 96.8 61.5 55.6 171.7 22 20.5 119.4 166.9 48 8.0 137.7 80.5 105.2 89.9 17 74.8 124.0
析： 分析 自相关图显示序列自 自相关系数 数长期位于零 零轴的一边 边， 这是具有 有单调趋势序 序列 的典 典型特征。
由下图可知 知，自相关系 系数长期位于 于零轴的一边 边，且自相关 关系数递减到 到零的速度较慢， 在 5 个延期中，自相关系数 数一直为正，说明这是一个 个有典型单调 调趋势的非平 平稳序列。
H0 :
ρ1 = ρ2 =
= ρ12 = 0
H1 : 至少存在在某个 ρk ≠ 0 ， k ≤ 12
解法如下： 解法一、考虑延迟期数的 LB 统计量法
ˆ k2 ⎞ ⎛ ρ 2 设 α = 0.05 ， LB = n ( n + 2 ) ∑ ⎜ ⎟ ~ χ (m) 根据上述数据，计算出下表结果 k =1 ⎝ n − k ⎠
分析 析：自相关图显示该序 序列自相关系数较小，大致在零轴 轴附近波动 动，大多数控 控制 在 2 倍标准差 差范围内，所 所以认为该 该序列是平稳 稳的。
3．1945 年-19 950 年费城 城月度降雨量 量数据如下 下（单位：m mm） ，见教材 材 P35 表 2-8.
1 2, （1） 计算该 该序列的样本 本自相关系 系数 ρ k (k = 1,