[必修五]·[均值不等式] · [提高] · [知识点+典型例题]·[学生版]

均值不等式
知识讲解
一、等号成立条件
条件：对于任意实数a b ，
，222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立． 证明：2222()a b ab a b +-=-，当a b ≠时，2()0a b ->
；当a b =时，
2()
=0a b -．222a b ab ∴
+≥，当且仅当a b =时，等号成立． 二、均值不等式
定义：如果a b ，
，是正数，那么2
a b
+，当且仅当a b =时，有等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式．
证明：2220a b +-=+=≥
，即a b +≥
2
a b
+三、均值不等式的几何解释
解释：对于任意正实数a b ，
，以AB a b =+的线段为直径做圆，在直线AB 上取点C ，使,AC a CB b ==，过点C 作垂直于直线AB 的弦DD '，连接AD 、DB 、如图已知
Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2DC AC BC =⋅
，即CD ．这个圆的半径为
2
a b
+
，显然2
a b
+C 与圆心重合，即a b =时，等号成立．
ab
b a
D '
D C B A
四、均值不等式的理解
1.对于任意两个实数a b ，
，2
a b
+叫做a b ，
a b ，的几何平均值．此定理可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数．
2.对于=“”的理解应为a b =是2a b +a b ≠，则2
a b
+
3.注意222a b ab +≥和
2
a b
+>a b R ∈，，后者是+a b R ∈，
五、极值定理
1.若x y s +=（和为定值），则当x y =时，xy 取得最大值是24
s
；
【证明】x y ，
都是正数，2x y +x y s +=，2
2()24
x y s xy +≤=，当且仅当x y =时，xy 取得最大值是2
4
s
；
2.若=xy p （积为定值），则当x y =时，x y +取得最小值是；
【证明】x y ，
都是正数，2
x y +≥x y =时，等号成立．又=xy p ，x y +≥
．
【注意】利用极值定理求最大值或最小值是应注意：
①注意均值不等式的前提条件：函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不 等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式；
②求积xy 最大值时，应看和x y +是否是定值；求和x y +最小值时，看xy 是否为定值． ③通过加减的方法配凑成使用算术平均数与几何平均数定理的形式； ④注意“1”的代换；
⑤等号是否成立: 只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值．
运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等．
典型例题
一．选择题（共12小题）
1．（2018•嘉兴模拟）已知x+y=++8（x，y＞0），则x+y的最小值为（）A．5 B．9 C．4+D．10
，若目标函数z=ax+by 2．（2018•洛阳一模）设实数x，y满足条
，
（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）
A．B．C．D．4
3．（2018春•怀化期末）若不等式＜恒成立，则实数a的取值范围是（）
A．（0，1） B．，C．，D．，
4．（2016秋•龙岩期末）已知两个正数a，b满足3a+2b=1，则+的最小值是（）A．23 B．24 C．25 D．26
5．（2017春•温州期末）已知x＞0，y＞0，x+2y=1，若不等式＞m2+2m成立，则实数m的取值范围是（）
A．m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或m≤﹣4 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜2 6．（2016秋•焦作期末）已知x，y∈R，满足4≥y≥4﹣x，x≤2，则
的最大值为（）
A．2 B．C．D．
7．（2016秋•郑州期末）正实数ab满足+=1，则（a+2）（b+4）的最小值为（）A．16 B．24 C．32 D．40
8．（2017•揭阳一模）已知抛物线y=ax2+2x﹣a﹣1（a∈R），恒过第三象限上一定
点A，且点A在直线3mx+ny+1=0（m＞0，n＞0）上，则的最小值为（）A．4 B．12 C．24 D．36
9．（2017•平度市二模）若直线2mx﹣ny﹣2=0（m＞0，n＞0）过点（1，﹣2），则+最小值（）
A．2 B．6 C．12 D．3+2
10．（2017春•贵池区校级期末）设x＞0，y＞0，x+y+xy=2，则x+y的最小值是（）A．B．1+C．2﹣2 D．2﹣
11．（2016秋•湖州期末）已知实数a，b，c满足a2+2b2+3c2=1，则a+2b的最大值是（）
A．B．2 C．D．3
12．（2016秋•鹤壁期末）已知a＞0，b＞0，+=2，则y=4a+b的最小值是（）A．8 B．6 C．2 D．9
二．填空题（共3小题）
13．（2018•江苏）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．14．（2018•天津一模）已知正实数a，b满足ab=a+2，那么2a+b的最小值为．15．（2018•南开区一模）设x＞0，y＞0，且xy﹣（x+y）=1，则x+y的最小值为．
三．解答题（共1小题）
16．（2018•石嘴山一模）已知函数f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为k．（1）求k的值；
（2）若a，b，c∈R，，求b（a+c）的最大值．。