[必修五]·[均值不等式] · [提高] · [知识点+典型例题]·[学生版]

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均值不等式练习题.

利用均值不等式求最值的方法一．均值不等式1.（1）若R ba,，则ab ba222(2)若R ba,，则222b aab（当且仅当b a时取“=”）2. (1)若*,R ba ，则ab ba 2(2)若*,R b a ，则ab ba 2（当且仅当b a时取“=”）(3)若*,R ba ，则22ba ab(当且仅当b a时取“=”）3.若0x ，则12xx(当且仅当1x 时取“=”）;若0x ，则12xx(当且仅当1x 时取“=”）若0x ，则11122-2x xxx xx即或 (当且仅当b a时取“=”）3.若0ab，则2ab ba(当且仅当b a时取“=”）若0ab ，则22-2a b a b a b bababa即或(当且仅当b a 时取“=”）4.若R ba,，则2)2(222b ab a （当且仅当b a时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．一、配凑1. 凑系数例1. 当04x 时，求y x x ()82的最大值。

解析：由04x知，820x，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到2828x x ()为定值，故只需将y x x ()82凑上一个系数即可。

y x x x x x x()[()]()821228212282282·当且仅当282x x ，即x ＝2时取等号。

所以当x ＝2时，y x x ()82的最大值为8。

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。

2. 凑项例2. 已知x54，求函数f x xx()42145的最大值。

高中数学必修5(人教A版)第三章不等式3.4知识点总结含同步练习及答案

4 m ．所以 x
y = 4 × 120 + 2(2x + = 480 + 320(x +
4 ) x − − − − − 4 ⩾ 480 + 320 × 2√x ⋅ x = 1760,
当且仅当 x =
8 ) × 80 x
4 ，即 x = 2 时，等号成立．所以当 x = 2 时，y min = 1760 ． x 答：水池的最低造价为1760元．
如果 a ，b ∈ R+ ，那么
均值不等式可以表达为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．均值不等式也称为基本不等式．两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．例题：设 a > 0，b > 0 ，下列不等式中不成立的是（）
b a A． + ⩾ 2 a b a+b 2 C．ab ⩽ ( ) 2
2.均值不等式的应用描述：基本不等式的应用非常广泛，如求函数最值，证明不等式，比较大小，求取值范围，解决实际问题等．其中，求最值是其最重要的应用．利用均值不等式求最值时应注意“一正，二定，三相等”，三者缺一不可．例题：求函数 y =
1 + x (x>3)\) 的最小值． x−3 解：因为 x > 3，所以 x − 3 > 0 ，所以 y=
已知 x ，y ∈ R+ ，且 x + 4y = 1，求 xy 的最大值．且仅当 x =
− − 解：由均值不等式可得 x + 4y ⩾ 2√− x ⋅− 4− y ，当且仅当 x = 4y 时等号成立，所以 xy ⩽ 1 1 1 ，y = 时等号成立，所以 xy 的最大值为． 2 8 16

人教B版人教B版高中数学必修五3.2+均值不等式(人教实验B版).docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作3.2均值不等式（人教实验B版必修5）建议用时实际用时满分实际得分90分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1.已知a≥0，b≥0，且a+b=2，则（）A.ab≤12B.ab≥12C.a2+b2≥2D.a2+b2≤32.函数f（x）=sin54cosxx+（0≤x≤2π）的值域是（）A.1144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， B.1133⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C.1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D.2233⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，3.设a＞1，b＞1且ab-（a+b）=1，那么（）A.a+b有最小值2（2+1）B.a+b有最大值（2+1）2C.ab有最大值2+1D.ab有最小值2（2+1）4.设a>b>0，则a2+1ab+1()a a b-的最小值是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题(每小题5分，共10分)5.若实数a，b满足ab=a+b+3，则a+b的取值范围是.6.当a＞1时，41a-+a的最小值为.三、解答题(共70分)7．（15分）已知a，b，c∈（0，+∞），求证：2ab+2bc+2ca≥a+b+c.8. (20分)求函数f（x）=2x（5-3x），x∈53⎛⎫⎪⎝⎭，的最大值.9.（15分）已知x＞0，y＞0，且x+2y=1，求1x+1y的最小值.10.（20分）某单位决定投资3 200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧用砖墙，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元.计算：仓库底面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？3.4均值不等式（数学人教实验B版必修5）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5．6．三、解答题7.8.9.10.3.4均值不等式（数学人教实验B版必修5）答案一、选择题1.C解析：本小题主要考查对基本不等式知识的运用.由a≥0，b≥0，且a+b=2，得4=（a+b）2=a2+b2+2ab≤2（a2+b2），∴a2+b2≥2.2.C解析：f（x）=221cos(0π), 54cos1cos(π2π).54cosxxxxxx⎧-≤≤⎪+⎪⎨-⎪-≤≤⎪+⎩当x∈［0，π］时，令t=cos x∈［-1，1］，构造函数g（t）=2154tt-+，通过整理此解析式得g（t）=-[14(54+t)+964×154t+]+58≤-38+58=14，所以f（x）=g（t）∈12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.同理，当x∈（π，2π］时，f（x）=-()g t∈12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.综上所述，f（x）=sin54cosxx+（0≤x≤2π）的值域是1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.3.A解析：∵ab-（a+b）=1，ab≤22+⎛⎫⎪⎝⎭a b，∴22+⎛⎫⎪⎝⎭a b-（a+b）≥1，它是关于a+b的一元二次不等式，解得a+b≥2（2+1）或a+b≤2（1-2）（舍去）. ∴a+b有最小值2（2+1）.又∵ab-（a+b）=1，a+b≥2ab，∴ab-2ab≥1，它是关于ab的一元二次不等式，解得ab ≥2+1，或ab≤1-2（舍去）.∴ab≥3+22，即ab有最小值3+22.故选A.4.D 解析：a2+1ab+1()a a b-=a2-ab+ab+1ab+1()a a b-=a（a-b）+1()a a b-+ ab +1ab≥2+2=4，当且仅当a（a-b）=1且ab=1，即a =2，b =22时取等号.二、填空题5.（-∞，-2］∪［6，+∞）解析：∵ab ≤（2a b +）2，∴a+b+3≤22+⎛⎫⎪⎝⎭a b ， ∴（a+b ）2-4（a+b ）-12≥0，即［（a+b ）-6］·［（a+b ）+2］≥0，∴a+b ≥6或a+b ≤-2，∴所求a+b 的取值范围是（-∞，-2］∪［6，+∞）. 6.5解析：41a -+a =41a -+（a-1）+1≥24(1)1⨯--a a +1=5，当且仅当41a -=a-1，即a =3时取等号，所以41a -+a 的最小值为5. 三、解答题7.证明：∵a ，b ∈（0，+∞），∴2a b +b ≥22a =2a .同理2b c+c ≥22b =2b ，2c a +a ≥22c =2c ，当且仅当a =b =c 时，上述三式均取“=”.三式两边分别相加得2a b +b +2b c +c +2c a +a ≥2a +2b +2c ，即2a b +2b c +2c a≥a +b +c .8．解：∵x ∈503⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴ 5-3x ＞0.∴f （x ）=2x ·（5-3x ）=23［3(53)x x -］2≤23·23532+-⎛⎫ ⎪⎝⎭x x =256. 当且仅当3x =5-3x ，即x =56时，等号成立. 故f （x ）的最大值为256. 9.解：因为x ＞0，y ＞0，且x+2y =1，所以1x +1y =2x y x ++2x y y +=1+2+2y x +x y ≥3+22⨯y x x y=3+22.当且仅当2y x =xy且x+2y =1，即x =2-1，y =1-22时，取得等号. 所以1x +1y的最小值为3+22. 10. 解：设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则有S =xy .由题意得40x+2×45y+20xy =3 200.由均值不等式得3 200≥24090⨯x y +20xy =120xy +20xy =120S +20S ，∴S+6S≤160，即（S+16）（S-10）≤0.∵S+16＞0，∴S-10≤0，从而S≤100.因此S的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x=90y，而xy=100，由此求得x=15. 即正面铁栅的长应是15米.。

均值不等式(基本不等式+知识点+例题+习题)pdf版

t
t
t
答案：[2, )
例 2 求函数 y x2 3 的最小值． x2 1
解析：令 x2 1 t,t 1，则 x2 t2 1 ，带入原式化简得 y t 2 2 2 ， t
当 t 2 即 t 2 时等号成立． t
答案： 2 2
例 3 已知 x 1，求 f (x) x2 x 1 的最小值． 2x 1
2
2
2 | 10
[不等式] 练习答案：
1
2
38
对勾函数：
形如 f (x) ax b (ab 0) 的函数． x
利用对勾函数性质可解决均值不等式等号不成立时的情况．
性质
a 0,b 0
y
a 0,b 0 y
图像
2 ab
Obxab a NhomakorabeaO
x
-2 ab
定义域
值域奇偶性渐近线
{x | x 0}
2
题型四：分离换元法求最值（二次比一次或一次比二次时用）
例 1 求函数 y x2 3 (x 1) 的值域． x 1 2
解析：令 x 1 t,t 3 ，则 x t 1，带入原式得到 y (t 1)2 3 t 4 2 ，
2
t
t
t 4 2 2 t 4 2 2 ，当 t 4 即 t 2 时等号成立．
解析：构造对勾函数 y 3x 12 ，由函数性质可知 x (3, ) 时函数单调递减， x
故
y
3x
12 x
y(3)
13
．
答案： (, 13]
练习 1 练习 2
已知 x 0 ，求函数 y x 4 的最小值． x4
已知 x 3，求函数 y 2x 3 的值域． 2x

必修5 第三章第三节基本不等式(学生版)

教学辅导教案1.已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．﹣3B．1C．3D．02.已知A（2，1），O（0，0），点M（x，y）满足，则的最大值为（）A．﹣5B．﹣1C．0D．13.已知，其中实数x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．4D．4.某车间计划生产甲、乙两种产品，甲种产品每吨消耗A原料6吨、B原料4吨、C原料4吨，乙种产品每吨消耗A原料3吨、B原料12吨、C原料6吨．已知每天原料的使用限额为A原料240吨、B原料400吨、C原料240吨．生产甲种产品每吨可获利900元，生产乙种产品每吨可获利600元，分别用x，y表示每天生产甲、乙两种产品的吨数（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅰ）每天分别生甲、乙两种产品各多少吨，才能使得利润最大？并求出此最大利润．1.下列函数中，最小值为4的是（）A．y=x+B．y=sinx+（0＜x＜π）C．y=e x+4e﹣x D．y=+2.设，则的最大值是（）A．B．C．D．3.已知，则的最小值为（）A．B．C．D．4.已知均为正数，且，则的最小值为（）A．B．C．D．5.已知，且，则的最小值（）A．B．C．D．无最小值6.设求证：7. 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100（单位：千米/时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．（1）求这次行车总费用y 关于x 的表达式；（2）当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．【知识点一：重要不等式：a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )一般地，对于任意实数a ，b ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当__ a ＝b ___时，等号成立．【知识点二：基本不等式】如果a ＞0，b ＞0，那么2a bab +≤，当且仅当__ a ＝b ___时，等号成立．其中，2a b+叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．因此基本不等式也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．【知识点三：基本不等式的证明】（1）代数法：方法一因为a ＞0，b ＞0，所以我们可以用a ，b 分别代替重要不等式中的a ，b ，得22()()2a b a b +≥⋅，当且仅当a b =时，等号成立．即2a bab +≥( a ＞0，b ＞0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．方法二因为2222()()2()0a b ab a b ab a b +-=+-=-≥，所以20a b ab +-≥，即2a b ab +≥，所以2a bab +≤．方法三要证2a bab +≥，只要证2a b ab +≥，即证20a b ab +-≥，即证2()0a b -≥，显然2()0a b -≥总是成立的，当且仅当a ＝b 时，等号成立．（2）几何法：如图，AB 是圆的直径，C 是AB 上一点，AC ＝a ，BC ＝b ，过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD ，BD ．易证Rt Rt ACD DCB △∽△，则CD 2＝CA ·CB ，即CD＝__ab ___．这个圆的半径为2a b+，显然它大于或等于CD ，即2a b ab +≥，当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立．由此我们可得2a bab +≤的几何意义：半径不小于半弦．替换”或“常数1”的替换，或构造不等式求解．【例4】已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则11a b+的最小值为________；【变式训练1】已知a ＞0，b ＞0，11a b+＝2，则a ＋b 的最小值为________；【例5】若正实数x ，y 满足x ＋y ＋3＝xy ，则xy 的最小值是________；【变式训练1】已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值是________．【题型四：基本不等式在实际中的应用】利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式．在解题过程中尽量向模型2bax ab x+≥(a ＞0，b ＞0，x ＞0)上靠拢．【例1】如图，要规划一个矩形休闲广场，该休闲广场含有大小相等的左右两个矩形草坪（如图中阴影部分所示），且草坪所占面积为18000 m 2，四周道路的宽度为10 m ，两个草坪之间的道路的宽度为5 m ．试问，怎样确定该矩形休闲广场的长与宽的尺寸（单位：m ），能使矩形休闲广场所占面积最小？【题型五：忽略等号成立的条件导致错误】【例1】函数223()2xf xx+=+的最小值为_________．【题型六：忽略等号成立的一致性导致错误】【例1】若x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则11x y+的最小值为_________．1.（题型二）已知x，y，z均为正数．求证：．2.（题型三）已知a＞0，b＞0，m＝1ba+，n＝1ab+，且a，b的等比中项是1，则m＋n的最小值是A．3 B．4C．5 D．63.（题型三）（题型三）函数取得最小值时，的值为（）A．B．C．1D．24.（题型三）已知都是正数,且则的最小值等于（）A．B．C．D．5.（题型三）在平面直角坐标系中，已知第一象限的点在直线上，则的最小值为（）A．B．C．D．6. （题型四）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 A ．60件 B ．80件 C ．100件D ．120件7. 若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为 A ．245B ．285C ．5D ．68. 若a ，b ，c ＞0且(a ＋c )(a ＋b )＝423-，则2a ＋b ＋c 的最小值为 A ．31-B ．31+C ．232+D ．232-9. 已知0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围为 A ．(,2)-∞ B ．(4,)-+∞ C ．(4,2)-D ．(2,4)-【查漏补缺】1. 已知a ＞0，b ＞0，m ＝1b a +，n ＝1a b+，且a ，b 的等比中项是1，则m ＋n 的最小值是 A ．3B ．4C ．5D ．6A ．252B ．492C ．12D ．14 7. 已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为时22log log (2)a b ⋅取得最大值．1. 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则111a b c ++的最小值为_________________．．2. 在4×＋9×＝60的两个中，分别填入一个自然数，使它们的倒数之和最小，则中应分别填入____________和____________．3. 函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则12m n+的最小值为_________________． 4. 某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2017年进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，该服装的年销量x (万件)与年促销费t (万元)之间满足：3－x 与t ＋1成反比例．如果不搞促销活动，该服装的年销量是1万件．已知2017年生产该服装的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，将每件服装的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，当年生产的服装正好能销售完．（1）将2017年生产该服装的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数；（2）该企业2017年的促销费投入多少万元时，企业生产该服装的利润最大？ (注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)第1,2天作业1. 若实数,a b 满足12ab a b+=，则ab 的最小值为( ) A.2 B.2 C.22 D 、4。

高中数学第3章不等式 3.2 均值不等式课件新人教B版必修5

解析：A 中xy＜0 时，不满足题意；B 中等号不能成立；D
中 tanθ＜0 时，不符合题意；C 中12ex＋2e－x≥2，当 ex＝2，即
x＝ln 2 时等号成立．故选 C. 答案：C
3．已知 x，y 都是正数，若 xy＝4，则 x＋y 的最小值是 ________．
解析：∵x>0，y>0， ∴x＋y≥2 xy＝4，当且仅当 x＝y＝2 时，等号成立．答案：4
解析：若x2＋3xx＋1≤a(x>0)恒成立，则x2＋3xx＋1max≤a，
令 y＝x2＋3xx＋1＝x＋11x＋3≤2＋1 3＝15，
当且仅当 x＝1 时，等号成立，
∴ymax＝15，
∴a
的取值范围为15，＋∞
.
答案：15，＋∞
基础知识达标
即学即练稳操胜券
1．已知实数 a>0，则 a＋4a的最小值为( )
＝n＋1n－＋112＋8＝
n＋12－2n＋1＋9 n＋1
＝n＋1＋n＋9 1－2≥2 n＋1·n＋9 1－2＝4，
当且仅当 n＋1＝n＋9 1，即 n＝2 时，符号成立，故选 A.
答案：A
5．(2019·河南中原名校联考)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S3＝15，a7＋a9＝34，数列ana1n＋1的前 n 项和为 Tn，且对于任意的 n∈N*，Tn<an＋t 11，则实数 t 的取值范围为 ________．
课堂互动探究
典例精析规律总结
设 a，b∈(0，＋∞)，试比较a＋2 b， ab，
a2＋b2， 2
1a＋2 1b的大小．【解】 ∵a，b∈(0，＋∞)，
∴1a＋1b≥2 a1b，
即2≤ 1a＋1b

均值不等式及其应用课件-2025届高考数学知识点题型及考项复习

x−5
+
13
5
≥2
36
25
+
13
5
=5
（转化配凑成分子不含变量的形式）
,当且仅当3 x −
3
5
=
12
3
25 x−5
,y =
x
,即x
5x−3
1
2
= 1,y = 时取等号.故3x + 4y的最小值为5.
（方法1易想，但计算量大，且需要两次对式子进行转化配凑.下面我们来研究另一
种方法）
方法2 （常数代换）
+ (y +
=
x2
+
=
[x 2
+
1 2
]
2x
x2 =
[y 2
+
1 2
]
2y
x=y=
故 x+
2
2
1 2
2y
+
y
x
+
x
y
≥2⋅x⋅
1
2x
+2⋅y⋅
1
2y
+2
y x
⋅
x y
= 4，当且仅当 y 2 =
y
x
x
y
1
,
4x2
1
,
4y2
+
即
= ,
时取等号.（【明易错】多次使用基本不等式时,要注意等号成立的一致性）
min
= 16.
+ 10,且y − 9 > 0，
例10 (2024·河南省开封市期末)当0 < x <
1
1时，
x
A.8

【精品】人教B版高中数学必修五第三章不等式3.2均值不等式20171206411

(3)若实数
a,b
满足1
��
+
2 ��
=
��,则 ab 的最小值为 2 2. (
)
(4)当 a>0,b>0 时,有不等式1��+21�� ≤
��
≤
��+�� 2
≤
��2+2 ��2成立.
()
答案:(1)× (2)× (3) (4)
3.2 均值不等式
-1-
1.1.1 正弦定理
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课标阐释
思维脉络
1.了解均值不等式的证明过程,理解均值不等式成立的条件,等号成立的条件及几何意义. 2.会运用均值不等式解决最值、范围、不等式证明等相关问题. 3.掌握运用均值不等式a+2b ≥
ab(a,b>0)求最值的常用方法及需注意的问题.
课前篇自主预习
课堂篇合作学习
-2-
1.1.1 正弦定理
一
二
三
首页
课课前前篇篇自自主主预预习习
一、重要不等式
【问题思考】
1.填空: 对于任意实数a,b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. 2.怎样比较 a2+b2,(��+2��)2,2ab 三者的大小关系?
提示:a2+b2≥(��+2��)2≥2ab,当且仅当 a=b 时等号成立.利用作差法即可证明.
探究三
探究四
探究五
首页思维辨析
课前篇自主预习
当堂检测
课堂篇合作学习

数学人教B版必修5教学设计：3.2均值不等式 Word版含答案

教学设计3．2 均值不等式整体设计教学分析均值不等式也称基本不等式．本节主要目标是使学生了解均值不等式的代数意义，几何的直观解释以及均值不等式的证明和应用．本节教材上一开始就开门见山地给出均值不等式及证明，在思考与讨论过渡下，给出均值不等式的一个几何直观解释，以加深学生对均值不等式的理解．教材用作差配方法证明均值不等式．作差配方法是证明不等式的基本方法，在整个不等式的教学中都要贯彻这一重要方法．在解题中要让学生注意使用均值不等式的条件，并掌握基本技能．一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值”．本节的《新课标》要求是：探索并了解均值不等式的证明过程；会用均值不等式解决简单的最大(小)问题．从历年的高考来看，均值不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等．不等式的证明是将来进入大学不可缺少的技能，同时也是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，因而成为历届高考中的热点．几乎所有地区的高考题都能觅到它的踪影．书中练习A、B和习题都是基本题，要求全做．鉴于均值不等式的特殊作用，因此本节设计为2课时完成，但仅限于基本方法和基本技能的掌握，不涉及高难度的技巧．第一课时重在均值不等式的探究，第二课时重在均值不等式的灵活运用．且在教学中，将本节教材中的思考与讨论一起拿到课堂上来，让学生通过思考与讨论建立均值不等式与不等式a2＋b2≥2ab的联系．三维目标1．通过本节探究，使学生学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．2．通过对均值不等式的不同形式应用的研究，渗透“转化”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．3．通过本节学习，使学生体会数学来源于生活，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯．重点难点教学重点：用数形结合的思想理解均值不等式，并从不同角度探索不等式a ＋b 2≥ab 的证明过程；用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问题．教学难点：用均值不等式求最大值和最小值，均值不等式a ＋b 2≥ab 等号成立条件的运用，应用均值不等式解决实际问题．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(直接引入)像教材那样，直接给出均值定理，然后引导学生利用上节课的基本性质来探究它的证明方法．因为有了上两节的不等式的探究学习，因此这样引入虽然直白却也是顺其自然．思路2.(情境导入)教师自制风车，让学生把教师自制的风车转起来，这是学生小时候玩过的得意玩具；手持风车把手，来了一个360°的旋转，不但风车转得漂亮，课堂气氛也活跃，学生在紧张的课堂氛围中马上变得自然和谐，情境引入达到高潮，此时教师再提出问题．推进新课新知探究提出问题(1)均值定理的内容是什么？怎样进行证明？(2)你能证明a 2＋b 2≥2ab 吗？(3)你能尝试给出均值不等式的一个几何直观解释吗？(4)均值不等式有哪些变形式？活动：教师引导学生阅读均值定理的内容，或直接用多媒体给出．点拨学生利用上两节课所学知识进行证明，这点学生会很容易做到，只需作差配方即可．接着让学生明确，这个结论就是均值不等式，也叫基本不等式．其中，任意两个正实数a 、b 的a ＋b 2叫做数a 、b 的算术平均值，数ab 叫做a 、b 的几何平均值．均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．强调这个结论的重要性，在证明不等式、求函数的最大值最小值时有着广泛的应用，是高考的一个热点．可以通过反例或特例让学生进一步认识这个结论成立的条件，a、b必须是正数，等号成立当且仅当a＝b，以加深学生对此结论的理解，为后面求最值时的“一正二定三相等”打下基础．利用不等式的性质对均值不等式两边平方，则很容易得到a2＋b2≥2ab.这是一个很重要的结论．一般地，如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)也可让学生重新证明这个结论：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2，当a≠b时，有(a－b)2＞0.当a＝b时，有(a－b)2＝0，所以(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab.这个不等式对任意实数a，b恒成立，是一个很重要的不等式，应用非常广泛．请同学们注意公式的结构形式，成立的条件是a、b为实数，等号成立的条件是当且仅当a＝b时成立．“当且仅当”即指充要条件．下面我们对均值不等式的几何意义作进一步探究．如图1，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出均值不等式的几何解释吗？图1(本节课开展到这里，学生从均值不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对均值不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础) 这个图形是我们在初中非常熟悉的一个重要图形．容易证明△ACD∽△DCB.所以可得CD＝ab.或由射影定理也可得到CD＝ab.从图中我们可直观地看到ab表示的是半弦长，a＋b2表示的是半径长．由于半弦长不大于半径，即CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为：a＋b2≥ab.显然，上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，等号成立．还应让学生熟悉均值不等式的其他变形式．如若a、b∈R＋，则ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，式中等号成立．好多书上就把它称为基本不等式．在同样条件下还可写成：a＋b≥2ab或2ab≤a＋b等．讨论结果：(1)(2)略．(3)均值不等式的几何解释是：半径不小于半弦长．(4)若a、b∈R＋，则ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，式中等号成立；若a 、b ∈R ＋，则a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，式中等号成立；若a 、b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，式中等号成立．应用示例例1(教材本节例1)活动：本例是均值不等式的简单应用，教师点拨学生证明时注意式中成立的条件，本例中的b a 和a b 相当于均值不等式中的a 、b.因此必须有b a ，a b∈R ＋. 点评：初用均值不等式，学生往往容易忽视不等式成立的条件，点拨学生注意，只要使用均值定理，马上先想到条件，养成良好的解题习惯.例2已知(a ＋b)(x ＋y)＞2(ay ＋bx)，求证：x －y a －b ＋a －b x －y≥2. 活动：教师引导学生探究题目中的条件与结论．本题结论中，注意x －y a －b 与a －b x －y互为倒数，它们的积为1，故此题应从已知条件出发，经过变形，说明x －y a －b 与a －b x －y为正数开始证题．证明：∵(a ＋b)(x ＋y)＞2(ay ＋bx)，∴ax ＋ay ＋bx ＋by ＞2ay ＋2bx.∴ax －ay ＋by －bx ＞0.∴(ax －bx)－(ay －by)＞0.∴(a －b)(x －y)＞0，即a －b 与x －y 同号．∴x －y a －b 与a －b x －y 均为正数． ∴x －y a －b ＋a －b x －y ≥2x －y a －b ·a －b x －y ＝2(当且仅当x －y a －b ＝a －b x －y时取“＝”)． ∴x －y a －b ＋a －b x －y ≥2. 点评：本题通过对已知条件变形，恰当地因式分解，从讨论因式乘积的符号来判断x －y a －b与a －bx －y是正还是负，是我们今后解题中常用的方法．例3若a ＞b ＞1，P ＝lga·lgb ，Q ＝12(lga ＋lgb)，R ＝lg a ＋b 2，则( ) A ．R ＜P ＜Q B ．P ＜Q ＜RC ．Q ＜P ＜RD ．P ＜R ＜Q活动：这是均值不等式及其变形式的典型应用．根据P 、Q 、R 三个式子的结构特点，应考虑利用均值不等式，再运用函数y ＝lgx 的单调性．答案：B解析：∵a ＞b ＞1，∴lga ＞lgb ＞0.∴12(lga ＋lgb)＞12·2lga·lgb ，即Q ＞P. 又∵a ＋b 2＞ab ， ∴lg a ＋b 2＞lg ab ＝12(lga ＋lgb)． ∴R ＞Q.故P ＜Q ＜R.点评：应准确理解均值不等式成立的条件，创造性地应用均值不等式．例4(教材本节例2)活动：这是一个实际问题．教师引导学生分析，根据题意在(1)中，矩形的长与宽的积是一个常数，求长与宽的和的两倍的最小值；在(2)中，矩形的长与宽的和的两倍是一个常数，求长与宽的积的最大值．联想到均值不等式的两边恰是两个正数的和与积，因此建立均值不等式的数学模型．点评：本例也可用函数模型解决，课后可让学生试一试．这里用均值不等式来解，一是说明利用均值不等式求最值的方法，二是说明这种方法的快捷．解完本例后，让学生领悟到：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．简单地说就是：在应用这个结论求最值时应把握“一正、二定、三相等”．正是正数，定是定值，相等是能取到等号．知能训练1．“a ＝18”是“对任意的正数x,2x ＋a x≥1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．若正数a 、b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________．答案：1．A 解析：一方面，当a ＝18时，对任意的正数x ，有2x ＋a x ＝2x ＋18x≥1；另一方面，对任意正数x ，都有2x ＋a x ≥1，只要2x ＋a x ≥22a ≥1，即得a ≥18. 2．[9，＋∞) 解法一：令ab ＝t(t ＞0)，由ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，得t 2≥2t ＋3，解得t ≥3，即ab ≥3，故ab ≥9.解法二：由已知得ab －b ＝a ＋3，b(a －1)＝a ＋3，∴b ＝a ＋3a －1(a ＞1)． ∴ab ＝a·a ＋3a －1＝[(a －1)＋1]a ＋3a －1＝a ＋3＋a ＋3a －1＝a －1＋4＋a －1＋4a －1＝a －1＋4a －1＋5≥2(a －1)·4a －1＋5＝9. 当且仅当a －1＝4a －1时取等号，即a ＝b ＝3时，ab 的最小值为9. ∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．点评：此题较全面地考查了均值不等式的应用及不等式的解法与运算能力．通过思考a ＋b 与ab 的关系联想到均值不等式，或建立在函数思想上，求函数的值域．由于视角的不同，有多种方法，以上仅是其中的两种解法．课堂小结1．由学生自己理顺整合本节都学到了哪些知识方法？有哪些收获？2．教师强调，本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数(a ＋b 2)，几何平均数(ab)及它们的关系(a ＋b 2≥ab)．两关系式成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数．它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具．作业习题3—2A 组，4,5,6.习题3—2B 组，1,2.设计感想1．本节设计突出重点．均值不等式的功能在于求最值，这是本节的重点，要牢牢地抓住．但使用均值不等式求函数最值时要注意：①x ，y 都是正数；②积xy(或和x ＋y)为定值；③x 与y 必须能够相等．2．本节课我们探究了均值不等式，拓展了我们的视野；证明不等式是高中数学的重点，也是难点，在设计中加强了证明不等式的题量，但难度并不大，重在让学生体会方法．将解题思路转化为解题过程，往往不是一帆风顺的，谈思路可能头头是道，具体求解却可能会处处碰壁，消除思路与求解的差异，要靠探究，在探究中不断更新，在探究中逐步完善．(设计者：郑吉星)第2课时导入新课思路1.(复习导入)让学生回忆上节课我们探究的重要结果：一是如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab(当且仅当a ＝b 时取“＝”)；二是均值不等式：如果a ，b 是正数，那么a ＋b 2≥ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)．在这个不等式中，a ＋b 2为a ，b 的算术平均数，ab 为a ，b 的几何平均数，这样均值不等式就有了几何意义：半弦长不大于半径．a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 成立的条件是不同的，前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数．本节课我们进一步探究均值不等式的应用．由此展开新课．思路2.(直接导入)通过上节课a 2＋b 2≥2ab(a 、b ∈R )与a ＋b 2≥ab(a ＞0，b ＞0)的探究证明，我们熟悉了不等式的一些证明方法．本节课我们进一步领悟不等式的证明思路、方法，进一步熟悉利用均值不等式解决函数的最值问题的思路．教师打开多媒体课件，从而展开新课．推进新课新知探究提出问题(1)回忆上节课探究的均值不等式，怎样理解均值不等式的意义？都有哪些变形？(2)均值不等式都有哪些方面的应用？(3)在应用均值不等式求最值时，应注意什么问题？活动：教师引导学生回忆上节课我们共同探究的均值不等式，以及均值不等式与a 2＋b 2≥2ab 的联系．给出了均值不等式的一个几何直观解释．均值不等式与a 2＋b 2≥2ab 都有着广泛的应用．对这两个重要不等式，要明确它们成立的条件是不同的．后者成立的条件是a 与b 都为实数，并且a 与b 都为实数是不等式成立的充分必要条件；而前者成立的条件是a 与b 都为正实数，并且a 与b 都为正数是不等式成立的充分不必要条件，如a ＝0，b ＝0，仍然能使a ＋b 2≥ab 成立．两个不等式中等号成立的条件都是a ＝b ，故a ＝b 是不等式中等号成立的充要条件．在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握“一正、二定、三相等”．当条件不完全具备时，应创造条件．本节课我们将进一步探究均值不等式的应用．讨论结果：(1)(2)略．(3)应注意不等式成立的条件，即把握好“一正，二定，三相等”．应用示例例1(教材本节例3)活动：本例是求函数的最值．教师引导学生将f(x)变形，注意观察代数式中可否出现和或积的定值．本例可放手让学生自己探究，教师给予适当点拨．点评：解完本例后，让学生反思并领悟在求函数最值时，如何使用均值不等式的条件，并掌握基本技能.例2(1)已知x ＜54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值； (2)已知a 、b 为实数，求函数y ＝(x －a)2＋(x －b)2的最小值．活动：(1)因为4x －5＜0，所以首先要“调整”符号．又(4x －2)·14x －5不是常数，所以应对4x －2进行拆(添)项“配凑”．(2)从函数解析式的特点看，本题可化为关于x 的二次函数，再通过配方法求其最小值．但若注意到(x －a)＋(b －x)为定值，则用变形不等式m 2＋n 22≥(m ＋n 2)2更简捷．解：(1)∵x ＜54，∴5－4x ＞0. ∴y ＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立．∴当x ＝1时，y max ＝1.(2)∵y ＝(x －a)2＋(x －b)2＝(x －a)2＋(b －x)2 ≥2[(x －a )＋(b －x )2]2＝(a －b )22，当且仅当x －a ＝b －x ，即x ＝a ＋b2时，上式等号成立．∴当x ＝a ＋b 2时，y min ＝(a －b )22.点评：若x 、y ∈R ＋，x ＋y ＝s ，xy ＝p.若p 为定值，则当且仅当x ＝y 时，s 的值最小；如果s 为定值，则当且仅当x ＝y 时，p 的值最大．简称“和定积最大，积定和最小”．从本例的解答可以看出，求最值时往往需要拆(添)项，其目的是创设应用均值不等式的情境和使等号成立的条件，即满足“一正，二定，三相等”的要求.例3当x ＞－1时，求函数f(x)＝x 2－3x ＋1x ＋1的值域．活动：教师引导学生观察函数f(x)的分子、分母特点，可作如下变形：f(x)＝x 2－3x ＋1x ＋1＝(x ＋1)2－5(x ＋1)＋5x ＋1＝x ＋1＋5x ＋1－5.这样就可以应用均值不等式了．解：∵x ＞－1， ∴x ＋1＞0.∴f(x)＝x 2－3x ＋1x ＋1＝(x ＋1)2－5(x ＋1)＋5x ＋1＝x ＋1＋5x ＋1－5≥2(x ＋1)(5x ＋1)－5＝25－5，当且仅当(x ＋1)2＝5时，即x ＝5－1时取“＝”．另一解x ＝－5－1＜－1(舍去)，故函数值域为[25－5，＋∞)．点评：本题解法具有典型性，解后教师引导学生领悟反思．这种求值域的题目，在“函数”一章中我们接触较多，其常用方法有单调性、图象法，还有判别式法．利用判别式法不仅计算量大，而且极易因忽视某些条件而出错．本例给出了用均值不等式法求值域的方法，既简单又不易出错．但提醒学生一定要注意必须满足的三个条件：①各项均为正数；②和或积有一个为定值；③等号一定取到，这三个条件缺一不可.例4设0＜x ＜2，求函数f(x)＝3x (8－3x )的最大值，并求相应的x 值．试问0＜x ＜43时，原函数f(x)有没有最大值？0＜x ≤1时，f(x)有没有最大值？若有，请你求出来；若没有，请你说明理由．活动：对本例中的函数可变形为f(x)＝24x －9x 2，根号内是我们熟悉的二次函数，完全可以用二次函数的知识方法解决，这种方法学生很熟悉．教师可引导学生利用均值不等式求解，让学生自己探究，教师可适时地点拨．解：∵0＜x ＜2，∴8－3x ＞0. ∴f(x)＝3x (8－3x )≤(3x ＋8－3x 2)2＝4，当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时取“＝”．∴函数f(x)的最大值为4，此时x ＝43.又f(x)＝－9x 2＋24x ＝－(3x －4)2＋16， ∴当0＜x ＜43时，f(x)递增；当x ＞43时，f(x)递减．∴当0＜x ＜43时，原函数f(x)没有最大值．当0＜x ≤1时，有最大值f(1)，即f(1)＝15.点评：通过本例再次加深对均值不等式条件的理解．体会不等式的功能在于“和与积”的互化，构造均值不等式，解题的技巧是拆(添)项或配凑因式．知能训练1．函数f(x)＝x x ＋1的最大值为( )A.25B.12C.22 D ．1 2．求函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的最小值，以及此时x 的值．3．已知x 、y ∈R ＋，且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值．答案：1．B 解析：当x ＝0时，f(x)＝0；当x ＞0时，f(x)＝x x ＋1＝1x ＋1x ≤12，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号． 2．解：∵x ＞0，∴x ＋1x ≥2·x·1x ＝2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．∴当x ＝1时，x ＋1x 的值最小，最小值是2.3．解：由2x ＋8y －xy ＝0得y(x －8)＝2x. ∵x ＞0，y ＞0，∴x －8＞0.∴x ＋y ＝2x x －8＋x ＝x －8＋16x －8＋10≥2(x －8)·16x －8＋10＝18，当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，x ＋y 取最小值18.课堂小结1．由学生归纳整合本节课所用到的知识、思想方法，回顾本节课解决了哪些问题？应注意些什么？2．教师点拨，本节课我们用均值不等式解决了函数的一些最值问题，在用均值不等式求函数的最值时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正、二定、三相等．在利用均值不等式证明一些不等式时，也应注意均值不等式成立的条件及构建均值不等式结构．作业习题3—2A 组2、3、7、8、9；习题3—2B 组3、4.设计感想1．本节设计意在体现均值不等式的应用，因此用不等式求解函数的最值与证明不等式是穿插进行的，且强调一题多解的训练．2．本节设计关注了教学进程的和谐发展．整个设计给人自然流畅的感觉，没有教师过分自我展示的味道，能使学生的思维得到充分的锻炼，能力得到很大的提高．3．本节设计重视了学生的主体地位，从例题到变式训练，从新课导入到课堂小结，都注意了学生的主动思维活动，充分让学生占据思维的时空，这是提高学生思维能力的有效良方．备课资料一、算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法(局部调整法)(1)设a 1，a 2，a 3，…，a n 为正实数，这n 个数的算术平均值记为A ，几何平均值记为G ，即A ＝a 1＋a 2＋…＋ a n n ，G ＝n a 1a 2…a n ，即A ≥G ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，A ＝G.特别地，当n ＝2时，a ＋b 2≥ab ；当n ＝3时，a ＋b ＋c 3≥3abc.(2)用局部调整法证明均值不等式A ≥G .设这n 个正数不全相等．不失一般性，设0＜a 1≤a 2≤…≤a n ，易证a 1＜A ＜a n ，且a 1＜G ＜a n .在这n 个数中去掉一个最小数a 1，将a 1换成A ，再去掉一个最大数a n ，将a n 换成a 1＋a n －A ，其余各数不变，于是得到第二组正数：A ，a 2，a 3，…，a n －1，a 1＋a n －A.这一代换具有下列性质：①两组数的算术平均值不变，设第二组数的算术平均值为A 1，那么A 1＝A ＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a 1＋a n －An ＝A ，②第二组数的几何平均值最大．设第二组数的几何平均值为G 1，则G 1＝nAa 2a 3…a n －1(a 1＋a n －A )，∵A(a 1＋a n －A)－a 1a n ＝(A －a 1)(a n －A)，由a 1＜A ＜a n ，得(A －a 1)(a n －A)＞0，则A(a 1＋a n －A)＞a 1a n .∴Aa 2a 3…a n －1(a 1＋a n －A)＞a 1a 2…a n －1·a n ，即G 1＞G.二、备用习题1．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( )A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤32．若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy·b x ＋dy，则( )A ．P ＝QB ．P ＜QC ．P ≤QD ．P ≥Q 3．若函数y ＝f(x)的值域是[12，3]，则函数F(x)＝f(x)＋1f (x )的值域是( )A ．[12，3]B ．[2，103]C ．[52，103]D ．[3，103]4．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨．5．直线l 过点M(2,1)且分别交x 轴，y 轴正半轴于点A ，B ，O 为坐标原点，求△AOB 面积最小时l 的方程．6．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？参考答案：1．C 解析：对于选项C ：a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋a 2＋b 22≥a 2＋b 2＋2ab 2＝(a ＋b )22＝2.故C 正确．2．C 解析：∵a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数， ∴Q ＝ax ＋cy·b x ＋dy＝ab ＋cd ＋adx y ＋bcyx≥ab ＋cd ＋2abcd ＝ab ＋cd ＝P.3．B 解析：令t ＝f(x)，则t ∈[12，3]．∴F(x)＝G(t)＝t ＋1t .该函数在t ＝1处取得最小值2，在t ＝3处取得最大值103.故选B.4．20 解析：设一年总费用为y 万元，则y ＝4·400x ＋4x ＝1 600x ＋4x ≥21 600x·4x ＝160，当且仅当1 600x＝4x ，即x ＝20时，等号成立．5．解：设直线l 的方程为y －1＝k(x －2)，即y ＝kx ＋1－2k(k ＜0)．令x ＝0，得y ＝1－2k ；令y ＝0，得x ＝2k －1k ＝2－1k.∴S △AOB ＝12(1－2k)(2－1k )＝2＋1－2k ＋(－2k)．∵k ＜0，∴－2k ＞0.∴S △AOB ≥2＋2＝4，当且仅当－12k ＝－2k ，即k ＝－12时取等号．此时l 的方程为y ＝－12x ＋2.6．解：(1)依题意，得y ＝9203＋(v ＋1 600v)≤9203＋2 1 600＝92083，当且仅当v ＝1 600v ，即v ＝40时，上式等号成立，所以y max ＝92083≈11.1(千辆/时)． (2)由条件得920vv 2＋3v ＋1 600＞10，整理，得v 2－89v ＋1 600＜0，即(v －25)(v －64)＜0，解得25＜v ＜64.答：当v ＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时．如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时．(设计者：郑吉星)。

高中数学人教版必修五不等式知识点最完全精炼总结

2012.3.264.公式： 1.两实数大小的比较⎪⎩⎪⎨⎧<-⇔<=-⇔=>-⇔>0b a b a 0b a b a 0b a b a 一. 不等式(精简版）3.基本不等式定理⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-≤+⇒<≥+⇒>≥+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤+≥+⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤+≥+≥+2a 1a 0a 2a 1a 0ab ,a (2b aa b )b a (2b a ab 2b a 2b a ab 2b a ab )b a (21b a ab 2b a 2222222222倒数形式同号）分式形式根式形式整式形式1122a b a b --+≤≤≤+2.不等式的性质：8条性质.3.解不等式(1)一元一次不等式 (2)一元二次不等式：一元二次不等式的求解流程：一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根.⎪⎪⎨⎧<<>>≠>)0a (bx )0a (a bx )0a (b ax四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集. (3)解分式不等式：高次不等式：(4)解含参数的不等式：（1） (x – 2)(ax – 2)>0（2）x 2 –(a +a 2)x +a 3>0；（3）2x 2 +ax +2 > 0；注:解形如ax 2+bx+c>0的不等式时分类讨论的标准有：1、讨论a 与0的大小；2、讨论⊿与0的大小；3、讨论两根的大小；二、运用的数学思想：1、分类讨论的思想；2、数形结合的思想；3、等与不等的化归思想(4)含参不等式恒成立的问题：⎪⎩⎪⎨⎧用图象分离参数后用最值函数、、、321例1．已知关于x 的不等式在(–2，0)上恒成立，求实数a 的取值范围．例2．关于x 的不等式22(3)210x a x a +-+-<)1(log 22++-=ax ax y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤>⋅⇔>0)x (g 0)x (g )x (f 0)x (g )x (f 0)x (g )x (f 0)x (g )x (f 0)())((21>---n a x a x a x对所有实数x ∈R 都成立，求a 的取值范围.(5)一元二次方程根的分布问题：方法：依据二次函数的图像特征从：开口方向、判别式、对称轴、函数值三个角度列出不等式组，总之都是转化为一元二次不等式组求解. 二次方程根的分布问题的讨论：20,31xx a x x >≤++恒成立，例3.若对任意则的取值范围.a()02f kbka>⎧⎪⎪-<⎨⎪∆>⎪⎩1．x1< x2< k()02f kbka>⎧⎪⎪->⎨⎪∆>⎪⎩2．k < x1< x()0f k<3．x1< k < x24．k1 < x1 < x2 < k25．x1 < k1 < k2 < x21212()0()002f k f k b k k a >⎧⎪>⎪⎪⎨∆>⎪⎪<-<⎪⎩12()0()0f k f k >⎧⎨>⎩6．k 1 <x 1 < k 2 < x 2< k 3122()0()0()0f k f k f k >⎧⎪<⎨⎪>⎩ 4解线性规划问题的一般步骤：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。

数学人教B版必修5课件：3.2 均值不等式

2.利用均值不等式求最值时,常用添项和拆项的方法,目的是使积 (和)产生定值.
题型一题型二题型三题型四题型五
【变式训练 1】当 x>-1 时,求 f(x)=x+��+11的最小值. 分析:由 x>-1 知 x+1>0,变 x=x+1-1,此时 x+1 与��+11的积为常数.
解:∵x>-1,∴x+1>0. ∴f(x)=x+�� +1 1=x+1+�� +1 1-1
≥2 (�� + 1) (��+11)-1=1, 当且仅当 x+1=��+11,即 x=0 时,等号成立,
∴f(x)min=1.
题型一题型二题型三题型四题型五
利用均值不等式比较大小
将这三个条件总结成口诀:一正、二定、三相等.
一二
二、教材中的“思考与讨论” 均值不等式与不等式a2+b2≥2ab的关系如何?请对此进行讨论. 剖析:(1)在a2+b2≥2ab中,a,b∈R;在a+b≥2 �� 中,a,b>0. (2)两者都带有等号,等号成立的条件从形式上看是一样的,但实质不同(范围不同). (3)证明的方法都是作差比较法. (4)都可以用来求最值.
名师点拨1.应用上述性质时注意三点:(1)各项或各因式均为正;(2) 和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.
2.应用上述性质时,有时需先配凑成和或积为定值的情况,再应用.
【做一做3】已知x,y都是正数,
(1)若xy=15,则x+y的最小值是

[必修五]·[均值不等式] · [培优] · [习题训练]·[教师版]

均值不等式一、选择题（共12小题；共60分）1. 设0<a<b，则下列不等式中正确的是( )A. a<b<√ab<a+b2B. a<√ab<a+b2<bC. a<√ab<b<a+b2D. √ab<a<a+b2<b2. 某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为v1，v2，v3，该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为( )A. v1+v2+v33B.1v1+1v2+1v33C. √v1v2v33 D. 31v1+1v2+1v33. 已知a>0，b>0，若不等式3a +1b≥ma+3b恒成立，则m的最大值为( )A. 9B. 12C. 18D. 244. 已知a，b，c均为正数，且(a+c)(b+c)=2，则a+2b+3c的最小值为( )A. √2B. 2√2C. 4D. 85. 某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km处建仓库，这两项费用分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A. 5km处B. 4km处C. 3km处D. 2km处6. 当x>0时，函数f(x)=2xx2+1有( )A. 最小值1B. 最大值1C. 最小值2D. 最大值27. 在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为( )A. √32B. √22C. 12D. −128. 若a>b>0，下列不等式中总能成立的是( )A. 2aba+b >a+b2>√ab B. a+b2>2aba+b>√abC. a+b2>√ab>2aba+bD. 2aba+b>√ab>a+b29. 设正实数x，y，z满足x2−3xy+4y2−z=0，则当xyz 取得最大值时，2x+1y−2z的最大值为( )A. 0B. 1C. 94D. 310. 若直线ax+by+1=0(a,b>1)过圆x2+y2+8x+2y+1=0的圆心，则1a +4b的最小值为( )A. 8B. 12C. 16D. 2011. 已知x1>0，x2>0，x1+x2<ex1x2（e为自然对数的底数），则( )A. x1+x2>1B. x1+x2<1C. 1x1+1x2<1eD. 1x1+1x2>1e12. 已知a，b同号，二次不等式ax2+2x+b<0的解集为{x∣x≠−1a }，且m=b+1a，n=a+1b，则m+n的最大值是( )A. 2B. 4C. −2D. −4二、填空题（共5小题；共25分）13. 已知a，b，m，n均为正数，且a+b=1，mn=2，则(am+bn)(bm+an)的最小值为．14. 函数y=1−2x−3x(x<0)的值域为．15. 某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位(x+600x−30)元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200）．设P(x)是生产每单位试剂的成本，则P(x)的最小值是元．16. 若a>0，b>0，则A=√a2+b22，B=a+b2，C=√ab，D=21a+1b的大小顺序为．17. 设a是大于0的正常数，函数f(x)=1sin2x +acos2x的最小值是9，则a的值等于．三、解答题（共5小题；共65分）18. 已知a>0，求函数y=2√x2+a的最小值．19. 某厂家拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x（单位：万件）与年促销费用m（单位：万元）（m≥0）满足x=3−km+1（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2017年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）将2017年该产品的利润y（单位：万元）表示为年促销费用m（单位：万元）的函数；（2）该厂家2017年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大?20. 已知实数a，b，c均大于0．（1）求证：√ab+√bc+√ca≤a+b+c；（2）若a+b+c=1，求证：2aba+b +2bcb+c+2aca+c≤1．21. 若关于x的不等式∣x−a∣≤b的解集为{x∣−1≤x≤3}．（1）求a，b的值；（2）若(y−a)(y−b)<0，求z=1y−a +1b−y的最小值．22. 已知a,b,c∈(0,+∞)，且a+b+c=1，求证：（1）(1a −1)(1b−1)(1c−1)≥8；（2）√a+√b+√c≤√3．答案第一部分1. B2. D 【解析】设三个连续时间段的时长分别为t1，t2，t3，依题意有v1t1=v2t2=v3t3=l，总的增长量为3l，则t1+t2+t3=l(1v1+1v2+1v3)．故该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为3lt1+t2+t3=31v1+1v2+1v3．3. B 【解析】因为3a +1b≥ma+3b，且a>0，b>0，所以m≤(3a+1b)(a+3b)=6+9ba+ab，又9b a +ab≥2√9ba⋅ab=6（当且仅当9ba=ab时等号成立），所以m≤12，故m的最大值为12．4. C 【解析】a+2b+3c=a+c+2(b+c)≥2√2(a+c)(b+c)=4．5. A【解析】设仓库到车站的距离为x，有已知得y1=20x，y2=0.8x，则费用之和y=y1+y2=0.8x+20 x ≥2√0.8x⋅20x=8，当且仅当0.8x=20x，即x=5时等号成立．6. B 【解析】因为x>0，所以f(x)=2x+1x ≤2√x⋅1x=1．当且仅当x=1x，即x=1时取等号．7. C 【解析】由余弦定理，得cosC=a2+b2−c22ab=12(a2+b2)2ab≥12,当a=b时，等号成立．8. C9. B 【解析】由x2−3xy+4y2−z=0，得z=x2−3xy+4y2．所以xyz =xyx2−3xy+4y2=1xy+4yx−3≤2√xy⋅4yx−3=1，当且仅当xy =4yx，即x=2y时取等号．此时z=2y2，(xy z )max=1⋅2x+1y−2z=22y+1y−2xy=2y(1−1x)=2y(1−12y)≤4(12y+1−12y2)2=1（当且仅当y=1时等号成立）．10. C【解析】由题意可知圆x2+y2+8x+2y+1=0的圆心(−4,−1)在直线ax+by+1=0上，所以−4a−b+1=0，即1=4a+b，将1=4a+b代入式子得1a +4b=(1a+4b)(4a+b)=8+ba+16ab≥16（a>0，b>0当且仅当4a=b时取等号），则1a +4b的最小值为16．11. A12. D第二部分13. 2【解析】因为a，b，m，n均为正数，且a+b=1，mn=2，所以(am+bn)(bm+an)=abm2+a2mn+b2mn+abn2=ab(m2+n2)+2(a2+b2)≥2ab⋅mn+2(a2+b2)=4ab+2(a2+b2)=2(a2+b2+2ab)=2(a+b)2=2,当且仅当m=n=√2时，取" = "．所以所求最小值为2．14. [1+2√6,+∞)【解析】因为x<0，所以y=1−2x−3x =1+(−2x)+(−3x)≥1+2√(−2x)⋅3−x=1+2√6，当且仅当x=−√62时取等号，故函数y=1−2x−3x(x<0)的值域为[1+2√6,+∞)．15. 220【解析】因为试剂总产量为x单位，则由题意知原料总费用为50x元，职工的工资总额为(7500+20x)元，后续保养总费用为x(x+600x−30)元，则P(x)=(50x+7500+20x+x 2−30x+600)x =x+8100x+40(50≤x≤200)．因为x+8100x ≥2√x⋅8100x=180，当且仅当x=8100x，即x=90时取等号，所以P(x)≥220，即生产每单位试剂的成本最低为220元．16. A≥B≥C≥D【解析】因为a>0，b>0，所以a+b2≥√ab（当且仅当a=b时取“=”）．又因为√a2+b22−a+b2=√a2+b22−√(a+b)24=√a2+a2+b2+b24−√a2+b2+2ab4.因为a2+b2≥2ab>0，所以√a2+b2≥√2ab，所以√a2+b22≥a+b2（当且仅当a=b时，取“=”）．又因为21a +1b=2aba+b，且a>0，b>0，所以a+b≥2√ab．所以0<1a+b ≤2√ab，所以2aba+b ≤2√ab=√ab，所以√ab≥2aba+b（当且仅当a=b时取“=”），所以21a +1b≤√ab≤a+b2≤√a2+b22（当且仅当a=b时取“=”）．所以A≥B≥C≥D．17. 4第三部分18. 当0<a≤1时，y=2√x2+a =√x2+a√x2+a≥2√√x2+a√x2+a=2，当且仅当√x2+a=√x2+a，即x=±√1−a，取“=”．所以y min=2；当a>1时，√x2+a=√x2+a 不成立．而a>1，此时y=2√x2+a在[0,+∞)上为增函数，所以x=0时，y min=√a．19. （1）由题意知，当m=0时，x=1（万件），所以1=3−k⇒k=2，所以x=3−2m+1，每件产品的销售价格为1.5×8+16xx（元），所以2017年的利润y=1.5x×8+16xx−8−16x−m=−[16m+1+(m+1)]+29(m≥0).（2）因为m≥0时，16m+1+(m+1)≥2√16=8，所以y≤−8+29=21，当且仅当16m+1=m+1，即m=3（万元）时，y max=21（万元）．故该厂家2017年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．20. （1）因为实数a，b，c均大于0，所以a+b≥2√ab，b+c≥2√bc，c+a≥2√ca，三式相加，可得：√ab+√bc+√ca≤a+b+c．（2）因为a+b≥2√ab，b+c≥2√bc，c+a≥2√ca，所以2aba+b+2bc b+c+2ac a+c≤√ab +√bc +√ca ≤a +b +c =1．21. （1）显然 b >0，由 ∣x −a∣≤b 可得 −b ≤x −a ≤b ，即 a −b ≤x ≤a +b ，由题意可知：{a −b =−1,a +b =3.解得 a =1，b =2．（2）由题意可知 1<y <2， z =1y−1+12−y=(1y−1+12−y)[(y −1)+(2−y )]=2+2−y y−1+y−12−y ．由 1<y <2，可得 y −1>0，2−y >0，所以 z ≥2+2√2−yy−1⋅y−12−y =4，当且仅当2−y y−1=y−12−y即 y =32∈(1,2) 时取到等号，所以当 y =32 时，z 取得最小值为 4． 22. （1）因为 a,b,c ∈(0,+∞)，所以 a +b ≥2√ab ，b +c ≥2√bc ，c +a ≥2√ac ， (1a −1)(1b −1)(1c −1)=(b+c )(a+c )(a+b )abc≥2√bc⋅2√ac⋅2√ababc=8．（2）因为 a,b,c ∈(0,+∞)，所以 a +b ≥2√ab ，b +c ≥2√bc ，c +a ≥2√ac ， 2(a +b +c )≥2√ab +2√bc +2√ac ，两边同加 a +b +c 得 3(a +b +c )≥a +b +c +2√ab +2√ac +2√bc =(√a +√b +√c)2又 a +b +c =1，所以 (√a +√b +√c)2≤3，所以 √a +√b +√c ≤√3．。

2019-2020人教B版数学必修5第3章 3.2 均值不等式

3.2 均值不等式1．重要不等式如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)． 2．均值不等式ab ≤a ＋b 2(1)均值不等式成立的条件：a >0，b >0； (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 3．算术平均值与几何平均值(1)设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均值为a ＋b2，几何平均值为ab ； (2)均值定理可叙述为两个正实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值．4．用均值不等式求最值的规律(1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值． (2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．1．若x >0，则x ＋4x 的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．2 2D ．4D [∵x >0，∴4x >0，∴x ＋4x ≥2x ·4x ＝4.当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时，等号成立．]2．已知a ，b ∈R ，且ab >0，则下列结论恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋a b ≥2D [利用均值不等式需注意各数必须是正数，不等式a 2＋b 2≥2ab 的使用条件是a ，b ∈R .对于A ，当a ＝b 时，a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错误；对于B ，C ，虽然ab >0，只能说明a ，b 同号，当a ，b 都小于0时，B ，C 错误；对于D ，因为ab >0，所以b a >0，ab >0，所以b a ＋a b ≥2b a ·a b ，即b a ＋a b ≥2恒成立．]3．若0<a <b 且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( ) A ．12 B ．a 2＋b 2 C ．2abD ．aB [a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝12. a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0， ∴a 2＋b 2≥2ab ．∵0<a <b 且a ＋b ＝1，∴a <12. ∴a 2＋b 2最大．]4．若x >0，y >0且x ＋y ＝1，则xy 的最大值为________． 14[当x >0，y >0时， x ＋y ≥2xy ， ∴xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝14.当且仅当x＝y＝12时，等号成立．]【例1】(1)已知m＝a＋1a－2(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是()A．m>n B．m<nC．m＝n D．不确定(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．(1)A(2)p>q[(1)∵a>2，∴a－2>0.又m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，∴m≥2(a－2)×1a－2＋2＝4，即m∈[4，＋∞)．由b≠0得b2≠0，∴2－b2<2，∴22－b2<4，即n<4，∴n∈(0,4)．综上，易得m>n.(2)∵a，b，c互不相等，∴a2＋b2>2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac．∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，亦即p>q.]1．在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2ab成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b．1．设a >0，b >0，试比较a ＋b2，ab ，a 2＋b 22，21a ＋1b的大小，并说明理由．[解] ∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ≥2ab ，即ab ≥21a ＋1b (当且仅当a ＝b 时取等号)，又⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝a 2＋2ab ＋b24≤a 2＋b 2＋a 2＋b 24＝a 2＋b 22，∴a ＋b 2≤a 2＋b 22(当且仅当a ＝b 时等号成立)，而ab ≤a ＋b2，故a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(当且仅当a ＝b 时等号成立)．【例2】已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：1a ＋1b ＋1c ≥9. [证明] 1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．1．所证不等式一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用均值不等式的“题眼”．可尝试用均值不等式证明．2．利用均值不等式证明不等式的策略从已证不等式及问题的已知条件出发，借助不等式的性质及有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．3．利用均值不等式证明不等式的注意点(1)多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用； (3)对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型，再使用．2．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.[证明] 法一：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a .同理1＋1b ＝2＋ab . 故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝ 5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时取等号)．法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab ，因为a ，b 为正数，a ＋b ＝1，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，于是1ab ≥4，2ab ≥8. 因此⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥1＋8＝9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？[解] 设每间虎笼长x m ，宽y m ，则由条件知，4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18. 设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy . 法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ，所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S max ＝272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎨⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎨⎧x ＝4.5，y ＝3.故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大．法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y . ∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝y ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－32y ＝32y (6－y )．∵0<y <6，∴6－y >0.∴S ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤(6－y )＋y 22＝272. 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5. 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大．1．在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法： (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案．2．对于函数y ＝x ＋kx (k >0)，可以证明x ∈(0，k ]及[－k ，0)上均为减函数，在[k ，＋∞)及(－∞，－k ]上都是增函数．求此函数的最值时，若所给的范围含±k ，可用均值不等式，不包含±k 就用函数的单调性．3．某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ (2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？ [解] (1)设该船捕捞n 年后的总盈利y 万元，则 y ＝50n －98－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×n ＋n (n －1)2×4 ＝－2n 2＋40n －98＝－2(n －10)2＋102，∴当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元． (2)年平均利润为y n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋49n －20≤－2⎝⎛⎭⎪⎫2n ·49n －20＝12，当且仅当n ＝49n ，即n ＝7时上式取等号．∴当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元．1．由x 2＋y 2≥2xy 知xy ≤x 2＋y 22，当且仅当x ＝y 时“＝”成立，能说xy 的最大值是x 2＋y 22吗？能说x 2＋y 2的最小值为2xy 吗？[提示] 最值是一个定值(常数)，而x 2＋y 2或2xy 都随x ，y 的变化而变化，不是定值，故上述说法均错误．要利用均值不等式a ＋b2≥ab (a ，b ∈R ＋)求最值，必须保证一端是定值，方可使用．2．小明同学初学利用均值不等式求最值时，是这样进行的：“因为y＝x＋1x≥2x·1x＝2，当且仅当x＝1x，即x2＝1时“＝”号成立，所以y＝x＋1x的最小值为2.”你认为他的求解正确吗？为什么？[提示]不正确．因为利用均值不等式求最值，必须满足x与1x都是正数，而本题x可能为正，也可能为负．所以不能盲目“套用”均值不等式求解．正确解法应为：当x>0时，y＝x＋1x≥2x×1x＝2，当且仅当x＝1x，即x＝1时取“＝”，y＝x＋1x的最小值是2；当x<0时，y＝－⎝⎛⎭⎪⎫－x－1x≤－2(－x)·⎝⎛⎭⎪⎫－1x＝－2，当且仅当x＝1x，即x＝－1时，取“＝”，y＝x＋1x的最大值是－2.3．已知x≥3，求y＝x2＋4x的最小值，下列求解可以吗？为什么？“解：∵y＝x2＋4x＝x＋4x≥2x·4x＝4，∴当x≥3时，y＝x2＋4x的最值为4.”[提示]不可以，因为在利用基本不等式求解最值时，虽然将所求代数式进行变形，使其符合均值不等式的结构特征，但是必须符合“正”“定”“等”的条件，缺一不可．本解法忽略了等号成立的条件，即“＝”号不成立．本问题可采用y＝x＋4x的单调性求解．【例4】(1)若x<0，求f(x)＝12x＋3x的最大值；(2)若x>2，求f(x)＝1x－2＋x的最小值；(3)已知0<x<12，求f(x)＝12x(1－2x)的最大值；(4)已知x>1，求函数y＝x2＋2x－1的最小值．[解] (1)因为x <0，所以f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋(－3x )≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ·(－3x )＝－12，当且仅当－12x ＝－3x ，即x ＝－2时等号成立，所以f (x )的最大值为－12.(2)因为x >2，所以x －2>0，f (x )＝1x －2＋x －2＋2≥ 2(x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立，所以f (x )的最小值为4.(3)因为0<x <12，所以1－2x >0，f (x )＝12x (1－2x )＝14·2x (1－2x )≤14⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(1－2x )22＝116，当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时等号成立，所以f (x )的最大值为116.(4)因为x >1，所以x －1>0.设t ＝x －1(t >0)，则x ＝t ＋1，所以y ＝x 2＋2x －1＝(t ＋1)2＋2t＝t ＋3t ＋2≥2t ·3t ＋2＝23＋2，当且仅当t ＝3t ，即t ＝3，x ＝3＋1时等号成立，所以f (x )的最小值为23＋2.1．本例题目都不能直接使用均值不等式求最值，需要先对其变形． 2．应用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的条件进行，若具备这些条件，可直接运用均值不等式，若不具备这些条件，则应进行适当的变形．3．利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件．具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性．4．(1)已知a >0，b >0，若不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，则m 的最大值等于( )A ．10B ．9C ．8D ．7(2)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则1x ＋4y 的最小值是________．(1)B (2)9 [(1)∵a >0，b >0，∴2a ＋b >0，∴要使2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，只需m ≤(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 恒成立，而(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝4＋2a b ＋2b a ＋1≥5＋4＝9，当且仅当a ＝b 时，等号成立．∴m ≤9.故应选B ．(2)由题意得1x ＋4y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y (x ＋y )＝5＋y x ＋4xy ≥5＋2y x ·4x y ＝9，当且仅当yx ＝4x y ，即x ＝13，y ＝23时取等号．1．本节课的重点是利用基本不等式求最值，难点是基本不等式在实际问题中的应用．2．本节课重点掌握的规律方法 (1)由基本不等式变形得到的常见的结论①ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22； ②ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b ∈(0，＋∞))；③b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；④(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4(a ，b ∈(0，＋∞))；⑤a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ．(2)利用基本不等式求最值的方法及注意事项 ①利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：“一正”——各项为正数；“二定”——“和”或“积”为定值；“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．②利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．③在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋px (p >0)的单调性求得函数的最值．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)若a ≠0，则a ＋4a ≥2a ·4a ＝4.( )(3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.( ) (4)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．( )(5)若ab ＝1，a >0，b >0，则a ＋b 的最小值为2.( ) (6)当x >1时，函数f (x )＝x ＋1x －1≥2xx －1，所以函数f (x )的最小值是2xx －1.( ) (7)如果log 3m ＋log 3n ＝4，则m ＋n 的最小值为9.( ) (8)若x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为116.( )[解析] (1)×.任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．(2)×.只有当a >0时，根据均值不等式，才有不等式a ＋4a ≥2a ·4a ＝4成立．(3)√.因为ab ≤a ＋b 2，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. (4)×.因为不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ；而a ＋b2≥ab 成立的条件是a ，b 均为非负实数．(5)√.因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故a ＋b 的最小值为2.(6)×.因为当x >1时，x －1>0，则f (x )＝x ＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋1≥2(x －1)·1x －1＋1＝3.当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，函数f (x )取到最小值3. (7)×.因为由log 3m ＋log 3n ＝4，得mn ＝81且m >0，n >0，而m ＋n2≥mn ＝9，所以m ＋n ≥18，当且仅当m ＝n ＝9时， m ＋n 取到最小值18.(8)√.因为x ，y ∈R ＋，而4xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，所以xy ≤116. 当且仅当x ＝4y ，即x ＝12，y ＝18时取等号．[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)× (7)× (8)√ 2．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤12 B ．ab ≥12 C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3C [由a ＋b ＝2，得ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，排除选项A ，B ．由a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，得a 2＋b 2≥2.]3．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． [9，＋∞) [∵a ＞0，b ＞0，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，即ab －2ab －3≥0，解得ab ≥3，即ab ≥9.]4．(1)已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值； (2)设0<x <2，求函数y ＝x (4－2x )的最大值． [解] (1)∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9x y ＋10≥6＋10＝16，当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y ＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号．故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. (2)∵0<x <2，∴2－x >0，∴y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x )≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， ∴当x ＝1时，函数y ＝x (4－2x )的最大值为 2.。

人教版高数必修五第13讲：均值不等式(学生版)

均值不等式1. 算术平均值与几何平均值（1）算术平均值：对任意两个正实数,a b ，数___________叫做,a b 的算术平均值（2）几何平均值：对任意两个正实数,a b ，数__________叫做,a b 的几何平均值2. 均值定理如果,a b R +∈，那么____________，当且仅当__________时，等号成立3. 均值不等式的常见变形（1）),a b a b R ++≥∈ （2）()2,2a b ab a b R +⎛⎫≤∈ ⎪⎝⎭（3）2b a a b+≥（,a b 同号且不为0）（4）)2,11a b R a b +≤∈+类型一：均值不等式的理解例1. 设0,0a b >>，则下列不等式不成立的是（） A.2b a a b +≥ B.44222a b a b +≥ C. 22b a a b a b +≥+ D.1122a b a b+≥++ 练习1. 若a 、b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋a b≥2 练习2. 设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a <b <ab <a ＋b 2B ．a <ab <a ＋b 2<bC ．a <ab <b <a ＋b 2D ．ab <a <a ＋b 2<b 类型二：均值不等式与最值例2. 若正数x 、y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．245B ．285C ．5D ．6 练习3. 设x 、y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值为( )A ．10B ．63C ．46D ．18 3练习4. 已知正项等差数列{a n }中，a 5＋a 16＝10则a 5a 16的最大值为( )A ．100B ．75C ．50D ．25类型三：利用均值不等式证明不等式及应用例3. 已知a 、b 、c ∈R ，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )．练习5. 已知a 、b 是正数，试比较21a ＋1b 与ab 的大小．练习6.若x >0，y >0，x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )·(1＋1y)≥9.. 例4. 在面积为S (S 为定值)的扇形中，当扇形中心角为θ，半径为r 时，扇形周长最小，这时θ、r 的值分别是( )A ．θ＝1，r ＝SB ．θ＝2，r ＝4SC ．θ＝2，r ＝3SD ．θ＝2，r ＝S练习7. 设计用32m 2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通规定车厢宽为2m ，则车厢的最大容积是( )A ．(38－373)m 3B ．16m 3C ．42m 3D ．14m 3练习8. 将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定在( )A ．每个95元B ．每个100元C ．每个105元D ．每个110元1. 若x ＞0，y ＞0，且x ＋y ≤4，则下列不等式中恒成立的是( )A ．1x ＋y ≤14B ．1x ＋1y ≥1C ．xy ≥2D ．1xy ≥1 2. 已知m 、n ∈R ，m 2＋n 2＝100，则mn 的最大值是( )A ．100B ．50C ．20D ．103. 若a >0，b >0且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A ．1ab >12B ．1a ＋1b ≤1C ．ab ≥2D ．1a 2＋b 2≤184. 实数x 、y 满足x ＋2y ＝4，则3x ＋9y 的最小值为( )A ．18B ．12C ．23D ．435．设x ＋3y －2＝0，则3x ＋27y ＋1的最小值为( )A ．7B ．339C ．1＋22D ．56. 设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．1 D ．14基础巩固1. 若0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是( )A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b2. 若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]3. 已知x 、y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________． 4. 已知a 、b 为实常数，函数y ＝(x －a )2＋(x －b )2的最小值为__________5. a 、b 、c 是互不相等的正数，且a 2＋c 2＝2bc ，则下列关系中可能成立的是( )A ．a >b >cB ．c >a > bC ．b >a >cD ．a >c >b6. 设{a n }是正数等差数列，{b n }是正数等比数列，且a 1＝b 1，a 21＝b 21，则( )A ．a 11＝b 11B ．a 11>b 11C ．a 11<b 11D ．a 11≥b 117. 已知a >1，b >1，且lg a ＋lg b ＝6，则lg a ·lg b 的最大值为( )A ．6B ．9C ．12D ．188. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件9. 已知2x ＋3y＝2(x >0，y >0)，则xy 的最小值是________． 10. 若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．11. 做一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的铁架框，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的是( )A ．4.6 mB ．4.8 mC ．5 mD ．5.2 m12. 光线透过一块玻璃，其强度要减弱110.要使光线的强度减弱到原来的13以下，至少需这样的玻璃板________块．(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)13. 一个矩形的周长为l ，面积为S ，给出下列实数对：①(4,1)；②(8,6)；③(10,8)；④(3，12)．其中可作为(l ，S )的取值的实数对的序号是________．`14. 已知正常数a 、b 和正实数x 、y ，满足a ＋b ＝10，a x ＋b y＝1，x ＋y 的最小值为18，求a 、b 的值．能力提升15. 已知x >0，y >0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则 1x ＋13y的最小值是( ) A ．2 B ．22 C ．4 D ．2 316. 设函数f (x )＝2x ＋1x－1(x <0)，则f (x )( ) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数17. 已知x >0，y >0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则(a ＋b )2cd的最小值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．418. 若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy ·b x ＋d y，则有( ) A ．P ＝Q B ．P ≥Q C ．P ≤Q D ．P >Q 19. 已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( ) A ．最大值54 B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1 20. 已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( )A ．x <x ＋y 2<y <2xyB ．2xy <x <x ＋y 2<yC ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y 2<y 21. 设a 、b 是正实数，给出以下不等式：①ab >2ab a ＋b；②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2；④ab ＋2ab >2，其中恒成立的序号为( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④22. 已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则⎝⎛⎭⎫1a 2－1⎝⎛⎭⎫1b 2－1的最小值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．923.若直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值为( )A ．14B ．12C ．2D ．4 24. 当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]25. 已知正数x 、y 满足1x ＋4y＝1，则xy 有( ) A ．最小值116 B ．最大值16 C ．最小值16 D ．最大值11626. 若正实数x 、y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________27. 已知函数f (x )＝lg x (x ∈R ＋)，若x 1、x 2∈R ＋，判断12[f (x 1)＋f (x 2)]与f (x 1＋x 22)的大小并加以证明． 28. 已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋C 29．求函数y ＝1－2x －3x的值域． 30. 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：(1)仓库面积S 的取值范围是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？31. 某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年增加4万元，每年捕鱼收益50万元．(1)问第几年开始获利？(2)若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案最合算？。

高中数学必修5解不等式习题精选精讲----均值定理的拓广

均值定理的拓广在高中数学教材中，均值不等式几乎涉及高中数学的所有章节，且在每年的高考题中常考常新，其题型主要以大小判断、求最值、求参数的取值范围以及最值时刻等几个方面出现，在高考的考试说明中也明确地要求学生能熟练地掌握均值不等式的适用条件及适用情境。

高中教材中对均值定理的叙述是：（1）定理：如果a 、b 是正数，那么ab ba ≥+2（当且仅当a=b 时取“＝”号）（2）定理：如果a 、b 、c 是正数，那么33abc c b a ≥++（当且仅当a=b=c 时取“＝”号）我们称2b a +（3c b a ++）为a 、b （a 、b 、c ）的算术平均数，称ab （3abc ）为a 、b(a 、b 、c)的几何平均数，因而这一定理又可叙述为“两个（或三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

”事实上，由数学归纳法可把这一定理拓广为“n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数” 。

用均值不等式求函数的最大（小）值是高中数学的一个重点，在运用均值定理求函数的最大（小）值时，往往需要掌握“凑”（凑项、凑因子）的技巧，其目的（一）是创造一个应用不等式的情境；（二）是使等号成立的条件。

例1．边长为c b a ,,的三角形，其面积等于41，而外接圆半径为1，若c b a t c b a S 111,++=++=，则S 与t 的大小关系是（） A. t S >B. t S =C. t S <D.不确定（1986年全国高中数学联赛题）解：在三角形中，由正弦定理和面积公式可得C C R C sin 2sin 2==，又∵41sin 21==C ab S ，∴1=abc ∴ab ac bc cb a t ++=++=111∴)()()(2ac bc bc ab ac ab t +++++=S c b a bc a abc c ab 2)(2222222=++=++≥∵1====R c b a 不可能成立故上式取不到等号，∴S t >即t S <，故选C例2．若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是（1999年全国高考题第15题）解：∵+∈R b a ,，∴ab b a 2=+，∴323+≥++=ab b a ab ∴032≥--ab ab ，∴0)1)(3(≥+-ab ab ∴1-≤ab （舍去）或3≥ab ∴3≥ab然而有些题由于解析式自然，从形态上看根本凑不出定值，或虽凑出定值而其等号又不能成立，对于这样的题目，学生往往为很难用甚至不能用均值定理而感到束手无策。

人教B版高中数学必修五第三章均植不等式(一).docx

§3.2 均值不等式(一)课时目标 1.理解均值不等式的内容及其证明.2.能利用均值不等式证明简单不等式．1．如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2____2ab (当且仅当______时取“＝”号)．2．若a ，b 都为____数，那么a ＋b2____ab (当且仅当a ____b 时，等号成立)，称上述不等式为______不等式，其中______称为a ，b 的算术平均值，____称为a ，b 的几何平均值．3．均值不等式的常用推论(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22 (a ，b ∈R )；(2)当x >0时，x ＋1x ≥____；当x <0时，x ＋1x ≤______.(3)当ab >0时，b a ＋a b ≥____；当ab <0时，b a ＋ab≤______.(4)a 2＋b 2＋c 2____ab ＋bc ＋ca ，(a ，b ，c ∈R )．一、选择题1．已知a >0，b >0，则a ＋b2，ab ，a 2＋b 22，2aba ＋b中最小的是( ) A.a ＋b2 B.ab C.a 2＋b 22 D.2aba ＋b2．已知m ＝a ＋1a －2 (a >2)，n ＝2212x ⎛⎫⎪⎝⎭－2212x ⎛⎫⎪⎝⎭－(x <0)，则m 、n 之间的大小关系是( )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．m ≤n3．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( )A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1 D.a 2＋b 22<ab <14．已知正数0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b ，2ab ，2ab ，a 2＋b 2，其中最大的一个是( )A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b 5．设0<a <b ，且a ＋b ＝1，在下列四个数中最大的是( ) A.12B ．bC ．2abD ．a 2＋b 26．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(]0，1恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3二、填空题7．若a <1，则a ＋1a －1有最______值，为________．8．若lg x ＋lg y ＝1，则2x ＋5y的最小值为________．9．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．10．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．三、解答题11．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .12．a >b >c ，n ∈N 且1a －b ＋1b －c ≥na －c，求n 的最大值．能力提升13．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 14．已知a ，b ，c 为不等正实数，且abc ＝1.求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.1．设a ，b 是两个正实数，用min(a ，b )表示a ，b 中的较小的数，用max(a ，b )表示a ，b 中的较大的数，则有min(a ，b )≤21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22≤max(a ，b )．当且仅当a＝b 时，取到等号．2．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .§3.2 均值不等式(一)答案知识梳理1．≥ a ＝b 2.正 ≥ ＝均值 a ＋b2ab 3.(2)2 －2(3)2 －2 (4)≥作业设计1．D [方法一特殊值法．令a ＝4，b ＝2，则a ＋b2＝3，ab ＝8，a 2＋b 22＝10，2ab a ＋b ＝83.∴2aba ＋b 最小．方法二 2ab a ＋b ＝21a ＋1b ，由21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22，可知2aba ＋b最小．] 2．A [∵m ＝(a －2)＋1a －2＋2≥2a －1a －2＋2＝4，n ＝22－x 2<22＝4.∴m >n .]3．B [∵ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，a ≠b ，∴ab <1，又∵a 2＋b 22>a ＋b 2>0，∴a 2＋b 22>1，∴ab <1<a 2＋b 22.] 4．D [因为a 、b ∈(0,1)，a ≠b ，所以a ＋b >2ab ，a 2＋b 2>2ab ，所以，最大的只能是a 2＋b 2与a ＋b 之一．而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1)，又0<a <1,0<b <1，所以a －1<0，b －1<0，因此a 2＋b 2<a ＋b ，所以a ＋b 最大．] 5．B [∵ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，∴ab <14，∴2ab <12.∵a 2＋b 22>a ＋b2>0，∴ a 2＋b 22>12，∴a 2＋b 2>12.∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a )>0，∴b >a 2＋b 2，∴b 最大．]6．B [x 2＋ax ＋1≥0在x ∈(]0，1上恒成立ax ≥－x 2－a ≥⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫x ＋1x max . ∵x ＋1x≥2，∴－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≤－2，∴a ≥－2.] 7．大－1解析 ∵a <1，∴a －1<0，∴－⎝⎛⎭⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a ≥2(a ＝0时取等号)，∴a －1＋1a －1≤－2，∴a ＋1a －1≤－1.8．2解析 ∵lg x ＋lg y ＝1，∴xy ＝10，x >0，y >0，∴2x ＋5y ＝2x ＋x2≥2(x ＝2时取等号)．9．3解析 ∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号． 10.⎣⎡⎭⎫15，＋∞解析 ∵x >0，∴x x 2＋3x ＋1>0，易知a >0.∴x 2＋3x ＋1x ≥1a ，∴1a ≤x ＋1x ＋3.∵x >0，x ＋1x＋3≥2x ·1x ＋3＝5(x ＝1时取等号)，∴1a ≤5.∴a ≥15. 11．证明 ∵a 、b 、c 都是正数，∴bc a 、ca b 、ab c 也都是正数．∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋abc ≥2a ，bc a ＋ab c ≥2b ，三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c . 12．解 ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0. ∵1a －b ＋1b －c ≥na －c ，∴n ≤a －c a －b ＋a －c b －c. ∵a －c ＝(a －b )＋(b －c )，∴n ≤a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －c b －c ，∴n ≤b －ca －b＋a －bb －c＋2.∵b －c a －b ＋a －bb －c ≥2 b －c a －b a －bb －c＝2(2b ＝a ＋c 时取等号)． ∴n ≤4.∴n 的最大值是4.13．C [只需求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值大于等于9即可，又(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥a ＋1＋2a ·x y ·y x ＝a ＋2 a ＋1，等号成立仅当a ·x y ＝yx即可，所以(a )2＋2 a ＋1≥9，即(a )2＋2 a －8≥0求得a ≥2或a ≤－4(舍去)，所以a ≥4，即a 的最小值为4.] 14．证明 ∵1a ＋1b≥21ab ＝2c ，1b ＋1c≥2 1bc ＝2a ，1c ＋1a≥2 1ac＝2b ， ∴2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥2(a ＋b ＋c )，即1a ＋1b ＋1c ≥a ＋b ＋c .∵a ，b ，c 为不等正实数， ∴a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.。

高中数学必修五均值不等式

均值不等式（1）均值不等式：若0a >，0b >，则a b +≥，即2a b +≥ （2）常用的基本不等式(),a b R ∈： ①222a b ab +≥； ②222a b ab +≤；③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭；④22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭．（3）均值不等式求最值的条件：“一正，二定，三取等” ．【例题】已知0x >，则当x = 时，42x x+取最小值． ★练习当x = 时，122x x -+取最小值．【例题】已知0x <，则1x x+的取值范围是． ★练习已知()0,1x ∈，则4lg lg x x+的取值范围是．【例题】已知()0,2x ∈，则当x = 时，取最大值．★练习已知30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则当x = 时，()232x x -取最大值． ★练习已知()1,0x ∈-，则当x = 时，()1x x -+取最大值．【例题】已知2x >，则当x = 时，42x x +-取最小值． ★练习已知12x >，则当x = 时，421x x +-取最小值． ★练习已知()1,x ∈+∞，则函数()221x f x x x =+-的最小值是．【例题】已知40,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则当x = 时，()43x x -取最大值． ★练习已知13,24x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则当x = 时，()()1234x x +-取最大值． ★练习已知0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则当x = 时，sin cos x x 取最大值．【例题】函数()f x =的最大值是． ★练习已知()0,x ∈+∞，则函数()()()12x f x x x =++的最大值是． ★练习函数()2f x =的最小值是．【例题】已知()1,x ∈-+∞，则函数()27101x x f x x ++=+的最小值是． ★练习已知()1,x ∈+∞，则函数()2261x x f x x ++=-的最小值是．【例题】已知[]3,6x ∈，则当x = 时，4x x +取最小值． ★练习已知[]1,2x ∈，则当x = 时，182x x +取最小值．【例题】函数()2213f x x x =++的值域是． ★练习函数()222sin sin f x x x =+的值域是． ★练习函数()2f x =的值域是．【例题】若实数a ，b 满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是．★练习若实数a ，b 满足23=+b a ，则b a 82+的最小值是．★练习若实数a ，b 满足44log log 2a b +=，则11a b +的最小值是．【例题】若正数a ，b 满足191a b+=，则a b +的最小值是． ★练习若正数a ，b 满足113a b+=，则b a +的最小值是． ★练习若正数a ，b 满足21a b +=，则11a b+的最小值是． 1．长为8的铁丝围成矩形，则矩形面积的最大值是( )A ．4B ．8C ．12D ．162．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a <b <ab <a ＋b 2B ．a <ab <a ＋b 2<bC ．a <ab <b <a ＋b 2D ．ab <a <a ＋b 2<b 3．设0,0>>b a ，若3是a 3与b 3的等比中项，则b a 11+的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．1 D ．41 4．已知y x n m b a ,,,,,均为正数，且b a ≠，若x b m a ,,,成等差数列，y b n a ,,,成等比数列，则有( )A ．y x n m >>,B ．y x n m <>,C ．y x n m <<,D ．y x n m ><,。

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均值不等式
知识讲解
一、等号成立条件
条件：对于任意实数a b ，
，222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立．证明：2222()a b ab a b +-=-，当a b ≠时，2()0a b ->
；当a b =时，
2()
=0a b -．222a b ab ∴
+≥，当且仅当a b =时，等号成立．二、均值不等式
定义：如果a b ，
，是正数，那么2
a b
+，当且仅当a b =时，有等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式．
证明：2220a b +-=+=≥
，即a b +≥
2
a b
+三、均值不等式的几何解释
解释：对于任意正实数a b ，
，以AB a b =+的线段为直径做圆，在直线AB 上取点C ，使,AC a CB b ==，过点C 作垂直于直线AB 的弦DD '，连接AD 、DB 、如图已知
Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2DC AC BC =⋅
，即CD ．这个圆的半径为
2
a b
+
，显然2
a b
+C 与圆心重合，即a b =时，等号成立．
ab
b a
D '
D C B A
四、均值不等式的理解
1.对于任意两个实数a b ，
，2
a b
+叫做a b ，
a b ，的几何平均值．此定理可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数．
2.对于=“”的理解应为a b =是2a b +a b ≠，则2
a b
+
3.注意222a b ab +≥和
2
a b
+>a b R ∈，，后者是+a b R ∈，
五、极值定理
1.若x y s +=（和为定值），则当x y =时，xy 取得最大值是24
s
；
【证明】x y ，
都是正数，2x y +x y s +=，2
2()24
x y s xy +≤=，当且仅当x y =时，xy 取得最大值是2
4
s
；
2.若=xy p （积为定值），则当x y =时，x y +取得最小值是；
【证明】x y ，
都是正数，2
x y +≥x y =时，等号成立．又=xy p ，x y +≥
．
【注意】利用极值定理求最大值或最小值是应注意：
①注意均值不等式的前提条件：函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式；
②求积xy 最大值时，应看和x y +是否是定值；求和x y +最小值时，看xy 是否为定值． ③通过加减的方法配凑成使用算术平均数与几何平均数定理的形式； ④注意“1”的代换；
⑤等号是否成立: 只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值．
运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等．
典型例题
一．选择题（共12小题）
1．（2018•嘉兴模拟）已知x+y=++8（x，y＞0），则x+y的最小值为（）A．5 B．9 C．4+D．10
，若目标函数z=ax+by 2．（2018•洛阳一模）设实数x，y满足条
，
（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）
A．B．C．D．4
3．（2018春•怀化期末）若不等式＜恒成立，则实数a的取值范围是（）
A．（0，1） B．，C．，D．，
4．（2016秋•龙岩期末）已知两个正数a，b满足3a+2b=1，则+的最小值是（）A．23 B．24 C．25 D．26
5．（2017春•温州期末）已知x＞0，y＞0，x+2y=1，若不等式＞m2+2m成立，则实数m的取值范围是（）
A．m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或m≤﹣4 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜2 6．（2016秋•焦作期末）已知x，y∈R，满足4≥y≥4﹣x，x≤2，则
的最大值为（）
A．2 B．C．D．
7．（2016秋•郑州期末）正实数ab满足+=1，则（a+2）（b+4）的最小值为（）A．16 B．24 C．32 D．40
8．（2017•揭阳一模）已知抛物线y=ax2+2x﹣a﹣1（a∈R），恒过第三象限上一定
点A，且点A在直线3mx+ny+1=0（m＞0，n＞0）上，则的最小值为（）A．4 B．12 C．24 D．36
9．（2017•平度市二模）若直线2mx﹣ny﹣2=0（m＞0，n＞0）过点（1，﹣2），则+最小值（）
A．2 B．6 C．12 D．3+2
10．（2017春•贵池区校级期末）设x＞0，y＞0，x+y+xy=2，则x+y的最小值是（）A．B．1+C．2﹣2 D．2﹣
11．（2016秋•湖州期末）已知实数a，b，c满足a2+2b2+3c2=1，则a+2b的最大值是（）
A．B．2 C．D．3
12．（2016秋•鹤壁期末）已知a＞0，b＞0，+=2，则y=4a+b的最小值是（）A．8 B．6 C．2 D．9
二．填空题（共3小题）
13．（2018•江苏）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．14．（2018•天津一模）已知正实数a，b满足ab=a+2，那么2a+b的最小值为．15．（2018•南开区一模）设x＞0，y＞0，且xy﹣（x+y）=1，则x+y的最小值为．
三．解答题（共1小题）
16．（2018•石嘴山一模）已知函数f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为k．（1）求k的值；
（2）若a，b，c∈R，，求b（a+c）的最大值．。