随机水文学-第2章
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一、平稳随机过程的概念 一个随机过程 X(t) ，若对任何 n 与 k ， X(t)的 n 维分布函数满足：
Fn ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn ) Fn ( x1 , x2 ,, xn ; t1k , t2k ,, tnk )
则X(t) 被称为平稳随机过程，否则被称为非平稳 随机过程。
样本资料可以用来分析计算平稳随机过程的统计特性。这
样的随机过程称为具备各态历经性或遍历性。该随机过程
称为各态历经过程。
在样本容量很大的情况下，每个样本函数能够代表过程
的所有可能样本函数。因而任何一个样本函数都可以代表 平稳过程的统计特性，可以由任何一个样本函数估计平稳 过程的统计特征。非平稳随机过程不具备各态历经性，平 稳随机过程也不全具备各态历经性。
则X(t) 被称为马尔柯夫过程。
(k 0)
F ( X nk ; tnk xn ; tn ) P[ X (tnk ) X nk X (tn ) X n ]
称为马尔柯夫过程从时刻 tn 状态 Xn，转移到时刻 tn+k
状态 Xn+k 的概率，简称转移概率。
在 tn 时刻所处的状态已知的条件下， 马尔柯夫过程在 时刻 tn+k 所处的状态只与其在 tn 时刻所处的状态有关，而 与其在tn 时刻以前所处的状态无关。这种特性称为马尔柯
374
1983 480 1995 405
329
1984 314 1996 455
515
1985 335 1997 500
356
1986 303 1998 518
432
1987 382 1999 411
经计算，年径流样本均值402 m3/s，样本标准差96.2 m3/s 。
将年径流划分为5个状态：枯、偏枯、平、偏丰、丰。
夫过程的无后效性。 的状态无关。
马尔柯夫过程的统计特性完全由它的初始分布和转移概 率确定，因此，研究马尔柯夫过程，只需确定初始分布和 转移概率。
过程“现在”的状态已知，其“将来”的状态与“过去”
马尔柯夫过程可以分为三类： 时间和状态都连续的马尔柯夫过程 维纳过程 时间连续、状态离散的马尔柯夫过程 散粒噪声过程
过 k 步转移到状态 aj 的概率。 一般情况下，pij(n,k)与 i, j, k和 n 有关，当pij(n,k) 与n (初始时刻)无关时，称为齐次马尔柯夫链。
实际工作中，一般考虑齐次马尔柯夫链。
取k=1，则 pij P( X n1 a j X n ai ) 称为一步转移概率。
由一步转移概率可构成一步转移概率矩阵
与时间t无关，只与时间间隔τ有关。称自协方差平稳。
5、自相关函数平稳
Cov(t1 , t2 ) Cov( ) (t1 , t2 ) ( ) 2 (t1 ) (t2 )
平稳随机过程 X(t) 的自相关函数与时间位置无关，只与 时间间隔τ有关，称自相关函数平稳。
f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) f 2 ( x1 , x2 ; t1 k , t2 k )
令k= - t1， t2-t1= τ时，
f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) f 2 ( x1 , x2 ;0, ) f 2 ( x1 , x2 ; )
第二章 随机水文学的基本理论
2.1 随机过程的概念 2.2 随机过程的分布函数 2.3 随机过程的数字特征 2.4随机过程的分类 2.5平稳随机过程 2.6马尔柯夫过程
2.1 随机过程的概念
注： (1)随机过程 X( t ) 或时间序列 Xt 中的t通常表示时间， 但也可以表示空间、长度等其他非时间变量。
平稳随机过程的 n 维分布函数不因所选开始
时刻的改变而不同，即平稳随机过程的统计特
性与所选取的时间起点无关。 也就是说，平稳随机过程的统计特性不随时 间 t 的变化而改变。
例如：利用相当长的年径流序列，计算的任
一年径流量n维分布函数是相等的。
若产生随机过程的主要物理条件在时间进程
中没有变化，则该随机过程的统计特性也不会
平稳随机过程的均值平稳，又称一阶平稳。
2、方差平稳
方差函数
D(t ) [ x (t )] f1 ( x, t )dx ( x ) 2 f1 ( x)dx 2
2
平稳随机过程 X(t) 的方差函数σ2与时间t无关，为常数， 称为方差平稳，又称二阶平稳。 同理标准差函数σ(x)也是平稳的。
(1) k
令时刻t的无条件概率分布或边际概率分布为
Pt=[pt(1), pt(2), …, pt(m)]
若时刻t已发生，则Pt 已知，t+1时刻的条件分布为
P t 1 P tP
(1)
例：桂江流域中游控制站平乐站48年(1952-1999年)径 流量资料。
年份 年径流 年份 1952 540 1964 1953 478 1965 1954 466 1966 1955 273 1967 1956 378 1968 1957 422 1969 1958 251 1970 1959 508 1971 1960 307 1972 1961 465 1973 1962 375 1974 1963 190 1975
维数越大，随机过程的统计特性的描述也越趋完善。 一般认为，分布函数族(F1，F2，…)完全地确定了随 机过程的全部统计特性。
2.3 随机过程的数字特征
5. 变差系数
(t ) Cv (t ) (t )
描述随机过程对于均值的相对偏离程序。
6. 偏态系数
E[ X (t ) (t )]3 Cs (t ) 3 (t )
时间和状态都离散的马尔柯夫过程——马尔柯夫链
马尔柯夫链是最简单的马氏过程，在水文学中广泛应用
二、马尔柯夫链
丰、中、枯、特枯），记转移时刻为 t1 , t2 ,, tn 。某一时
设马尔柯夫链有m个状态 a1 , a2 ,, am （如径流的特丰、 刻的状态为m个状态之一。
P( X nk ank X n an , X n1 an1,, X1 a1 ) P( X nk ank X n an ) pij (n, k ) P( X nk a j X n ai ) 为过程从时刻 tn状态 ai 经
(2)随机过程和时间序列在许多方面存在相互平等的理 论，但两者不完全相同，在实际工作中有时没有加以 严格区分。
(3)不管是随机过程还是时间序列，它的一个显著特征 是预测值前后的相依性，因此，数据的时间顺序十分 重要。 (4)一个随机变量 X 与它的一个样本值 x，意义不同。
2.2 随机过程的分布函数
描述随机过程对于正态分布的相对偏离程序。
均值、方差、变差系数、偏态系数描述了随机过程
X(t) 在各个孤立时刻 t 的统计特性，称为随机过程
的统计参数。统计参数的值反映了随机过程的数字
特征。
统计参数是随时间变化的。如表2-1
2.4 随机过程的分类
按是否相依：相关随机过程、独立随机过程 按变量多少：多变量随机过程、单变量随机过程 按参数是否随机时间变化： 平稳随机过程、非平稳随机过程 按随机过程的分布函数的不同性质：
F1 ( x, t ) F1 ( x, t )
F1 ( x, t ) F1 ( x, t t ) F1 ( x) f1 ( x, t ) f1 ( x, t t ) f1 ( x)
即平稳过程 X(t) 的一维分布函数和一维概率密度与时间t无关。
均值 (t ) xf1 ( x, t )dx xf1 ( x)dx 与时间t无关，为常数。
三、平稳随机过程的分类
平稳随机过程可分为两类：
严平稳随机过程：即满足定义的平稳随机过程，又称 狭义平稳过程或高阶平稳过程。现实中不存在 宽平稳随机过程：即均值和协方差平稳的过程，也称 广义平稳过程或二阶平稳过程。一般平稳过程如没加特别 说明都是指宽平稳过程。
水文水资源系统中，当影响它的主要因素（气候、下垫 面及人类活动等）相对稳定时，以年为时间尺度的水文序 列可近似作为平稳随机序列。年降水量序列、年径流序列、 年蒸发量序列等。
分别用1，2，3，4，5表示。 枯 [ 0, 305.8]
偏枯
平 偏丰 丰
(305.8, 353.9]
(353.9, 450.1] (450.1, 498.2] (498.2, +∞)
解题过程：1、列出平均流量状态表。
年份 年径流 状态 年份 年径流 1952 540 1953 478 1954 466 1955 273 1956 378 1957 422 1958 251 1959 508 1960 307 1961 465 1962 375 1963 190
随机随时间而变化。 如果产生年径流的气候条件与下垫面条件都 没有重大变化，则年径流的统计特性也不会随
时间而变化，因而不同开始时刻的年径流n维分
布函数也不会有变化。 平稳随机过程具有一系列简单的特性，使问 题的分析计算大为简化，实际应用广泛。
二、平稳随机过程的数字特征
1、均值平稳
根据平稳过程的定义，当n=1时，对任意τ有 当τ= - t时，
独立随机过程、平稳随机过程、
独立增量随机过程、马尔柯夫随机过程
1. 独立随机过程 随机过程任意时刻的截口与其他时刻的截口之间互不 影响。 相关系数为零 2. 独立增量随机过程 在任意时间间隔上过程状态的改变并不影响未来任一 时间间隔上过程状态的改变。
2.5 平稳随机过程
平稳随机过程在水文水资源计算中最为常用。
水文水资源系统，假定平稳随机过程具有各态历经性。
2、基于时间域的数字特征计算
设平稳随机过程X(t)的任意一个样本函数x(t)(0≤t≤T)
当 T 或 n 足够长时，平稳过程计算的数字特征， 时间平均等于统计平均。
2.6 马尔柯夫过程
一、马尔柯夫过程的定义及特征 若随机过程 X(t) 满足：
F ( X n k ; t n k X n , X n 1 ,, X 1 ; t n , t n 1 , , t1 ) F ( X n k ; t n k xn ; t n )
即平稳过程 X(t) 的二维分布函数与时间t无关，只与时间间隔τ有
关。
自协方差函数
Cov(t1 , t2 )
[ x1 (t1 )][x2 (t2 )] f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2 [ x1 ][x2 ] f 2 ( x1 , x2 ; )dx1dx2
四、平稳随机过程的各态历经性
通过大量的样本函数计算的各截口数字特征，能真实反
映随机过程的统计特性。
在水文学中，经常难以获取大量的样本函数，实际上仅
仅有其中一个样本函数。在这种情况下，能否用一个样本
函数来分析随机过程的统计特性？
1、平稳随机过程的各态历经性
【定义】
在一定条件下，平稳随机过程的一个相当长的
3、偏态系数平稳
C (t )
s
[ x (t )] f1 ( x, t )dx
3
(t )
3
[ x ]3 f1 ( x)dx
(t )
3
Cs
平稳随机过程 X(t) 的偏态系数与时间t无关，为常数， 称为偏态系数平稳。
4、协方差平稳
根据平稳过程的定义，当n=2时，对任意 k 有
P
(1)
p11 p 21 pm1
p12 p22 pm 2
百度文库
p1m p2 m pmm
式中：
0 pij 1,
p
j 1
m
ij
1
当k≥2时变成多步转移概率矩阵。
一步转移概率矩阵与多步转移概率矩阵关系：
P
(k )
[P ]
年径流
年份 年径流 年份 年径流
404
1976 466 1988 301
279
1977 499 1989 282
336
1978 386 1990 352
351
1979 395 1991 260
570
1980 386 1992 418
280
1981 445 1993 568
528
1982 434 1994 633
Fn ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn ) Fn ( x1 , x2 ,, xn ; t1k , t2k ,, tnk )
则X(t) 被称为平稳随机过程，否则被称为非平稳 随机过程。
样本资料可以用来分析计算平稳随机过程的统计特性。这
样的随机过程称为具备各态历经性或遍历性。该随机过程
称为各态历经过程。
在样本容量很大的情况下，每个样本函数能够代表过程
的所有可能样本函数。因而任何一个样本函数都可以代表 平稳过程的统计特性，可以由任何一个样本函数估计平稳 过程的统计特征。非平稳随机过程不具备各态历经性，平 稳随机过程也不全具备各态历经性。
则X(t) 被称为马尔柯夫过程。
(k 0)
F ( X nk ; tnk xn ; tn ) P[ X (tnk ) X nk X (tn ) X n ]
称为马尔柯夫过程从时刻 tn 状态 Xn，转移到时刻 tn+k
状态 Xn+k 的概率，简称转移概率。
在 tn 时刻所处的状态已知的条件下， 马尔柯夫过程在 时刻 tn+k 所处的状态只与其在 tn 时刻所处的状态有关，而 与其在tn 时刻以前所处的状态无关。这种特性称为马尔柯
374
1983 480 1995 405
329
1984 314 1996 455
515
1985 335 1997 500
356
1986 303 1998 518
432
1987 382 1999 411
经计算，年径流样本均值402 m3/s，样本标准差96.2 m3/s 。
将年径流划分为5个状态：枯、偏枯、平、偏丰、丰。
夫过程的无后效性。 的状态无关。
马尔柯夫过程的统计特性完全由它的初始分布和转移概 率确定，因此，研究马尔柯夫过程，只需确定初始分布和 转移概率。
过程“现在”的状态已知，其“将来”的状态与“过去”
马尔柯夫过程可以分为三类： 时间和状态都连续的马尔柯夫过程 维纳过程 时间连续、状态离散的马尔柯夫过程 散粒噪声过程
过 k 步转移到状态 aj 的概率。 一般情况下，pij(n,k)与 i, j, k和 n 有关，当pij(n,k) 与n (初始时刻)无关时，称为齐次马尔柯夫链。
实际工作中，一般考虑齐次马尔柯夫链。
取k=1，则 pij P( X n1 a j X n ai ) 称为一步转移概率。
由一步转移概率可构成一步转移概率矩阵
与时间t无关，只与时间间隔τ有关。称自协方差平稳。
5、自相关函数平稳
Cov(t1 , t2 ) Cov( ) (t1 , t2 ) ( ) 2 (t1 ) (t2 )
平稳随机过程 X(t) 的自相关函数与时间位置无关，只与 时间间隔τ有关，称自相关函数平稳。
f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) f 2 ( x1 , x2 ; t1 k , t2 k )
令k= - t1， t2-t1= τ时，
f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) f 2 ( x1 , x2 ;0, ) f 2 ( x1 , x2 ; )
第二章 随机水文学的基本理论
2.1 随机过程的概念 2.2 随机过程的分布函数 2.3 随机过程的数字特征 2.4随机过程的分类 2.5平稳随机过程 2.6马尔柯夫过程
2.1 随机过程的概念
注： (1)随机过程 X( t ) 或时间序列 Xt 中的t通常表示时间， 但也可以表示空间、长度等其他非时间变量。
平稳随机过程的 n 维分布函数不因所选开始
时刻的改变而不同，即平稳随机过程的统计特
性与所选取的时间起点无关。 也就是说，平稳随机过程的统计特性不随时 间 t 的变化而改变。
例如：利用相当长的年径流序列，计算的任
一年径流量n维分布函数是相等的。
若产生随机过程的主要物理条件在时间进程
中没有变化，则该随机过程的统计特性也不会
平稳随机过程的均值平稳，又称一阶平稳。
2、方差平稳
方差函数
D(t ) [ x (t )] f1 ( x, t )dx ( x ) 2 f1 ( x)dx 2
2
平稳随机过程 X(t) 的方差函数σ2与时间t无关，为常数， 称为方差平稳，又称二阶平稳。 同理标准差函数σ(x)也是平稳的。
(1) k
令时刻t的无条件概率分布或边际概率分布为
Pt=[pt(1), pt(2), …, pt(m)]
若时刻t已发生，则Pt 已知，t+1时刻的条件分布为
P t 1 P tP
(1)
例：桂江流域中游控制站平乐站48年(1952-1999年)径 流量资料。
年份 年径流 年份 1952 540 1964 1953 478 1965 1954 466 1966 1955 273 1967 1956 378 1968 1957 422 1969 1958 251 1970 1959 508 1971 1960 307 1972 1961 465 1973 1962 375 1974 1963 190 1975
维数越大，随机过程的统计特性的描述也越趋完善。 一般认为，分布函数族(F1，F2，…)完全地确定了随 机过程的全部统计特性。
2.3 随机过程的数字特征
5. 变差系数
(t ) Cv (t ) (t )
描述随机过程对于均值的相对偏离程序。
6. 偏态系数
E[ X (t ) (t )]3 Cs (t ) 3 (t )
时间和状态都离散的马尔柯夫过程——马尔柯夫链
马尔柯夫链是最简单的马氏过程，在水文学中广泛应用
二、马尔柯夫链
丰、中、枯、特枯），记转移时刻为 t1 , t2 ,, tn 。某一时
设马尔柯夫链有m个状态 a1 , a2 ,, am （如径流的特丰、 刻的状态为m个状态之一。
P( X nk ank X n an , X n1 an1,, X1 a1 ) P( X nk ank X n an ) pij (n, k ) P( X nk a j X n ai ) 为过程从时刻 tn状态 ai 经
(2)随机过程和时间序列在许多方面存在相互平等的理 论，但两者不完全相同，在实际工作中有时没有加以 严格区分。
(3)不管是随机过程还是时间序列，它的一个显著特征 是预测值前后的相依性，因此，数据的时间顺序十分 重要。 (4)一个随机变量 X 与它的一个样本值 x，意义不同。
2.2 随机过程的分布函数
描述随机过程对于正态分布的相对偏离程序。
均值、方差、变差系数、偏态系数描述了随机过程
X(t) 在各个孤立时刻 t 的统计特性，称为随机过程
的统计参数。统计参数的值反映了随机过程的数字
特征。
统计参数是随时间变化的。如表2-1
2.4 随机过程的分类
按是否相依：相关随机过程、独立随机过程 按变量多少：多变量随机过程、单变量随机过程 按参数是否随机时间变化： 平稳随机过程、非平稳随机过程 按随机过程的分布函数的不同性质：
F1 ( x, t ) F1 ( x, t )
F1 ( x, t ) F1 ( x, t t ) F1 ( x) f1 ( x, t ) f1 ( x, t t ) f1 ( x)
即平稳过程 X(t) 的一维分布函数和一维概率密度与时间t无关。
均值 (t ) xf1 ( x, t )dx xf1 ( x)dx 与时间t无关，为常数。
三、平稳随机过程的分类
平稳随机过程可分为两类：
严平稳随机过程：即满足定义的平稳随机过程，又称 狭义平稳过程或高阶平稳过程。现实中不存在 宽平稳随机过程：即均值和协方差平稳的过程，也称 广义平稳过程或二阶平稳过程。一般平稳过程如没加特别 说明都是指宽平稳过程。
水文水资源系统中，当影响它的主要因素（气候、下垫 面及人类活动等）相对稳定时，以年为时间尺度的水文序 列可近似作为平稳随机序列。年降水量序列、年径流序列、 年蒸发量序列等。
分别用1，2，3，4，5表示。 枯 [ 0, 305.8]
偏枯
平 偏丰 丰
(305.8, 353.9]
(353.9, 450.1] (450.1, 498.2] (498.2, +∞)
解题过程：1、列出平均流量状态表。
年份 年径流 状态 年份 年径流 1952 540 1953 478 1954 466 1955 273 1956 378 1957 422 1958 251 1959 508 1960 307 1961 465 1962 375 1963 190
随机随时间而变化。 如果产生年径流的气候条件与下垫面条件都 没有重大变化，则年径流的统计特性也不会随
时间而变化，因而不同开始时刻的年径流n维分
布函数也不会有变化。 平稳随机过程具有一系列简单的特性，使问 题的分析计算大为简化，实际应用广泛。
二、平稳随机过程的数字特征
1、均值平稳
根据平稳过程的定义，当n=1时，对任意τ有 当τ= - t时，
独立随机过程、平稳随机过程、
独立增量随机过程、马尔柯夫随机过程
1. 独立随机过程 随机过程任意时刻的截口与其他时刻的截口之间互不 影响。 相关系数为零 2. 独立增量随机过程 在任意时间间隔上过程状态的改变并不影响未来任一 时间间隔上过程状态的改变。
2.5 平稳随机过程
平稳随机过程在水文水资源计算中最为常用。
水文水资源系统，假定平稳随机过程具有各态历经性。
2、基于时间域的数字特征计算
设平稳随机过程X(t)的任意一个样本函数x(t)(0≤t≤T)
当 T 或 n 足够长时，平稳过程计算的数字特征， 时间平均等于统计平均。
2.6 马尔柯夫过程
一、马尔柯夫过程的定义及特征 若随机过程 X(t) 满足：
F ( X n k ; t n k X n , X n 1 ,, X 1 ; t n , t n 1 , , t1 ) F ( X n k ; t n k xn ; t n )
即平稳过程 X(t) 的二维分布函数与时间t无关，只与时间间隔τ有
关。
自协方差函数
Cov(t1 , t2 )
[ x1 (t1 )][x2 (t2 )] f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2 [ x1 ][x2 ] f 2 ( x1 , x2 ; )dx1dx2
四、平稳随机过程的各态历经性
通过大量的样本函数计算的各截口数字特征，能真实反
映随机过程的统计特性。
在水文学中，经常难以获取大量的样本函数，实际上仅
仅有其中一个样本函数。在这种情况下，能否用一个样本
函数来分析随机过程的统计特性？
1、平稳随机过程的各态历经性
【定义】
在一定条件下，平稳随机过程的一个相当长的
3、偏态系数平稳
C (t )
s
[ x (t )] f1 ( x, t )dx
3
(t )
3
[ x ]3 f1 ( x)dx
(t )
3
Cs
平稳随机过程 X(t) 的偏态系数与时间t无关，为常数， 称为偏态系数平稳。
4、协方差平稳
根据平稳过程的定义，当n=2时，对任意 k 有
P
(1)
p11 p 21 pm1
p12 p22 pm 2
百度文库
p1m p2 m pmm
式中：
0 pij 1,
p
j 1
m
ij
1
当k≥2时变成多步转移概率矩阵。
一步转移概率矩阵与多步转移概率矩阵关系：
P
(k )
[P ]
年径流
年份 年径流 年份 年径流
404
1976 466 1988 301
279
1977 499 1989 282
336
1978 386 1990 352
351
1979 395 1991 260
570
1980 386 1992 418
280
1981 445 1993 568
528
1982 434 1994 633