【数学】数学 平行四边形的专项 培优练习题附答案

由.
（3）如图 3，若 DAB 90 ，探究边 AD 、 AB 与对角线 AC 的数量关系并说明理由.
【答案】（1） AC AD AB .证明见解析；（2）成立；（3） AD AB
见解析. 【解析】
2AC .理由
试题分析：（1）结论：AC=AD+AB，只要证明 AD= 1 AC，AB= 1 AC 即可解决问题；
本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判
定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
3．如图，矩形 ABCD 中，AB=6，BC=4，过对角线 BD 中点 O 的直线分别交 AB，CD 边于点 E，F． （1）求证：四边形 BEDF 是平行四边形； （2）当四边形 BEDF 是菱形时，求 EF 的长．
2
2
（2）（1）中的结论成立．以 C 为顶点，AC 为一边作∠ ACE=60°，∠ ACE 的另一边交 AB 延
长线于点 E，只要证明△ DAC≌ △ BEC 即可解决问题；
（3）结论：AD+AB＝ 2 AC．过点 C 作 CE⊥AC 交 AB 的延长线于点 E，只要证明△ ACE 是
等腰直角三角形，△ DAC≌ △ BEC 即可解决问题； 试题解析：解：（1）AC=AD+AB． 理由如下：如图 1 中，
OBE ODF OB OD BOE DOF
∴ △ BOE≌ △ DOF（ASA）， ∴ EO=FO， ∴ 四边形 BEDF 是平行四边形； （2）当四边形 BEDF 是菱形时，BD⊥EF， 设 BE=x，则 DE=x，AE=6-x， 在 Rt△ ADE 中，DE2=AD2+AE2，
∴ x2=42+（6-x）2，
一边交 AB 延长线于点 E，
∵ ∠ BAC=60°， ∴ △ AEC 为等边三角形， ∴ AC=AE=CE， ∵ ∠ D+∠ ABC=180°，∠ DAB=120°， ∴ ∠ DCB=60°， ∴ ∠ DCA=∠ BCE， ∵ ∠ D+∠ ABC=180°，∠ ABC+∠ EBC=180°， ∴ ∠ D=∠ CBE，∵ CA=CE， ∴ △ DAC≌ △ BEC， ∴ AD=BE， ∴ AC=AD+AB．
【答案】（1）证明见解析；（2） 4 13 ． 3
【解析】 分析：（1）根据平行四边形 ABCD 的性质，判定△ BOE≌ △ DOF（ASA），得出四边形 BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论； （2）在 Rt△ ADE 中，由勾股定理得出方程，解方程求出 BE，由勾股定理求出 BD，得出 OB，再由勾股定理求出 EO，即可得出 EF 的长. 详解：（1）证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，O 是 BD 的中点， ∴ ∠ A=90°，AD=BC=4，AB∥ DC，OB=OD， ∴ ∠ OBE=∠ ODF， 在△ BOE 和△ DOF 中，
∵ 四边形 ADCE 是平行四边形， ∴ 四边形 ADCE 是菱形. 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边中线定理.根据图形与已知条 件灵活应用平行四边形的判定方法是证明的关键.
5．如图，正方形 ABCD 的边长为 8，E 为 BC 上一定点，BE＝6，F 为 AB 上一动点，把 △ BEF 沿 EF 折叠，点 B 落在点 B′处，当△ AFB′恰好为直角三角形时，B′D 的长为？
当 C'G 最大值，△ AC'C 的面积最大， 连接 BD，交 AC 于 O，当 C'在 BD 上时，C'G 最大，此时 G 与 O 重合，
∵ CD＝C'D＝
2
，OD＝
1 2
AC＝1，
∴ C'G＝ 2 ﹣1，
∴ S△ AC'C＝ 1 AC • CG 1 2( 2 1) 2 1 ．
2
2
【点睛】
【答案】 4 5
65 或 2
2
【解析】
【分析】
分两种情况分析：如图 1，当∠ AB′F=90°时，此时 A、B′、E 三点共线，过点 B′作
B′M⊥AB，B′N⊥AD，由三角形的面积法则可求得 B′M=2.4，再由勾股定理可求得 B′N=3.2，
在 Rt△ CB′N 中，由勾股定理得，B′D= BN 2+DN2 = 3.22 5.62 ；如图 2，当∠ AFB′=90°
4．如图，△ ABC 中，AD 是边 BC 上的中线，过点 A 作 AE∥ BC，过点 D 作 DE∥ AB，DE 与 AC、AE 分别交于点 O、点 E，连接 EC． （1）求证：AD=EC；
（2）当∠ BAC=Rt∠ 时，求证：四边形 ADCE 是菱形．
【答案】（1）见解析； （2）见解析. 【解析】 【分析】 （1）先证四边形 ABDE 是平行四边形，再证四边形 ADCE 是平行四边形即可； （2）由∠ BAC=90°，AD 是边 BC 上的中线，得 AD=BD=CD，即可证明. 【详解】 (1)证明：∵ AE∥ BC，DE∥ AB ， ∴ 四边形 ABDE 是平行四边形， ∴ AE=BD， ∵ AD 是边 BC 上的中线， ∴ BD=DC， ∴ AE=DC， 又∵ AE∥ BC， ∴ 四边形 ADCE 是平行四边形. (2) 证明：∵ ∠ BAC=90°，AD 是边 BC 上的中线. ∴ AD=CD
在四边形 ABCD 中，∠ D+∠ B=180°，∠ B=90°， ∴ ∠ D=90°， ∵ ∠ DAB=120°，AC 平分∠ DAB， ∴ ∠ DAC=∠ BAC=60°， ∵ ∠ B=90°，
∴ AB＝ 1 AC，同理 AD＝ 1 AC．
2
2
∴ AC=AD+AB．
（2）（1）中的结论成立，理由如下：以 C 为顶点，AC 为一边作∠ ACE=60°，∠ ACE 的另
（3）连接 AC，若正方形的边长为 2 ，请直接写出△ ACC′的面积最大值．
【答案】（1）45°；（2）BP+DP＝ 2 AP，证明详见解析；（3） 2 ﹣1．
【解析】 【分析】
（1）证明∠ CDE＝∠ C'DE 和∠ ADF＝∠ C'DF，可得∠ FDP'＝ 1 ∠ ADC＝45°； 2
（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△ BAP≌ △ DAP'（SAS），得 BP＝DP'，从而得 △ PAP'是等腰直角三角形，可得结论； （3）先作高线 C'G，确定△ ACC′的面积中底边 AC 为定值 2，根据高的大小确定面积的大 小，当 C'在 BD 上时，C'G 最大，其△ ACC′的面积最大，并求此时的面积． 【详解】 （1）由对称得：CD＝C'D，∠ CDE＝∠ C'DE， 在正方形 ABCD 中，AD＝CD，∠ ADC＝90°， ∴ AD＝C'D， ∵ F 是 AC'的中点， ∴ DF⊥AC'，∠ ADF＝∠ C'DF，
在 Rt△ CB′N 中，由勾股定理得，B′D= BN 2+DN2 = 22 22 = 2 2 ；
综上，可得 B′D 的长为 4 5
65 或 2
2.
【点睛】
本题主要考查正方形的性质与判定，矩形有性质判定、勾股定理、折叠的性质等，能正确
地画出图形并能分类讨论是解题的关键.
6．如图，现将平行四边形 ABCD 沿其对角线 AC 折叠，使点 B 落在点 B′处．AB′与 CD 交于 点 E． （1）求证：△ AED≌ △ CEB′； （2）过点 E 作 EF⊥AC 交 AB 于点 F，连接 CF，判断四边形 AECF 的形状并给予证明．
∴ AN=B′M=2.4，∴ DN=AD-AN=8-2.4=5.6，
在 Rt△ CB′N 中，由勾股定理得，B′D=
4
BN 2+DN2 =
3.22 5.62
=
5
65 ；
如图 2，当∠ AFB′=90°时，由题意可知此时四边形 EBFB′是正方形，∴ AF=2， 过点 B′作 B′N⊥AD，则四边形 AFB′N 为矩形，∴ AN=B′F=6，B′N=AF=2，∴ DN=AD-AN=2，
∴ ∠ FDP＝∠ FDC'+∠ EDC'＝ 1 ∠ ADC＝45°； 2
（2）结论：BP+DP＝ 2 AP，
理由是：如图，作 AP'⊥AP 交 PD 的延长线于 P'，
∴ ∠ PAP'＝90°， 在正方形 ABCD 中，DA＝BA，∠ BAD＝90°， ∴ ∠ DAP'＝∠ BAP， 由（1）可知：∠ FDP＝45° ∵ ∠ DFP＝90° ∴ ∠ APD＝45°， ∴ ∠ P'＝45°， ∴ AP＝AP'， 在△ BAP 和△ DAP'中，
证明：（1）∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ AD＝BC，CD∥ AB，∠ B＝∠ D ∵ 平行四边形 ABCD 沿其对角线 AC 折叠 ∴ BC＝B'C，∠ B＝∠ B' ∴ ∠ D＝∠ B'，AD＝B'C 且∠ DEA＝∠ B'EC ∴ △ ADE≌ △ B'EC （2）四边形 AECF 是菱形 ∵ △ ADE≌ △ B'EC ∴ AE＝CE ∵ AE＝CE，EF⊥AC ∴ EF 垂直平分 AC，∠ AEF＝∠ CEF ∴ AF＝CF ∵ CD∥ AB ∴ ∠ CEF＝∠ EFA 且∠ AEF＝∠ CEF ∴ ∠ AEF＝∠ EFA ∴ AF＝AE ∴ AF＝AE＝CE＝CF ∴ 四边形 AECF 是菱形 【点睛】 本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，熟练 掌握这些性质和判定是解决问题的关键．
（3）结论：AD+AB＝ 2 AC．理由如下：
过点 C 作 CE⊥AC 交 AB 的延长线于点 E，∵ ∠ D+∠ B=180°，∠ DAB=90°，
∴ DCB=90°， ∵ ∠ ACE=90°， ∴ ∠ DCA=∠ BCE， 又∵ AC 平分∠ DAB， ∴ ∠ CAB=45°， ∴ ∠ E=45°． ∴ AC=CE． 又∵ ∠ D+∠ ABC=180°，∠ D=∠ CBE，
∴ △ CDA≌ △ CBE， ∴ AD=BE， ∴ AD+AB=AE． 在 Rt△ ACE 中，∠ CAB=45°，
∴ AE＝ AC ＝ 2AC cos45
∴ AD AB＝ 2AC .
2．如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 BC 上的一动点（不与点 B、C 重合），连接 DE、点 C 关于直线 DE 的对称点为 C′，连接 AC′并延长交直线 DE 于点 P，F 是 AC′的中点，连接 DF． （1）求∠ FDP 的度数； （2）连接 BP，请用等式表示 AP、BP、DP 三条线段之间的数量关系，并证明；
【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）由题意可得 AD=BC=B'C，∠ B=∠ D=∠ B'，且∠ AED=∠ CEB'，利用 AAS 证明全等，则结 论可得； （2）由△ AED≌ △ CEB′可得 AE=CE，且 EF⊥AC，根据等腰三角形的性质可得 EF 垂直平分 AC，∠ AEF=∠ CEF．即 AF=CF，∠ CEF=∠ AFE=∠ AEF，可得 AE=AF，则可证四边形 AECF 是菱 形． 【详解】
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．在四边形 ABCD中， B D 180 ，对角线 AC 平分 BAD . （1）如图 1，若 DAB 120 ，且 B 90 ，试探究边 AD 、 AB 与对角线 AC 的数量
关系并说明理由.
（2）如图 2，若将（1）中的条件“ B 90 ”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理
解得：x= 13 ， 3
∵ BD= AD2 AB2 =2 13 ， ∴ OB= 1 BD= 13 ，
2
∵ BD⊥EF，
∴ EO= BE2 OB2 = 2 13 ， 3
∴ EF=2EO=源自文库4 13 ． 3
点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质， 熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键
BA DA ∵ BAP DAP ，
AP AP
∴ △ BAP≌ △ DAP'（SAS）， ∴ BP＝DP'，
∴ DP+BP＝PP'＝ 2 AP； （3）如图，过 C'作 C'G⊥AC 于 G，则 S△ AC'C＝ 1 AC•C'G，
2
Rt△ ABC 中，AB＝BC＝ 2 ， ∴ AC＝ ( 2)2 ( 2)2 2 ，即 AC 为定值，
时，由题意可知此时四边形 EBFB′是正方形，AF=2，过点 B′作 B′N⊥AD，则四边形 AFB′N 为
矩形，在 Rt△ CB′N 中，由勾股定理得，B′D= BN 2+DN2 = 22 22 ；
【详解】 如图 1，当∠ AB′F=90°时，此时 A、B′、E 三点共线，
∵ ∠ B=90°，∴ AE= AB2 BE2 = 82 62 =10，
∵ B′E=BE=6，∴ AB′=4，
∵ B′F=BF，AF+BF=AB=8，
在 Rt△ AB′F 中，∠ AB′F=90°，由勾股定理得，AF2=FB′2+AB′2，
∴ AF=5，BF=3，
过点 B′作 B′M⊥AB，B′N⊥AD，由三角形的面积法则可求得 B′M=2.4，再由勾股定理可求得
B′N=3.2，