初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题24 相交线与平行线

专题24 相交线与平行线

阅读与思考

在同一平面内，两条不同直线有两种位置关系：相交或平行.

当两条直线相交或两条直线分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，善于从相交线中识别出以上不同名称的角是解相关问题的基础，把握对顶角有公共顶点，而同位角、内错角、同旁内角没有公共顶点且有一条边在截线上，这是识图的关键．两直线平行的判定方法和重要性质是我们研究平行线问题的主要依据．

1．平行线的判定

(1)同位角相等、内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行；

(2)平行于同一直线的两条直线平行；

(3)在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行．

2．平行线的性质

(1)过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行；

(2)两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补；

(3)如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条也垂直.

熟悉以下基本图形：

例题与求解

【例1】(1) 如图①，AB∥DE，∠ABC＝0

80，∠CDE＝0

140，则∠BCD＝__________.

（安徽省中考试题）

(2) 如图②，已知直线AB∥CD，∠C＝0

115，∠A＝0

25，则∠E＝___________.

（浙江省杭州市中考试题）

图②

A

解题思路：作平行线，运用内错角、同旁内角的特征进行求解.

【例2】如图，平行直线AB，CD与相交直线EF，GH相交，图中的同旁内角共有( )．A．4对B．8对

C．12对D．16对

（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图进行分解入手．

D E

C

A

B

图1

C

D

D

B

例2题图 例3题图

【例3】 如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，AC //ED ，CE 是∠ACB 的平分线，求证：∠EDF ＝∠BDF .

（天津市竞赛试题） 解题思路：综合运用垂直定义、角平分线、平行线的判定与性质，由于图形复杂，因此，证明前注意分解图形．

【例4】 如图，已知AB ∥CD ，∠EAF ＝

41∠EAB ，∠FCF ＝41∠ECD .求证：∠AFC ＝4

3

∠AEC . （湖北省武汉市竞赛试题）

解题思路：分别过点E ，F 作平行线，利用平行线的性质找角之间的关系

.

A

D

例4题图 例5题图

【例5】如图，已知∠1＝ ∠2，∠C ＝∠D ，求证：∠A ＝∠F .

解题思路：从角出发，导出两直线的位置关系，再推出新的角的关系，新的两直线的位置关系，是解这类问题的基本思路.

F

A

B

C

1 D

E 2

【例6】(1)已知平面内有4条直线a ，b ，c 和d ，直线a ，b 和c 相交于一点，直线b ，c 和d 也相交于一点，试确定这4条直线共有多少个交点？并说明你的理由．

(2)作第5条直线e 与(1)中的直线d 平行. 说明：以这5条直线的交点为端点的线段有多少条？

（“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：(1)先设直线a ，b ，c 的交点为P ，直线b ，c ，d 的交点为Q ，证得P 与Q 实为同一点，

得出结论．

(2)绘出图形，帮助解答，注意平行线的性质.

能力训练

A 级

1．在同一平面内有1a ，2a ，3a …，10a 十条直线，如果1a //2a ，2a ⊥3a ，3a //4a ，4a ⊥5a ，5a //6a ，

6a ⊥7a ，…，那么1a 与10a 的位置关系是____________.

2．如图，已知AE ∥BD ，∠1＝0

130，∠2＝0

30，则∠C ＝__________．

（湖南省常德市中考试题）

3．如图，直线a ，b 都与直线c 相交，下列命题中，能判断a ∥b 的条件是_____________（把你认为正确的序号填在横线上）

①∠1＝∠2； ②∠3＝∠6； ③∠1＝∠8；④∠5＋∠8＝0

180．

（陕西省中考试题）

第4题图

第3题图

第2题图

A E

a

b

4. 将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一边上，则∠1＋∠2__________.

（山东省烟台市中考试题）

5．下面四个命题中正确的是( )．

A ．相等的两个角是对顶角

B ．和等于0

180的两个角互为邻补角

C ．连结两点的最短线是过这两点的直线

D ．两条直线相交所成的四个角都相等，则这两条直线互相垂直

（“希望杯”邀请赛试题）

6．下列命题

①两条相交直线组成的四个角相等，则这两直线垂直．

②两条相交直线组成的四个角中，若有一个直角，则四角都相等． ③两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两直线垂直． ④两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两直线垂直． 其中正确的有( )．

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

7．如图，DH ∥EG ∥BC ，且DC ∥EF ，那么图中与∠BFE 相等的角(不包括∠BFE )的个数是( )． A.2 B ．4 C ．5 D ．6

（山东省菏泽地区中考试题） 8．如图，AB ∥CD ∥EF ∥GH ，AE ∥DG ，点C 在AE 上，点F 在DG 上，设与∠ɑ相等的角的个数为m （不包括∠a 本身），与∠β互补的角的个数为n ．若a ≠β，则m ＋n 的值是( )． A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

第8题图

第7题图

G B

H

9．如图，已知AB ∥ED ，∠NCB ＝0

30，CM 平分∠BCE ，CN ⊥CM ，求∠B 的度数．

10.如图，已知E 是

AB ，CD 外一点，∠D ＝∠B ＋∠E ，求证：AB ∥CD .

A

E

N