复变函数与积分变换课件第2章

例：设f(z)在z0处连续，且f(z0)不等于0，那么可以
找到z0的一个邻域，在这个邻域内f(z)不等于0
1 导数的定义
定义 设函数w=f(z)在包含z0的某邻域D内有定义 ，点z0+⊿z∈D. 如果极限
f ( z0 Δ z ) - f ( z0 ) lim Δ z 0 Δz
存在, 则称f(z)在z0可导, 此极限值就称为f(z)在z0 的导数, 记作
பைடு நூலகம்
定义 如果函数f(z)不仅在z0可导，而且在z0的某 个邻域内的任一点都可导, 则称f(z)在z0解析。 如果f(z)在区域D内每一点解析, 则称f(z)在D内解 析, 或称f(z)是D内的一个解析函数(全纯函数 或正则函数)
如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇 点。
(1) w=f (z) 在 D 内解析等价于在D内可导。 (2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析。 （3）函数在区域D内的点z处解析，则z 一 定是D的内点。
（4） f ( z ) z Re( z )
例3. 证明 sin ' z cos z
例4 如果f '(z)在区域D处处为零, 则f(z)在D内为一常
数 .
4.高阶导数
二阶及二阶以上的导数称为高阶导数
例 应用公式
sin( z

2
) cos z ,
（n) 求 sin z
1.解析函数的概念
例2
求f ( z) z 在z 0时的极限. z
z z0
例3 求极限 lim cos z 例4 证明 f ( z ) Re z
在z 0时的极限不存在 .
z
定理2
若 lim f ( z ) A lim g ( z ) B, 则
z z0 z z0
lim f ( z ) g ( z ) lim f ( z ) lim g ( z ) A B
D内解析函数的虚部是实 部的共轭调和函数 .
即, f ( z ) u( x , y ) iv( x , y )在D内解析 在D内v ( x , y )必为u u( x , y )的共轭调和函数 .
在D内满足C - R方程 : u x v y , u y - v x的两个 调和函数 , v , v必为u的共轭调和函数 u .
2.求导公式与法则
----实函数中求导法则的推广 ① 常数的导数 c=(a+ib)=0. ② (zn)=nzn-1 (n是自然数). ③ 设函数f (z),g (z) 均可导，则 [f (z)±g (z)] =f (z)±g(z)， [f (z)g(z)] = f (z)g(z) + f (z)g(z)
z z0 z z0
z z0
z z0
lim f ( z ) g ( z ) lim f ( z ) lim g ( z ) AB
z z0 z z0
f ( z ) z z0 A lim ( lim g ( z ) 0) z z0 g ( z ) lim g ( z ) B z z0
例： n 1. P( z ) a0 a1 z an z 为复平面上的解析函数
2. 若P (z) ，Q(z)为复平面上的解析函数，
则R(z)=P(z)/Q(z)在复平面上除使得分母为零的点 外均解析
定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解析, h=g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析, h=g(z)的函数值 集合 G，则复合函数w=f [g(z)]在D内处处解析。 例1 考虑函数f (z)=ez(z-2)的解析性
4)对数函数 Ln z 5)幂函数 za
3.函数解析的充分必要条件 定理 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域
D内解析的充要条件是u(x,y)与v(x,y)在D内可
微, 并满足柯西-黎曼方程
u v x y v u x y
例1.讨论函数的解析性
f ( z ) 2 x(1 - y) i( x - y 2 y)
g ( z) re 2
i
(r 0, - ) 在定义域 例2 函数 内解析，证明复合函数g(z2+1)在四分之一z平 面x>0,y>0内解析

2.初等函数的解析性
1)
指数函数 ez
2) 三角函数 sin z、cos z、tan z、cot z 、sec z、csc z 3)双曲函数 sh z、ch z
2.5 调和函数
1.概念 定义 若二元实变函数 ( x , y )在D内具有二阶连
续偏导数且满足 Laplace 方程 : 2 2 2 0 2 x y 即（ 0)
则称 ( x , y )为D内的调和函数 .
例.验证下列函数为调和函数
u x2 - y 2
v 2 xy
u v x y u v y x
f(z)的求导公式为
u v v u f ( z) i -i x x y y
'
例 1.讨论函数f(z)=x2-y2+i2xy在复平面
上的可导性，若可导，求出其导数
例2.判定下列函数在何处可导
(1) (2) (3) f ( z ) | z | f ( z) ez f ( z) z
2 2
x y -i 2 例2 求证函数 w u( x , y ) iv( x , y ) 2 2 x y x y2 dw 在z x iy 0处解析，并求 . dz
例3 设函数f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2). 问 常数a,b,c,d取何值时, f(z)在复平面内处处解 析?
第二章
2.1 2.2 2.3
导数
复变函数的极限 复变函数的连续性 导数
2.4
2.5
Math
解析函数
调和函数
HZAU
1.函数极限的概念
定义 设函数w=f(z)在z0的某去心邻域内有定义, 如果有一确定
的数A存在, 对于任意给定的e>0, 相应地必有一正数d(e),
使得当0<|z-z0|<d时有
|f(z)-A|<e 则称A为f(z)当z趋向于z0时的极限, 记作 lim f ( z ) A
z z0
lim f ( z )
例
求极限 lim
4z
2 2
z 1- i
z - 1
定义
如果 lim f ( z ) f ( z0 )
z z0
•则称f(z)在z0处连续. 如果f(z)在区域D内处 处连续, 则称函数f(z)在D内连续
•定理1 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z0=x0+iy0
f ( z0 ) f ( z0 Δ z ) - f ( z 0 ) dw lim . |z z0 Δ z0 dz Δz
如果f(z)在区域D内处处可导, 则称f(z)在Ｄ内可导.
例1 求f(z)=z2的导数 例2 证明函数f(z)=Re(z)在复平面上任何点
都不可导
例3 问：函数f (z)=x+2yi是否可导？ 例4 讨论函数f(z)=|z|2的可导性 函数可导 一定连续，但连续却不一定可导
f ( z ) ' f ' ( z ) g ( z ) - f ( z ) g' ( z ) , ( g ( z ) 0) g( z ) 2 g (z)
由以上讨论 P( z ) a0 a1 z an z n 在整个复平面上处处可导； P( z ) 若P( z ), Q( z )在复平面上可导，则R(z ) 在复平面上（除分母为0点外）处 Q( z ) 处可导.
④复合函数的导数 ( f [g(z)]) =f (w)g(z)，其中w=g(z)。
1 ⑤ 反函数的导数 f ' ( z ) ，其中: w=f (z) '(w)
与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。
例1 已知 f ( z ) ( z 2 5 z )2 例2 计算函数w=Lnz导数
u ( x, y) x 2 v( x, y) xy
例2 讨论下列函数的解析性 (1) w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面上的解析函数 (2) w=1/z，
除去z=0点外，是整个复平面上的解析函数；
(3) w=zRez
在整个复平面上处处不解析
2.复变函数解析的定理
定理1 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数， 则 f (z)±g(z)，f (z)g(z) 及 f (z) g(z) (g (z)≠0时) 均是D内的解析函数。
处连续的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)
处连续.
例1. 证明cosz, sinz在整个复平面上连续
例2 证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续
例3. 讨论对数函数Lnz的连续性
定理4
连续函数的和、差、积、商 (分母不为0)仍为连续 函数 连续函数的复合函数仍为连续函数。 1.P ( z ) a0 a1 z an z n在整个复平面内是连续的； 例 ：2.若P ( z )、Q ( z )在复平面上处处连续，且Q ( z )不为零，
z z0
或记作当zz0时, f(z)A
例1.证明若
z z0
lim f z A
则 zlim | f z || A | z
0
例2. 证明函数
f z e 在z 0时极限不存在
1 z
2. 复变函数极限定理
定理1 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y), A=a+ib, z0=x0+iy0,
P( z ) 则R ( z ) 在复平面内除分母为 点外处处连续. 0 Q( z ) 有界性：
设 R为复平面上的有界闭区域 若f ( z )在R上连续 M 0, 在R上恒有 f ( z ) M
函数连续性的 e - d 描述
如果对任意给定的e 0，总存在着正数d ， 当|z-z0 | d 时，有 | f z - f z0 | e 则称f z 在z0处连续。
例1.判断题 1)若f '(z)在z0存在，则f(z)在z0处解析
f ( z ) | z |2
2)若z0是f (z)的奇点，则f(z)在z0处不可导
f ( z ) | z |2
3)若u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)处偏导数存在，则函 数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导
1 ，求f ' ( z ) z -1
例3 求 f (z)=Arcsinz=-iLn(iz+
1－z 2）的导数。
3.函数可导的充分必要条件 定理：函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域内 一点z=x+iy可导的充要条件是u(x,y)和 v(x,y)在点(x,y)处可微，并且在该点满 足柯西－黎曼方程
若v是u在D内的调和函数，一般而言，v 在D内的调和函数是-u
2.已知实部或虚部的解析函数的表达式 例1 已知下面的调和函数，求解析函数f(z)=u+iv
v x2 - y 2 2 y
例2 由下列条件求解析函数( z ) u iv f
u x 2 xy - y 2 f ( i ) -1 i
例3 已知下面的函数，求解析函数f(z)=u+iv
u 2( x - 1) y f (2) -i
定理：设u(x,y)是单连同域D内的调和函数， (x0,y0)为D内任意取定的点，则存在由
( x , y )( x0 , y0 ) ( x , y ) ( x0 , y 0 )
则
z z0
lim f ( z ) A
lim
u ( x, y ) a v ( x, y ) b
lim
例
. 例1 证明w x 2 y i ( x y 2 )在平面上处处有极限
定理 若f ( z ) u( x , y ) iv( x , y )在区域D内解析
u u( x , y )，v v ( x , y )是D内的调和函数。
反之则不一定，例u=x2-y2
v=xy
, 定义 设u( x , y )为D内的调和函数称使得 u iv 在D内构成解析函数的调和 v ( x , y )为u( x , y ) 函数 的共轭调和函数 .